4. Model matematyczny rozpływu mocy w sieciach przesyłowych

4.1. Jednostki względne w obliczeniach systemowych

Praktycznie wszystkie obliczenia elektroenergetyczne są przeprowadzane na liczbach niemianowanych, czyli w tak zwanych jednostkach względnych

p.u. lub pu - per unit.

Podstawą obliczeń w jednostkach względnych, są tak zwane jednostki bazowe (podstawowe) oznaczane dolnym wskaźnikiem b od angielskiego określenia base values.

Jednostki podstawowe to cztery następujące wielkości:

• moc podstawowa 3-fazowa S_b,

• prąd podstawowy przewodowy I_b,

• napięcie podstawowe międzyfazowe U_b

• impedancja podstawowa Z_b lub admitancja podstawowa Y_b.

Wystarczy wybrać arbitralnie jedynie dwie spośród podanych czterech wielkości, gdyż dwie pozostałe oblicza się jednoznacznie z prawa Ohma i równania mocy, lub przekształceń tych równań

gdzie:

Z_b - impedancja podstawowa w Ω,

S_b - moc podstawowa trójfazowa w MV⋅A,

Y_b - admitancja podstawowa w S.

W analizie stanów systemu elektroenergetycznego wybiera się moc bazową i napięcie bazowe.

Jako moc bazową wybiera się zwykle wartość

S_b = 100 MV⋅A,

chociaż może to być dowolnie inna wartość ułatwiająca obliczenia. Moc bazowa jest jednakowa dla wszystkich elementów tworzących system elektroenergetyczny, tzn. generatorów, transformatorów, linii napowietrznych i kablowych, dławików i baterii kondensatorów.

Za napięcie bazowe wybiera się napięcie znamionowe międzyfazowe U_N sieci, do której jest przyłączony dany element (generator, linia, transformator, dławik, bateria kondensatorów)

, kV

W konsekwencji dla każdego danego elementu mamy prąd bazowy i impedancję bazową

- prąd bazowy, kA

- impedancja bazowa, Ω

- admitancja bazowa, S.

Wszystkie parametry i zmienne mogą być teraz wyrażone w jednostkach względnych

Trzeba również dodać, że dzieleniu przez jednostki podstawowe podlegają liczby zespolone zgodnie z zasadami dzielenia przez skalar, tj., dzielone są moduły, lub części rzeczywista i urojona:

W przypadku mocy 3-fazowych w układzie jednostek względnych znika z definicji
, gdyż moc bazowa jest również mocą 3-fazową

Prowadzenie wszystkich obliczeń w jednostkach względnych odniesionych do jednej mocy bazowej i napięć znamionowych sieci prowadzi do takich samych wyników jak wyniki otrzymane ze stosowania jednostek mianowanych ( wyniki w jednostkach mianowanych muszą być przeskalowane na jednostki względne).

Po skończeniu obliczeń można - na danym poziomie napięcia sieci - przeliczyć wyniki z jednostek względnych na jednostki mianowane

U_b =U_N

lub

4.2. Modelowanie transformatora z regulowaną przekładnią

Sieci wielonapięciowe spięte są transformatorami, które mają zwykle regulowaną przekładnię. Ponieważ parametry zastępcze transformatora obliczane są dla przekładni znamionowej transformatora, to zmiana regulowanej przekładni spowoduje zmianę wartości parametrów zastępczych.

Transformator jest gałęzią o wyróżnionym węźle początkowym p i końcowym k. Jego przekładnia znamionowa jest równa stosunkowi znamionowego napięcia transformatora w węźle początkowym do napięcia znamionowego transformatora w węźle końcowym

Uwaga

Napięcia znamionowe transformatora są zwykle ok. 5% wyższe od napięć znamionowych sieci łączonych przez ten transformator.

Parametry zastępcze transformatora w omach mogą być odniesione do jednego z dwóch napięć znamionowych transformatora. Przeliczenie parametrów na jednostki względne wymaga podzielenia parametrów w omach przez impedancję bazową.

