1.

Podstawowe definicje

2.

Błędy wyników podstawowych operacji matematycznych

3.

Propagacja błędów

4.

Źródła błędów

5.

Uwarunkowanie numeryczne zagadnień

6.

Obliczenia numeryczne w Maple’u

7.

Zalecenia

Błędy obliczeń numerycznych

Podstawowe definicje

- największą dodatnia liczba całkowita,

spełniająca nierówność

4. Liczba cyfr znaczących (d )

−

−

x

x

~

wartość dokładna
wartość przybliżona

2. Błąd bezwzględny

x

∆

x

x

x

def

~

−

=

∆

3. Błąd względny

x

ε

0

,

≠

∆

=

ε

x

x

x

def

x

d

x

−

<

ε

10

2

1

1. Błąd przybliżenia

x

∆

x

x

x

def

~

−

=

∆

Przykład ilustrujący

1. Błąd przybliżenia

2. Błąd względny

3. Liczba cyfr znaczących

1415

.

3

~

,

=

π

=

x

x

.000092654

0

1415

.

3

≈

−

π

=

∆x

0.00002949268419

x

x

x

∆

ε =

≈

4

7)

4.22925762

,

(

10

2

1

1415

.

3

=

→

−∞

∈

→

<

π

−

π

−

d

d

d

3.1416

1

10

(

, 5.330044700)

5

2

d

d

d

−

π −

<

→ ∈ −∞

→

=

π

→

= 1416

.

3

~x

(

)

..

462643

3589793238

3.14159265

=

π

→

= 1415

.

3

~x

Błędy wyników operacji matematycznych (na podstawie definicji)

2

1

2

1

~

,

~

,

x

x

x

x

Dane:

- wartości dokładne
- wartości przybliżone

2

1

2

1

2

1

2

1

~

~

~

,

~

~

~

,

x

x

x

x

s

s

s

x

x

s

x

x

s

−

−

+

=

−

=

∆

+

=

+

=

Szukane: błędy przybliżenia i błędy względne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu

2

2

2

1

1

1

~

~

x

x

x

x

x

x

−

=

∆

−

=

∆

Błąd sumy

2

1

x

x

s

∆

+

∆

=

∆

2

1

2

1

x

x

x

x

s

s

s

+

∆

+

∆

=

∆

=

ε

Błąd różnicy

2

1

x

x

r

∆

−

∆

=

∆

2

1

2

1

x

x

x

x

r

r

r

−

∆

−

∆

=

∆

=

ε

2

1

2

1

2

1

2

1

~

~

~

,

~

~

~

,

x

x

x

x

r

r

r

x

x

r

x

x

r

+

−

−

=

−

=

∆

−

=

−

=

Błędy operacji matematycznych c.d.

2

1

2

1

2

1

2

1

~

~

~

,

~

~

~

,

x

x

x

x

m

m

m

x

x

m

x

x

m

−

=

−

=

∆

=

=

Błąd iloczynu

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

)

)(

(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

m

∆

∆

−

∆

+

∆

=

∆

−

∆

−

−

=

∆

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

x

x

x

x

x

x

m

x

x

x

x

x

x

x

x

m

m

ε

+

ε

≈

ε

ε

−

ε

+

ε

=

∆

∆

−

∆

+

∆

=

∆

=

ε

2

1

2

1

2

1

2

1

~

~

~

,

~

~

~

,

x

x

x

x

q

q

q

x

x

q

x

x

q

−

=

−

=

∆

=

=

Błąd ilorazu

)

(

2

2

2

2

1

1

2

x

x

x

x

x

x

x

q

∆

−

∆

−

∆

=

∆

2

1

2

1

2

1

1

2

2

2

1

2

1

1

2

)

