1.
Podstawowe definicje
2.
Błędy wyników podstawowych operacji matematycznych
3.
Propagacja błędów
4.
Źródła błędów
5.
Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
6.
Obliczenia numeryczne w Maple’u
7.
Zalecenia
Błędy obliczeń numerycznych
1.
Podstawowe definicje
2.
Błędy wyników podstawowych operacji matematycznych
3.
Propagacja błędów
4.
Źródła błędów
5.
Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
6.
Obliczenia numeryczne w Maple’u
7.
Zalecenia
Błędy obliczeń numerycznych
Podstawowe definicje
- największą dodatnia liczba całkowita,
spełniająca nierówność
4. Liczba cyfr znaczących (d )
−
−
x
x
~
wartość dokładna
wartość przybliżona
2. Błąd bezwzględny
x
∆
x
x
x
def
~
−
=
∆
3. Błąd względny
x
ε
0
,
≠
∆
=
ε
x
x
x
def
x
d
x
−
<
ε
10
2
1
1. Błąd przybliżenia
x
∆
x
x
x
def
~
−
=
∆
Przykład ilustrujący
1. Błąd przybliżenia
2. Błąd względny
3. Liczba cyfr znaczących
1415
.
3
~
,
=
π
=
x
x
.000092654
0
1415
.
3
≈
−
π
=
∆x
0.00002949268419
x
x
x
∆
ε =
≈
4
7)
4.22925762
,
(
10
2
1
1415
.
3
=
→
−∞
∈
→
<
π
−
π
−
d
d
d
3.1416
1
10
(
, 5.330044700)
5
2
d
d
d
−
π −
<
→ ∈ −∞
→
=
π
→
= 1416
.
3
~x
(
)
..
462643
3589793238
3.14159265
=
π
→
= 1415
.
3
~x
Błędy wyników operacji matematycznych (na podstawie definicji)
2
1
2
1
~
,
~
,
x
x
x
x
Dane:
- wartości dokładne
- wartości przybliżone
2
1
2
1
2
1
2
1
~
~
~
,
~
~
~
,
x
x
x
x
s
s
s
x
x
s
x
x
s
−
−
+
=
−
=
∆
+
=
+
=
Szukane: błędy przybliżenia i błędy względne sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
2
2
2
1
1
1
~
~
x
x
x
x
x
x
−
=
∆
−
=
∆
Błąd sumy
2
1
x
x
s
∆
+
∆
=
∆
2
1
2
1
x
x
x
x
s
s
s
+
∆
+
∆
=
∆
=
ε
Błąd różnicy
2
1
x
x
r
∆
−
∆
=
∆
2
1
2
1
x
x
x
x
r
r
r
−
∆
−
∆
=
∆
=
ε
2
1
2
1
2
1
2
1
~
~
~
,
~
~
~
,
x
x
x
x
r
r
r
x
x
r
x
x
r
+
−
−
=
−
=
∆
−
=
−
=
Błędy operacji matematycznych c.d.