Reaktancja podłużna odniesiona do napięcia po stronie k

Reaktancja podłużna odniesiona do napięcia po stronie p

gdzie

- przekładnia transformatora w jednostkach względnych w stanie jałowym,

- znamionowa przekładnia transformatora,

- znamionowa przekładnia sieciowa.

Przekładnia w jednostkach względnych nieobciążonego transformatora jest równa stosunkowi napięć znamionowych transformatora wyrażonych w jednostkach względnych

W przypadku, gdy przekładnia transformatora jest regulowana pod obciążeniem można przyjąć, że przekładnia w jednostkach względnych jest równa stosunkowi aktualnych napięć

gdzie

- aktualna przekładnia transformatora w jednostkach mianowanych,

Podobne rozważania można przeprowadzić dla rezystancji podłużnej transformatora. W rezultacie możemy zapisać

Impedancja transformatora w jednostkach względnych widziana z węzła p zmienia się wraz ze zmianą przekładni.

W modelu systemu wykorzystywanym w obliczaniu rozpływów mocy gałęzie są modelowane jako admitancje. W przypadku transformatora z regulowaną przekładnią mamy

W przypadku parametrów poprzecznych admitancja w jednostkach względnych również musi być odniesiona w po stronie k do impedancji bazowej wynikającej z napięcia U_Nks , a po stronie p - z napięcia U_Nps . W odniesieniu do susceptancji poprzecznej mamy po stronie k mamy

Susceptancja poprzeczna w jednostkach względnych po stronie p wynosi

Podobne przedstawia się sytuacja z konduktancją poprzeczną

W przypadku parametrów poprzecznych transformatora z regulowaną przekładnią mamy

W ogólnym przypadku przekładnia transformatora jest liczbą zespoloną. Za pomocą zmiany przełącznika zaczepów uzyskuje się zmianę modułu przekładni. Zmianę kąta przekładni uzyskuje się poprzez wprowadzeniu napięcia dodawczego. Na rys. 4.1. pokazano schemat zastępczy transformatora stosowany w obliczaniu rozpływów mocy w sieciach wielonapięciowych. Jeżeli przekładnia transformatora jest liczbą rzeczywistą, to admitancje podłużne i poprzeczne wyrażają się zależnościami wyprowadzonymi powyżej.

Aktualna przekładnia transformatora w jednostkach względnych wynosi

- przekładnia transformatora w jednostkach względnych,

- napięcie węzła p w jednostkach względnych,

- napięcie węzła k w jednostkach względnych,

- znamionowa przekładnia sieci.

Uwzględnienie regulacji przekładni polega teraz na podaniu funkcyjnej zależności między wartością t_pu a aktualnie wybranym zaczepem przez przełącznik zaczepów.

Rys. 4.1. Schemat zastępczy transformatora z regulowaną przekładnią

4.3. Parametry zastępcze linii w jednostkach względnych

Parametry zastępcze linii w jednostkach względnych są związane z napięciem znamionowym węzłów, do których jest przyłączona linia

U_b = U_Ns

Impedancja bazowa linii wynosi zatem

Dzieląc rezystancję i reaktancję podłużną linii przez impedancję bazową otrzymuje się

W przypadku susceptancji linii mamy

Wzory dotyczące linii odnoszą się do wszystkich gałęzi podłużnych i poprzecznych modelujących dławiki, kondensatory, cewki, itp.

W praktyce, nie używa się najczęściej oznaczenia pu, gdyż przyjmuje się domyślnie, że w obliczeniach komputerowych wszystkie wielkości są wyrażone w jednostkach względnych odniesionych do odpowiednich napięć znamionowych sieci. W przeciwnym razie podaje się wyraźnie wymiar w amperach, woltach, itp.

4.4. Równania węzłowe w jednostkach względnych

Moc węzłowa i prąd węzłowy

W obliczeniach rozpływu mocy korzysta się najczęściej z bardzo uproszczonego przedstawiania generatorów i odbiorów. Są one reprezentowane przez moce czynne i bierne, generowane lub odbierane, które w danym węźle i systemu opisane są zależnością

gdzie:

Si - moc zespolona węzłowa,

Ui - napięcie węzłowe,

Ii - prąd węzłowy,

Pi - moc czynna węzłowa,

Qi - moc bierna węzłowa,

m - liczba węzłów w systemie,.