(

x

x

q

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

q

q

ε

−

ε

=

∆

−

∆

≈

∆

−

∆

−

∆

=

∆

=

ε

rodzaj operacji

Błąd przybliżenia

błąd względny

dodawanie

odejmowanie

mnożenie

dzielenie

2

1

x

x

s

∆

+

∆

=

∆

2

1

x

x

r

∆

−

∆

=

∆

2

1

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

m

∆

∆

−

∆

+

∆

=

∆

2

1

1

2

2

2

2

(

)

x x

x x

q

x x

x

∆ − ∆

∆ =

− ∆

2

1

2

1

x

x

x

x

s

+

∆

+

∆

=

ε

2

1

2

1

x

x

x

x

r

−

∆

−

∆

=

ε

2

1

x

x

m

ε

+

ε

≈

ε

2

1

x

x

q

ε

−

ε

≈

ε

Błędy wyników operacji matematycznych

(na podstawie definicji)

Propagacja błędów

Propagacji błędów ma miejsce przy wyznaczaniu wartości wielkości wyjściowej
zależnej w określony sposób pd wielkości wejściowych

1

2

1

2

1

2

( ,

, ... )

( , , ..., )

( , , ..., )

n

n

n

f

f x x

x

x x

x

x x

x

=

→ ∆ = −

x

x x x

x



  



Dane:

Szukane:

f

f

ε

∆ ,

1

( )

( )

...

n

i

i

i

f

f

f

x

x

=

=

∂

=

+

∆ +

∂

∑

x x

x

x





1

( )

( )

n

i

i

i

f

f

f

f

x

x

=

=





∂

∆ =

−

≈

∆





∂





∑

x x

x

x





Rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora wokół punktu z przyrostem

x

∆x

( )

( )

f

f

f

f

f

∆

∆

ε =

≈

x

x

Błędy wyników operacji matematycznych

(na podstawie szer. Taylora)

2

1

1

2

2

1

x

x

x

x

x

x

m

∆

∆

−

∆

+

∆

=

∆

2

1

1

2

2

2

2

(

)

x x

x x

q

x x

x

∆ − ∆

∆ =

− ∆

2

1

x

x

s

∆

+

∆

=

∆

2

1

x

x

r

∆

−

∆

=

∆

2

1

2

1

x

x

x

x

s

+

∆

+

∆

=

ε

2

1

2

1

x

x

x

x

r

−

∆

−

∆

=

ε

2

1

x

x

m

ε

+

ε

≈

ε

2

1

x

x

q

ε

−

ε

≈

ε

2

1

x

x

s

+

=

2

1

x

x

r

−

=

2

1

x

x

m

=

2

1

x

x

q

=

)

,

(

2

1

x

x

f

f

=

2

1

i

i

i

f

f

x

x

=

=





∂

∆ ≈

∆





∂





∑

x x

( )

f

f

f

∆

ε ≈

x

1

2

2

1

1

2

2

m x x

x x

x x

∆ = ∆ + ∆ − ∆ ∆

2

1

1

2

2

2

2

(

)

x x

x x

q

x

x

∆ − ∆

∆ =

− ∆

- na podstawie definicji

Przykład ilustrujący

3

2

1

3

4

2

1

3

3

4

)

,

(

x

x

x

x

f

f

r

V

=

=

→

π

=

1

2

3.14,

5.00

x

x

=

=





1

2

0.0016,

0.001

x

x

∆ =

∆ =

2

3

2

2

1

1 2

2

1

4

4

3

i

i

i

f

f

x

x x

x x x

x

=

=





∂

∆ ≈

∆ =

∆ +

∆





∂





∑

x x



 

1

2

1

2

3

( )

f

f

x

x

f

x

x

∆

∆

∆

ε ≈

=

+

x





0.5806666667

f

∆ ≈

.001109554140

f

ε ≈

1

2

( , ) 523.3333333

f x x

=

 

Źródła błędów

1. Błędy modelu

2. Błędy metody

3. Błędy obcięcia

4. Błędy zaokrąglenia

5. Błędy wejściowe

6. Błędy działań arytmetycznych

7. Błędy programowania

Źródła błędów

Ad.1 Błędy modelu

0

)