2
1
2
1
2
1
2
1
~
~
~
,
~
~
~
,
x
x
x
x
m
m
m
x
x
m
x
x
m
−
=
−
=
∆
=
=
Błąd iloczynu
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
)
)(
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
m
∆
∆
−
∆
+
∆
=
∆
−
∆
−
−
=
∆
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
m
x
x
x
x
x
x
x
x
m
m
ε
+
ε
≈
ε
ε
−
ε
+
ε
=
∆
∆
−
∆
+
∆
=
∆
=
ε
2
1
2
1
2
1
2
1
~
~
~
,
~
~
~
,
x
x
x
x
q
q
q
x
x
q
x
x
q
−
=
−
=
∆
=
=
Błąd ilorazu
)
(
2
2
2
2
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
q
∆
−
∆
−
∆
=
∆
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
)
(
x
x
q
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
q
q
ε
−
ε
=
∆
−
∆
≈
∆
−
∆
−
∆
=
∆
=
ε
rodzaj operacji
Błąd przybliżenia
błąd względny
dodawanie
odejmowanie
mnożenie
dzielenie
2
1
x
x
s
∆
+
∆
=
∆
2
1
x
x
r
∆
−
∆
=
∆
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
m
∆
∆
−
∆
+
∆
=
∆
2
1
1
2
2
2
2
(
)
x x
x x
q
x x
x
∆ − ∆
∆ =
− ∆
2
1
2
1
x
x
x
x
s
+
∆
+
∆
=
ε
2
1
2
1
x
x
x
x
r
−
∆
−
∆
=
ε
2
1
x
x
m
ε
+
ε
≈
ε
2
1
x
x
q
ε
−
ε
≈
ε
Błędy wyników operacji matematycznych
(na podstawie definicji)
Propagacja błędów
Propagacji błędów ma miejsce przy wyznaczaniu wartości wielkości wyjściowej
zależnej w określony sposób pd wielkości wejściowych
1
2
1
2
1
2
( ,
, ... )
( , , ..., )
( , , ..., )
n
n
n
f
f x x
x
x x
x
x x
x
=
→ ∆ = −
x
x x x
x
Dane:
Szukane:
f
f
ε
∆ ,
1
( )
( )
...
n
i
i
i
f
f
f
x
x
=
=
∂
=
+
∆ +
∂
∑
x x
x
x
1
( )
( )
n
i
i
i
f
f
f
f
x
x
=
=
∂
∆ =
−
≈
∆
∂
∑
x x
x
x
Rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora wokół punktu z przyrostem
x
∆x
( )
( )
f
f
f
f
f
∆
∆
ε =
≈
x
x
Błędy wyników operacji matematycznych
(na podstawie szer. Taylora)
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
m
∆
∆
−
∆
+
∆
=
∆
2
1
1
2
2
2
2
(
)
x x
x x
q
x x
x
∆ − ∆
∆ =
− ∆
2
1
x
x
s
∆
+
∆
=
∆
2
1
x
x
r
∆
−
∆
=
∆
2
1
2
1
x
x
x
x
s
+
∆
+
∆
=
ε
2
1
2
1
x
x
x
x
r
−
∆
−
∆
=
ε
2
1
x
x
m
ε
+
ε
≈
ε
2
1
x
x
q
ε
−
ε
≈
ε
2
1
x
x
s
+
=
2
1
x
x
r
−
=
2
1
x
x
m
=
2
1
x
x
q
=
)
,
(
2
1
x
x
f
f
=
2
1
i
i
i
f
f
x
x
=
=
∂
∆ ≈
∆
∂
∑
x x
( )
f
f
f
∆
ε ≈
x
1
2
2
1
1
2
2
m x x
x x
x x
∆ = ∆ + ∆ − ∆ ∆
2
1
1
2
2
2
2
(
)
x x
x x
q
x
x
∆ − ∆
∆ =
− ∆
- na podstawie definicji
Przykład ilustrujący
3
2
1
3
4
2
1
3
3
4
)
,
(
x
x
x
x
f
f
r
V
=
=
→
π
=
1
2
3.14,
5.00
x
x
=
=
1
2
0.0016,
0.001
x
x
∆ =
∆ =
2
3
2
2
1
1 2
2
1
4
4
3
i
i
i
f
f
x
x x
x x x
x
=
=
∂
∆ ≈
∆ =
∆ +
∆
∂
∑
x x
1
2
1
2
3
( )
f
f
x
x
f
x
x
∆
∆
∆
ε ≈
=
+
x
0.5806666667
f
∆ ≈
.001109554140
f
ε ≈
1
2
( , ) 523.3333333
f x x
=
Źródła błędów
1. Błędy modelu
2. Błędy metody
3. Błędy obcięcia
4. Błędy zaokrąglenia
5. Błędy wejściowe
6. Błędy działań arytmetycznych
7. Błędy programowania
Źródła błędów
Ad.1 Błędy modelu
0
)
(
)
(
=
ϕ
+
ϕ
t
t
0
)
(
sin
)
(
=
ϕ
+
ϕ
t
t
Model uproszczony
