www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

M

IARA ŁUKOWA K ˛

ATÓW

Nie do´s´c, ˙ze funkcje trygonometryczne s ˛

a trudne same w sobie, to zabaw˛e z trygonometri ˛

a

komplikuje si˛e jeszcze bardziej i ka ˙ze si˛e zamiast stopni pisa´c radiany. S ˛

a jednak ku temu

powa ˙zne powody i zanim powiemy jak dokładnie si˛e definiuje radiany, spróbujmy wyja´sni´c
po co si˛e je wprowadza.

Historia funkcji trygonometrycznych

Pierwsza obserwacja jest taka, ˙ze definicje funkcji trygonometrycznych w trójk ˛

acie prosto-

k ˛

atnym pozwalaj ˛

a mówi´c tylko o funkcjach k ˛

atów ostrych. To jest za mało. Nawet je ˙zeli

chcemy si˛e zajmowa´c tylko trójk ˛

atami, to przecie ˙z k ˛

aty w trójk ˛

acie mog ˛

a by´c rozwarte, a

chcieliby´smy mie´c twierdzenia sinusów czy cosinusów dla dowolnych trójk ˛

atów. Jak si˛e

jeszcze chwil˛e zastanowimy to w czworok ˛

atach, które nie s ˛

a wypukłe, k ˛

aty mog ˛

a by´c do-

wolnie bliskie 360

◦

, wi˛ec potrzebujemy mie´c funkcje trygonometryczne dowolnych k ˛

atów z

przedziału

h

0

◦

, 360

◦

i

.

Jak si˛e jeszcze troch˛e pobawimy funkcjami trygonometrycznymi, to odkrywamy ró ˙zne

wzory np.

sin

(

x

+

y

) =

sin x cos y

+

sin y cos x.

Je ˙zeli jednak umiemy liczy´c funkcje trygonometryczne tylko w przedziale

h

0

◦

, 360

◦

i

, to ma-

my dziwn ˛

a sytuacj˛e, bo np. dla x

=

y

=

30

◦

wzór jest OK, ale dla x

=

y

=

200

◦

jest ´zle, bo z

lewej strony wychodzimy poza dziedzin˛e sinusa.

K ˛

atowi 200

◦

+

200

◦

mo ˙zna jednak nada´c interpretacj˛e geometryczn ˛

a – je ˙zeli my´slimy o

ramieniu zaczepionym w punkcie O i obracaj ˛

acym si˛e najpierw o 200

◦

, a potem jeszcze raz o

200

◦

, to powinno by´c jasne, ˙ze jest to to samo, co jeden obrót tego ramienia o 400

◦

−

360

◦

=

40

◦

. W ten sposób dochodzimy do tego, ˙zeby zdefiniowa´c

sin 400

◦

=

sin 40

◦

.

I tak dalej. W ten sposób definiujemy funkcje trygonometryczne dla dowolnych k ˛

atów.

Liczby zamiast stopni

Powy ˙zsze definicje funkcji trygonometrycznych dowolnych k ˛

atów maj ˛

a jednak zasadnicz ˛

a

wad˛e: argumenty tych funkcji (to co do nich wstawiamy) nie s ˛

a liczbami, tylko s ˛

a liczbami

z mianem (s ˛

a to wielokrotno´sci jednostki 1

◦

). Np. nie ma sensu pyta´c si˛e czy 30

◦

>

5, albo

liczy´c

(

30

◦

)

2

(mo ˙zna za to policzy´c 30

·

30

◦

=

900

◦

). To jest du ˙zy problem, bo w ten sposób

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

nie mo ˙zemy robi´c z funkcjami trygonometrycznymi tego, co robimy z innymi funkcjami, na
przykład nie maj ˛

a sensu wyra ˙zenia postaci

sin

(

x

2

)

sin

(

cos

(

x

))

.

Pierwsze wyra ˙zenie nie ma sensu, bo nie mo ˙zemy mno ˙zy´c k ˛

atów przez siebie, a drugie bo

do sinusa mamy wstawia´c k ˛

aty, a nie liczby. Mówi ˛

ac jeszcze inaczej, chcemy my´sle´c o funkcji

jak o maszynce, która zamienia liczby na liczby, a nie stopnie na liczby.

Aby rozwi ˛

aza´c ten problem, zamienia si˛e k ˛

aty na liczby – i to s ˛

a wła´snie radiany, lub jak

kto´s woli miara łukowa.