Stąd wynika wzór na zespolony prąd węzłowy:

przy czym prąd węzłowy ma wartość dodatnią, gdy dopływa do węzła I_i (+) i ujemną - gdy od węzła odpływa I_i (-).

Generalnie biorąc stosujemy następujące znaki przed mocami węzłowymi

- moc generowana w węźle, czyli zastrzałkowana do węzła

P_g (+), Q_g (+)

- moc odbierana w węźle, czyli zastrzałkowana od węzła

P_odb (-), Q_odb (-)

Prąd węzłowy I_i w dowolnym węźle i wynika z I prawa Kirchhoffa (prąd dopływający do węzła równa się sumie algebraicznej prądów odpływających od węzła) i prawa Ohma

gdzie

m - liczba wszystkich węzłów bez węzła 0 reprezentującego ziemię,

y_ij - admitancja zespolona gałęzi łączącej węzeł i z węzłem j,

y_i0= y_i1p + y_i1p + y_i2p + ... + y_inp - admitancja poprzeczna zespolona w węźle i , równa sumie admitancji poprzecznych gałęzi przyłączonych do węzła i,

U_i, U_j - napięcia zespolone w węźle i oraz węźle j.

Moc zespolona węzłowa i wynosi

Biorąc pod uwagę fakt, że w wzorze na moc zespoloną węzłową występuje admitancja własna i wzajemna

- admitancja własna węzła,

Y_ij = -y_ij - admitancja wzajemna węzłów i oraz j

moc zespolona w węzłowa wynosi

gdzie i=1,m

Ostatnia postać wzoru jest wzorem wyjściowym do wyprowadzania równań węzłowych do obliczania rozpływów mocy w dużych systemach elektroenergetycznych.

4.5. Równania węzłowe w prostokątnym układzie napięć węzłowych

Z równania węzłowego zespolonego można łatwo przejść do równań na moc węzłową czynną i bierną. W tym celu wykorzystuje się postać algebraiczną napięć węzłowych, rys. 4.2.

Rys. 4.2. Wektor napięcia węzłowego w układzie liczb zespolonych

Napięcie zespolone w węźle i ma postać

U_i = e_i + jf_i

gdzie

e_i - składowa prostokątna rzeczywista napięcia w węźle i,

f_i - składowa prostokątna urojona napięcia w węźle i.

Kolejno mamy

gdzie

K_ij = e_ie_j + f_if_j

L_ij = -e_if_j + f_ie_j

Ostatecznie otrzymujemy

]

i po rozdzieleniu na moc czynną

a następnie moc bierną

4.6. Równania węzłowe w biegunowym układzie napięć węzłowych

Trygonometryczna postać napięć węzłowych jest następująca

U_i = e_i + jf_i = U_i cosδ_i + j U_i sinδ_i

gdzie

U_i - moduł napięcia w węźle i,

δ_i - kąt napięcia w węźle i.

e_i = U_i cosδ_i

f_i = U_i sinδ_i

W rezultacie mamy

K_ij = e_i e_j + f_i f_j = U_i U_j cosδ_i cosδ_j + U_i U_j sinδ_i sinδ_j = U_i U_j cos(δ_i - δ_j )

L_ij = -e_i f_j + f_i e_j = -U_i U_j cosδ_i sinδ_j + U_i U_j sinδ_i cosδ_j = U_i U_j sin(δ_i - δ_j )

i po podstawieniu ostatecznie otrzymujemy wzór na

- moc czynną w węźle i

- moc bierną w węźle i

4.7. Typy węzłów w zadaniu obliczanie rozpływów mocy

Równania węzłowe mogą być zapisane w prostokątnym układzie napięć jako równania algebraiczne lub w biegunowym układzie jako równania trygonometryczne.

Postać algebraiczna równań węzłowych

Postać trygonometryczna równań węzłowych

Zmienne niezależne i zależne

Z każdym węzłem związane są 4 zmienne (Pi, Qi, Ui, i),

Ponieważ liczba równań jest 2 razy większa od liczby węzłów, to 2 wielkości są traktowane jako zadane, a dwie pozostałe jako poszukiwane.