(

)

(

=

ϕ

+

ϕ

t

t





0

)

(

sin

)

(

=

ϕ

+

ϕ

t

t





Model uproszczony

Model ścisły

20

)

0

(

π

=

ϕ

3

)

0

(

π

=

ϕ

Źródła błędów

Ad.2 Błędy metody

Wzór prostokątów

Wzór Simpsona (parabol)

dx

e

F

x

∫

−

=

1

0

2

20

=

n

0

.762473851

0

1

0

=

=

∑

−

=

n

i

i

pr

y

h

F

0

.746824184

0

2

4

3

2

6

,

4

,

2

1

5

,

3

,

1

0

=















+

+

+

=

∑

∑

−

=

−

=

n

n

i

i

n

i

i

Si

y

y

y

y

h

F

20

=

n

(jedna cyfra znacząca)

(sześć cyfr znaczących)

(30 cyfr znaczących)

0.746824132812427025399467436132

Źródła błędów

Ad.3 Błędy obcięcia

Ad.4 Błędy zaokrąglenia

Błędy te występują gdy posługujemy się skończoną liczbą wyrazów szeregów
nieskończonych

Błędy te pojawiają się podczas wykonywania obliczeń przy użyciu liczb
zmiennoprzecinkowych

(zmiennopozycyjnych)

Źródła błędów

Ad.5 Błędy wejściowe

Ad.6 Błędy działań arytmetycznych

Są to błędy stałych fizycznych bądź wielkości będących wynikiem pomiarów

Są to błędy związane z wykonywaniem operacji arytmetycznych na liczbach
przybliżonych

(zmiennoprzecinkowych)

Ad.7 Błędy programowania

Aby ich uniknąć należy dzielić duże programy na podprogramy, które należy oddzielnie
testować

Są to błędy użytkownika

(programisty)

Uwarunkowanie numeryczne zagadnień

Jeżeli niewielkie zmiany wartości danych powodują duże zmiany jego rozwiązania,
to zagadnienie takie nazywamy źle uwarunkowanym numerycznie

Przykłady źle uwarunkowanych zagadnień:

1. Wyznaczanie pirwiastków wielomianów wyższych stopni

2. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych typu

dla których det (A) ~ 0

a

x

A

=

Obliczenia numeryczne w Maple’u

Sytuacje w których należy prowadzić obliczenia numeryczne w Maple’u

• Podczas rozwiązywania problemów, które nie posiadają rozwiązań

symbolicznych bądź analitycznych

• Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt obszerne, co utrudnia ich analizę

• Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt czasochłonne, a interesuje nas

graficzna strona rozwiązania

Software

f

loating-point numbers vs.

h

arware

f

loating-point numbers

(eval

f

vs. eval

h

f

)

Uwaga: Szybkość obliczeń numerycznych przy użyciu eval

h

f

jest

większa niż przy użyciu eval

f

Ogólne zalecenia

W praktyce obliczeniowej należy kierować się następującymi zaleceniami:

1. Aby uniknąć zbyt dużych błędów zaokrągleń należy zwiększyć precyzję

obliczeń (Digits) i obserwować jej wpływ na wynik końcowy,

2. W przypadku obliczania sumy wielu składników należy zacząć dodawanie

od liczb najmniejszych,

3. Obliczenia cykliczne (w pętli) powinno się wykonywać wyłącznie na

liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia cykliczne prowadzone na
symbolach bądź liczbach reprezentowanych w sposób ścisły mogą
spowodować nadmierne rozbudowanie wyników pośrednich i zawieszenie
systemu,

4. Rozwiązując nowy, nieznany problem, warto spróbować uzyskać

rozwiązanie ścisłe, które jest zwykle cenniejsze, bo pozbawione błędów.