Definicja miary łukowej

Jak przyporz ˛

adkowa´c k ˛

atowi liczb˛e? – pomysł jest prosty: bierzemy okr ˛

ag jednostkowy (o

promieniu długo´sci 1), umieszczamy wierzchołek k ˛

ata w ´srodku okr˛egu i patrzymy jaka jest

długo´s´c łuku okr˛egu wyci˛etego przez ten k ˛

at. Poniewa ˙z cały okr ˛

ag jednostkowy ma długo´s´c

2π, to

360

◦

=

2π

180

◦

=

π

90

◦

=

2π

4

=

π

2

,

i tak dalej. Dla k ˛

atów spoza przedziału

h

0

◦

, 360

◦

i

, wygodnie jest my´sle´c o długo´sci łuku jaki

zakre´sla promie ´n okr˛egu obracaj ˛

acy si˛e o dany k ˛

at. Np. promie ´n po obrocie o 720

◦

dwa razy

odjedzie okr ˛

ag, wi˛ec 720

◦

=

4π.

Ogólnie mamy wzór

1

◦

=

2π

360

=

π

180

czyli

n

◦

=

n

180

π

.

Ujemne k ˛

aty

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

We wcze´sniejszej opowie´sci o definiowaniu funkcji trygonometrycznych dowolnych k ˛

atów

pozostała istotna luka: nie powiedzieli´smy jak definiowa´c funkcje trygonometryczne k ˛

atów

ujemnych. A co to s ˛

a k ˛

aty ujemne? – hm, tak naprawd˛e takich nie ma, musimy je dopiero

wymy´sli´c.

Jak ˛

a interpretacj˛e nada´c k ˛

atowi

−

40

◦

? – odpowied´z jest prosta, ma to by´c taki k ˛

at, ˙zeby

40

◦

+ (−

40

)

◦

=

0

◦

.

Jak co´s takiego zrobi´c? – ˙zaden problem: je ˙zeli my´slimy o k ˛

acie 40

◦

jako o k ˛

acie zakre´slonym

przez obracaj ˛

ace si˛e rami˛e zaczepione w punkcie O, to definiujemy k ˛

at

−

40

◦

tak samo, ale

rami˛e ma si˛e kr˛eci´c w drug ˛

a stron˛e. Jak dodamy do siebie takie k ˛

aty, to rami˛e najpierw

obraca si˛e o 40

◦

, potem obraca si˛e o ten sam k ˛

at w drug ˛

a stron˛e, czyli w sumie nic si˛e nie

zmienia – wychodzi k ˛

at 0

◦

.

W ten sposób otrzymujemy definicj˛e k ˛

atów zorientowanych

, czyli takich, które mog ˛

a

by´c dodatnie lub ujemne. Zauwa ˙zmy, ˙ze tak naprawd˛e obu k ˛

atom 40

◦

i

−

40

◦

odpowiada

ten sam k ˛

at niezorientowany

, czyli kawałek płaszczyzny mi˛edzy ramionami k ˛

ata.

Ró ˙znica mi˛edzy k ˛

atami zorientowanymi i niezorientowanymi jest dokładnie taka sama

jak ró ˙znica mi˛edzy odcinkami, a wektorami: wektor to odcinek, w którym wyró ˙zniono jeden
z ko ´nców (pocz ˛

atek wektora); podobnie k ˛

at zorientowany to k ˛

at, w którym wyró ˙zniono

jedno z ramion (pocz ˛

atkowe rami˛e k ˛

ata).

No to ju ˙z sobie wyja´snili´smy, co to s ˛

a ujemne k ˛

aty, ale wci ˛

a ˙z nie powiedzieli´smy jak

zdefiniowa´c sin

(−

40

◦

)

. Aby to zrobi´c, zauwa ˙zmy, ˙ze rami˛e obrócone o k ˛

at

−

40

◦

l ˛

aduje do-

kładnie w tym samym miejscu co rami˛e obrócone o 360

◦

−

40

◦

=

320

◦

. Definiujemy wi˛ec

sin

(−

40

◦

) =

sin 320

◦

.

Orientacja płaszczyzny

Kilka razy mówili´smy ju ˙z o obracaniu si˛e promienia/półprostej o k ˛

at. Jednak na płaszczy´z-

nie mo ˙zemy kr˛eci´c si˛e w dwie strony: zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Aby mówi´c o k ˛

atach zorientowanych trzeba si˛e umówi´c, który obrót ma by´c dodatni, a któ-

ry ujemny. Ta umowa to tak zwany wybór orientacji płaszczyzny. Standardowo umawiamy
si˛e, ˙ze obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest dodatni, a obrót zgodny z ruchem
wskazówek zegara jest ujemny. Oczywi´scie to tylko umowa, równie dobrze mo ˙zna by umó-
wi´c si˛e przeciwnie (czyli wybra´c inn ˛

a orientacj˛e płaszczyzny).

Zadania

.info

Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

T

IPS

& T

RICKS

1

Podanego wzoru

n

◦

=

n

180

π

nie warto si˛e uczy´c na pami˛e´c. Wystarczy zapami˛eta´c, ˙ze π

=

180

◦

i wylicza´c interesuj ˛

acy

nas k ˛

at z proporcji.