W systemie obok węzła bilansującego wyróżnia się węzły generatorowych i odbiorcze. Zwykle jeden z węzłów generatorowych pełni funkcję węzła bilansującego, gdyż straty sieciowe nie są znane aż do czasu zakończenia obliczeń.

Węzeł bilansujący jest zwany węzłem typu U. W węźle bilansowym mamy:

- wielkości zadane

• U_s - moduł napięcia węzłowego,

• δ_s = 0 - kąt napięcia węzłowego,

wielkości szukane

• P_s - moc czynna jako bilans mocy czynnej w całym systemie,

• Q_s - moc bierna jako bilans mocy biernej w całym systemie.

Zwykle przyjmuje się, że węzeł bilansujący ma numer najwyższy, równy liczbie węzłów w systemie.

Węzły generatorowe zwane są węzłami typu PU i charakteryzowane są przez

-wielkości zadane

• U_g - moduł napięcia węzłowego,

• P_g - moc czynna generowana

-wielkości szukane

• δ_g - kąt napięcia węzłowego,

• Q_g - moc bierna generowana.

Węzły generatorowe mają numery od 1 do nPU. W przypadku równań węzłowych w postaci algebraicznej należy je uzupełnić o równanie modułu napięcia w węźle generatorowym

Węzły odbiorcze zwane są węzłami typu PQ i charakteryzowane są przez

-wielkości zadane

• P_d - moc czynna odbierana w węźle,

• Q_d - moc bierna odbierana w węźle,

-wielkości szukane

• U_d - moduł napięcia węzłowego,

• δ_d - kąt napięcia węzłowego.

Węzły odbiorcze mają numery od nPU+1 do nPU+nPQ,

gdzie

n=m-1=nPU+nPQ - liczba niezależnych węzłów systemu,

nPQ - liczba węzłów typu PQ

Tab. 4.1. Typy węzłów w zadaniu obliczania rozpływów mocy

Nazwa węzła	Typ /symbol/	Typ /cyfra/	Dane	Szukane
odbiorczy	PQ	1	P, Q	U, δ
generatorowy	PU	2	P, U	Q, δ
bilansujący	Uδ	3 lub 4	U, δ	P, Q

4.8. Rozwinięcie równań węzłowych w szereg Taylora

Ogólna postać równań węzłowych jest następująca

y = g(x)

gdzie

- wektor mocy węzłowych czynnych i biernych

- wektor składowych prostokątnych napięć węzłowych

g - funkcja kwadratowa

Rozwijając funkcję g(x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x₀ otrzymuje się sumę trójskładnikową

y = g(x₀) + A Δx + 0.5 Δx^T T Δx

gdzie

Δx = x - x₀

A - macierz Jacobiego w punkcie x₀

T - macierz 3-wymiarowa w punkcie x₀ (hesjan)

Pomijając składnik związany z drugimi pochodnymi jako mało istotny otrzymujemy liniowe przybliżenie równań węzłowych

y - g(x₀) = A Δx

Δy = A Δx

gdzie

Δy = y - g(x₀)

Δx = x - x₀

W wyniku linearyzacji układu równań węzłowych otrzymuje się układ równań liniowych

gdzie

J_Pe - macierz pochodnych cząstkowych mocy czynnej względem składowych e,

J_Pf - macierz pochodnych cząstkowych mocy czynnej względem składowych f,

J_U2e - macierz pochodnych cząstkowych kwadratu modułu napięcia względem składowych e,

J_U2f - macierz pochodnych cząstkowych kwadratu modułu napięcia względem składowych f,

J_Qe - macierz pochodnych cząstkowych mocy biernej względem składowych e,

J_Qf - macierz pochodnych cząstkowych mocy biernej względem składowych f.

