1. Sposoby rozwiązywania układów równań
LINIOWYCH:
I. Dokładne
a) eliminacyjne
- el. Gaussa
- el. Jordana
b) dekompozycyjne
- dek. Gaussa - Crouta
- dek. Gaussa - Dolittla
- dek. Cholewskiego
II. Przybliżone
a) met. iteracji prostej Gaussa
b) met. Gaussa - Seidla
c) met. nadrelaksacji
NIELINIOWE
I. Zamknięte
a) met. przeszukiwania
b) met. połowienia kroku
c) met. min lokalnego
II. Otwarte
a) met. Monte - Carlo
b) met. siecznych
c) met. stycznych (Newtona)
2. Metody iteracyjne, opisać główne
wady:
- nie zawsze jest proces zbieżny
- zbieżność może zależeć od wyboru wartości początkowych
- dla różnych układów równań różne metody pozwalają na uzyskanie szybszych wyników
- wyniki rozwiązania układu równań są przybliżone
zalety:
- sa dobre , gdy mamy duży układ równań , a macierz [A] ma wiele równych współczyników
- jest dobra , gdy macierz [A] jest rzadka (tzn. gdy wiele elementów = 0)
- jest niewrażliwa na błędy arytmetyczne w trakcie obliczeń , a błędy przyśpieszają proces iteracji
- nie występują błędy zaokrągleń matematycznych związanych z przekształceniem układu równań
- dobre do zastosowania komputerów o małej pamięci
4. Wymienić metody rozwiązywania równań różniczkowych
a) jawne
- met. Eulera
- met. punktu środkowego
- met. Rungego - Kutty
b) niejawne
- met. trapezów
- met. Busfotha - Moultona
5. Aprosymacja i interpolacja
Aproksymacja - sprowadzenie opisu do jednej funkcji takiej aby błąd w opisie punktów uzyskanych z doświadczeń był jak najmniejszy, liczba punków przewyzsza ilość punktów potrzebnych do jednoznacznego określenia wzoru funkcji.
Interpolacja - polega na znalezieniu opisu takich funkcji, które przbiegają przez punkty doświadczalne. Punktów jest zazwyczaj mało.
6. Sposoby rozwiązywania całek
- całkoawanie met. Newtona- Cotes'a
- met. Gausa
- met. iteracyjne (rekurencyjne) Rombega
- cał. barycentryczne (po pow. troj i szesc)
7. Różnice w rozwiązywaniu met. Gaussa i Newtona
met. Newtona- określa się w przedziale standardowym <-1,1> podzielonym na n równych części, w których należy znależć wartości funkcji, po czym za pomocą tych wartości wyznacza się odpowiedni wielomian interpolacyjny i całkuje się go algebraicznie.
Met. Gaussa - zamiast rozmieszczać punkty w jednakowyh odległościach zakłada się ich rozstaw taki aby zapewnić najlepsze przybliżenie do rzeczywistej wartości funkcji. Tak dobiera sie ich odcięte i wagi funkcji aby odpowiednia zależność była równością tożsamościową dla wielomianu potęgowego możliwie największego stopnia. Wyniki rozwiązania są trudne do obliczenia dlatego zostały stabelaryzowane. Mała ilość wartości funkcji do wyliczenia.
8. Porównać metodę ścisłą z przybliżoną
met przybliżona:
- sa dobre , gdy mamy duży układ równań , a macierz [A] ma wiele równych współczyników
- jest dobra , gdy macierz [A] jest rzadka (tzn. gdy wiele elementów = 0)
- jest niewrażliwa na błędy arytmetyczne w trakcie obliczeń , a błędy przyśpieszają proces iteracji
- nie występują błędy zaokrągleń matematycznych związanych z przekształceniem układu równań
- dobre do zastosowania komputerów o małej pamięci
10. omów metodę interpolacji liniowej i kwadratowej
interpolacja kwadratowa - (wielomian drugiego rzędu) wybór trzech , najbliżej siebie leżących punktów o jednakowej odległości względem siebie iopisanie ich położenia zapomocą paraboli 2 stopnia
interpolacja liniowa - przechodzi przez kolejne punkty jest to zbiór funkcji y=fi(x). Najprostzra metoda stosowana dla funkcji stabilizowanych. Odległość między punktami stała.
11. Co to są punkty Gaussa w całkowaniu numerycznym
Zamiast rozmieszczać punkty w jednakowyh odległościach zakłada się ich rozstaw taki aby zapewnić najlepsze przybliżenie do rzeczywistej wartości funkcji. Tak dobiera sie ich odcięte i wagi funkcji aby odpowiednia zależność była równością tożsamościową dla wielomianu potęgowego możliwie największego stopnia
12.Dlaczego metody rozw. Calki powierzchniowej wymagają metody startowej
Ponieważ znamy tylko jeden warunek początkowy.