Model ścisły
20
)
0
(
π
=
ϕ
3
)
0
(
π
=
ϕ
Źródła błędów
Ad.2 Błędy metody
Wzór prostokątów
Wzór Simpsona (parabol)
dx
e
F
x
∫
−
=
1
0
2
20
=
n
0
.762473851
0
1
0
=
=
∑
−
=
n
i
i
pr
y
h
F
0
.746824184
0
2
4
3
2
6
,
4
,
2
1
5
,
3
,
1
0
=
+
+
+
=
∑
∑
−
=
−
=
n
n
i
i
n
i
i
Si
y
y
y
y
h
F
20
=
n
(jedna cyfra znacząca)
(sześć cyfr znaczących)
(30 cyfr znaczących)
0.746824132812427025399467436132
Źródła błędów
Ad.3 Błędy obcięcia
Ad.4 Błędy zaokrąglenia
Błędy te występują gdy posługujemy się skończoną liczbą wyrazów szeregów
nieskończonych
Błędy te pojawiają się podczas wykonywania obliczeń przy użyciu liczb
zmiennoprzecinkowych
(zmiennopozycyjnych)
Źródła błędów
Ad.5 Błędy wejściowe
Ad.6 Błędy działań arytmetycznych
Są to błędy stałych fizycznych bądź wielkości będących wynikiem pomiarów
Są to błędy związane z wykonywaniem operacji arytmetycznych na liczbach
przybliżonych
(zmiennoprzecinkowych)
Ad.7 Błędy programowania
Aby ich uniknąć należy dzielić duże programy na podprogramy, które należy oddzielnie
testować
Są to błędy użytkownika
(programisty)
Uwarunkowanie numeryczne zagadnień
Jeżeli niewielkie zmiany wartości danych powodują duże zmiany jego rozwiązania,
to zagadnienie takie nazywamy źle uwarunkowanym numerycznie
Przykłady źle uwarunkowanych zagadnień:
1. Wyznaczanie pirwiastków wielomianów wyższych stopni
2. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych typu
dla których det (A) ~ 0
a
x
A
=
Obliczenia numeryczne w Maple’u
Sytuacje w których należy prowadzić obliczenia numeryczne w Maple’u
• Podczas rozwiązywania problemów, które nie posiadają rozwiązań
symbolicznych bądź analitycznych
• Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt obszerne, co utrudnia ich analizę
• Jeżeli analityczne rozwiązania są zbyt czasochłonne, a interesuje nas
graficzna strona rozwiązania
Software
f
loating-point numbers vs.
h
arware
f
loating-point numbers
(eval
f
vs. eval
h
f
)
Uwaga: Szybkość obliczeń numerycznych przy użyciu eval
h
f
jest
większa niż przy użyciu eval
f
Ogólne zalecenia
W praktyce obliczeniowej należy kierować się następującymi zaleceniami:
1. Aby uniknąć zbyt dużych błędów zaokrągleń należy zwiększyć precyzję
obliczeń (Digits) i obserwować jej wpływ na wynik końcowy,
2. W przypadku obliczania sumy wielu składników należy zacząć dodawanie
od liczb najmniejszych,
3. Obliczenia cykliczne (w pętli) powinno się wykonywać wyłącznie na
liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia cykliczne prowadzone na
symbolach bądź liczbach reprezentowanych w sposób ścisły mogą
spowodować nadmierne rozbudowanie wyników pośrednich i zawieszenie
systemu,
4. Rozwiązując nowy, nieznany problem, warto spróbować uzyskać
rozwiązanie ścisłe, które jest zwykle cenniejsze, bo pozbawione błędów.