Poszczególne pochodne cząstkowe obliczane są z następujących wzorów:

- moc czynna

, i=1,n, j=1,n

, i=1,n, j=1,n

, i=1,n, j=1,n,

, i=1,n, j=1,n

- kwadrat modułu napięcia

, i=1,nPU

, i=1,nPU

- moc bierna

, i=nPU+1,n, j=1,n

, i=nPU+1,n, j=1,n

, i=nPU+1,n, j=1,n,

, i=nPU+1,n, j=1,n

4.9. Iteracyjna metoda Newtona

Po rozwiązaniu układu równań liniowych otrzymuje się przybliżenie wektora napięć węzłowych. Otrzymane wartości napięć węzłowych można potraktować jako punkt startowy do następnej iteracji

Proces iteracyjny powtarza się do uzyskania założonej dokładności rozwiązania. Zwykle obliczenia iteracyjne przerywa się wtedy, kiedy niezbilansowania węzłowe w kolejnej iteracji it są dostatecznie małe

- niezbilansowania węzłowe mocy czynnych

≤ ε, i=1,n

- niezbilansowania kwadratów zadanych modułów napięć w węzłach typu PU

,, i=1,nPU,

- niezbilansowania węzłowe mocy biernych w węzłach typu PQ

≤ε,i=nPU+1,n

Oznaczając wielkości zadane jako wektor y, wielkości szukane jako wektor x, równania węzłowe jako y = f(x) możemy kolejno zapisać

y_it = g(x_it)

Δy_it = y - g(x_it)

Δx_it = x - x_it

Δy_it = JΔx_it

x_it+1 = x_it + Δx_it

Liczba równań węzłowych

Liczba równań węzłowych wynosi

lrw = n+nPU+nPQ

gdzie

n - liczba równań węzłowych mocy czynnych,

nPU - liczba równań węzłowych zadanych modułów napięć w węzłach generatorowych,

nPQ - liczba równań węzłowych mocy biernych.

Przykład 4.1.

Rozwiązać iteracyjnie równanie kwadratowe

0 = ax^2 + bx + c

o współczynnikach

a=1, b=-4, c=3

czyli

0 = x² - 4x + 3

Ogólna postać

y = g(x)

y = 0

Macierz Jacobiego

A = [2x-4]

Iteracja it=0

x₀ = 4

y₀ = x₀² - 4x₀ + 3 = 4² - 4⋅4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3

Δy₀ = y - y₀ = 0 - 3 = -3

A₀ = [2x₀ - 4] = [2⋅4 - 4] = [4]

A₀^-1 = [1/4]

Δx₀ = A₀^-1 Δy₀ = [1/4](-3) = -3/4

x₁ = x₀ + Δx₀ = 4 -3/4 = (16-3)/4 = 13/4 = 3.25

Iteracja it=1

x₁ = 13/4

y₁ = x₁² - 4x₁ + 3 = (13/4)² - 4⋅(13/4) + 3 = 169/16 - 13 + 3 = 169/16 - 10 =

= (169-160)/16 = 9/16

Δy₁ = y - y₁ = 0 - 9/16 = -9/16

A₁ = [2x₁ - 4] = [2⋅13/4 - 4] = [13/2 - 4] = [(13-8)/2] = [5/2]

A₁^-1 = [2/5]

Δx₁ = A₁^-1 Δy₁ = [2/5](-9/16) = -18/80 = -9/40

x₂ = x₁ + Δx₁ = 13/4 -9/40 = (130-9)/40 = 121/40 = 3.025

Rozwiązanie analityczne

Δ = b^2 - 4ac = 16 - 4⋅1⋅3 = 16 - 12 = 4

√Δ = √4 = 2

x_rozw1 = (-b-√Δ )/2a = (4 -2)/2 = 1

x_rozw2 = (-b+√Δ )/2a = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3

Rys. 4.3. Ilustracja iteracyjnego rozwiązania równania kwadratowego 0 = x² - 4x + 3

Przykład 4.2

Na rys. 4.4 pokazano układ przesyłowy zasilający odbiór o mocy P=242 MW , Q=121 Mvar linią 220 kV o rezystancji R=10 Ω i reaktancji X = 20 Ω.

Napięcie na początku linii wynosi U₂ = 220 kV.

Należy obliczyć metodą Newtona napięcie odbioru U₁, traktując początek linii jako węzeł bilansujący.

Obliczenia wykonać w jednostkach względnych dla S_b=484 MVA, U_b = U_N = 220 kV.

Rys. 4.4. Wykres napięć w przykładowym układzie przesyłowym

Rozwiązanie

Impedancja bazowa

Z_b =

Przeliczenie danych na jednostki względne

P=P_MW/S_b = 242/484 = 0.5

Q=Q_Mvar/S_b = 121/484 = 0.25

R=R_Ω/Z_b= 10/100=0.1

X=X_Ω/Z_b= 20/100=0.2

Obliczenie admitancji gałęzi

y₁₂ = 1/(0.1+j0.2) = 2 - j4

Obliczenie admitancji własnych i wzajemnych

Y₁₁= G₁₁ + jB₁₁ = y₁₂ = 2 - j4

Y₁₂= G₁₂ + jB₁₂ = -y₁₂ = -2 + j4

Równania węzłowe

U₂ = e₂ + jf₂ = 1 e₂ = 1 f₂ = 0

U₁ = e₁ + jf₁ = e + jf

Postać algebraiczna równań węzłowych

moc czynna w węźle 1 wynosi P₁=-P=-0.5, gdyż odpływa od węzła 1

moc bierna w węźle 1 wynosi Q₁=-Q=-0.5, gdyż odpływa od węzła 1

Układ równań węzłowych

Macierz Jacobiego

Punkt startowy

Zwykle zakłada się start płaski, to znaczy przyjmuje się napięcia w węzłach są równe swym wartościom znamionowym

e=1 f=0

Pierwsza iteracja rozwiązywania równań węzłowych

Napięcia węzłowe przybliżone na początku iteracji

e=1 f=0

Niezbilansowanie mocy węzłowych

ΔP=
=-0.5-(2⋅1+2⋅0-2⋅1+4⋅0) =-0.5

ΔQ=
=-0.25-(4⋅1+4⋅0-4⋅1-2⋅0) =-0.25

Macierz Jacobiego

Odwrócona macierz Jacobiego

Poprawki napięciowe

Nowe przybliżenie napięć węzłowych po zakończeniu iteracji

e=e+Δe=1-0.1=0.9

f=f+Δf=0-0.075=-0.075

Druga iteracja rozwiązywania równań węzłowych

Napięcia węzłowe przybliżone na początku iteracji

e=0.9 f=-0.075

Niezbilansowanie mocy węzłowych

ΔP=
=-0.5-P(e=0.9, f=-0.075)=-0.5+0.469=-0.031

ΔQ=
=-0.25- Q(e=0.9, f=-0.075)=-0.25+0.1875=-0.0625

Macierz Jacobiego

Odwrócona macierz Jacobiego

Poprawki napięciowe

Nowe przybliżenie napięć węzłowych po zakończeniu iteracji

e=e+Δe=0.9-0.195=0.8805

f=f+Δf=-0.075+0.00005=-0.07495

Trzecia iteracja rozwiązywania równań węzłowych

Napięcia węzłowe przybliżone na początku iteracji

e=0.8805 f=-0.07495

Niezbilansowanie mocy węzłowych

ΔP=
=-0.5-P(e=0.8805,f=-0.07495)=-0.5+0.499=-0.001

ΔQ=
=-0.25-Q(e=0.8805,f=-0.07495)=-0.25+0.2485=-0.0015

Macierz Jacobiego

Odwrócona macierz Jacobiego

Poprawki napięciowe

Nowe przybliżenie napięć węzłowych po zakończeniu iteracji

e=e+Δe=0.8805-0.00054=0.87996

f=f+Δf=-0.075-0.00005=-0.075

Ponieważ poprawki napięciowe po 3-iej iteracji są bardzo małe można zakończyć proces iteracyjny.

Obliczenie modułu i kąta napięcia odbiorczego

U_1kV = U₁ U_N = 0.88315 220 =194.29 kV

1

SEE - wykład 4 - Model matematyczny rozpływu mocy w sieciach przesyłowych

---