Zamie ´nmy k ˛

at

5

12

π

na stopnie.

Mamy proporcj˛e

x

180

◦

=

5

12

π

π

⇒

x

=

5

12

·

180

◦

=

75

◦

.

2

Tak naprawd˛e w zadaniach szkolnych w kółko przewija si˛e tylko kilka k ˛

atów:

30

◦

=

π

6

,

45

◦

=

π

4

,

60

◦

=

π

3

,

90

◦

=

π

2

.

Je ˙zeli uda nam si˛e zapami˛eta´c te warto´sci (co tak czy inaczej si˛e stanie, je ˙zeli b˛edziemy roz-
wi ˛

azywa´c zadania z trygonometrii), to bez trudu b˛edziemy wtedy identyfikowa´c wielokrot-

no´sci tych k ˛

atów, np.

120

◦

=

2π

3

,

150

◦

=

5π

6

,

270

◦

=

3π

2

.

3

Miar˛e łukow ˛

a mo ˙zemy równie ˙z liczy´c, je ˙zeli mamy k ˛

at umieszczony w okr˛egu o dowolnym

promieniu r – wtedy wystarczy popatrze´c jak ˛

a cz˛e´s´c długo´sci całego okr˛egu on wycina.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Obliczmy miar˛e k ˛

ata ´srodkowego w okr˛egu o promieniu 5, który wycina z tego

okr˛egu łuk długo´sci π.
Cały okr ˛

ag ma długo´s´c 10π, zatem dany k ˛

at stanowi

1

10

k ˛

ata pełnego, czyli ma

miar˛e łukow ˛

a

1

10

·

2π

=

π

5

.

4

Czasami wygodnie jest wyznacza´c miar˛e łukow ˛

a k ˛

ata ´srodkowego patrz ˛

ac nie na długo´s´c

łuku jaki on wycina, ale sprawdzaj ˛

ac jak ˛

a cz˛e´s´c pola wycina on z całego koła.

Obliczmy miar˛e łukow ˛

a k ˛

ata ´srodkowego w okr˛egu o promieniu 3, dla którego

odpowiadaj ˛

acy wycinek kołowy ma pole 9.

Pole całego koła jest równe 9π, zatem dany k ˛

at stanowi

1

π

k ˛

ata pełnego, czyli jego

miara łukowa jest równa

1

π

·

2π

=

2.

5

Warto pami˛eta´c, ˙ze miara k ˛

ata wpisanego w okr ˛

ag jest dwa razy mniejsza od miary k ˛

ata

´srodkowego opartego na tym samym łuku.

Obliczmy miar˛e k ˛

ata wpisanego w okr ˛

ag o promieniu 5 opartego na łuku długo´sci

9π.
Cały okr ˛

ag ma długo´s´c 10π, zatem k ˛

at ´srodkowy oparty na danym łuku ma miar˛e

łukow ˛

a:

9

10

·

2π

=

9
5

π

.

K ˛

at wpisany jest dwa razy mniejszy, wi˛ec ma miar˛e

9

10

π

.

6

Nie nale ˙zy zapomina´c, ˙ze miary k ˛

atów w radianach to prawdziwe liczby (w ko ´ncu o to

chodziło!), wi˛ec π

≈

3, 1415

· · ·

itd.

Oblicz tg

|

1

− |

π

4

−

1

||

.

Liczymy

tg



1

−





π

4

−

1









=

tg



1

+



π

4

−

1






=

tg

π

4

=

tg 45

◦

=

1.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Rozwi ˛

a ˙zmy równanie

|

π

−

sin x

| =

2

Poniewa ˙z π

>

2

>

sin x to mo ˙zemy opu´sci´c warto´s´c bezwzgl˛edn ˛

a:

π

−

sin x

=

2

⇐⇒

sin x

=

π

−

2.

To jednak nie jest mo ˙zliwe, bo prawa strona jest wi˛eksza od 1, czyli równanie jest
sprzeczne.

7

Wprawdzie wi˛ekszo´s´c k ˛

atów, które przewijaj ˛

a si˛e przez zadania szkolne ma w sobie π, ale

oczywi´scie ka ˙zda liczba rzeczywista wyznacza dokładnie jeden k ˛

at.

Jak wyobrazi´c sobie k ˛

at o mierze

√

2?

Przesuwamy wzdłu ˙z okr˛egu jednostkowego punkt o

√

2. K ˛

at jaki zakre-

´sli odcinek ł ˛

acz ˛

acy ten punkt ze ´srodkiem okr˛egu to dokładnie k ˛

at o mie-

rze łukowej

√

2. Oczywi´scie to przesuwanie mo ˙zemy sobie tylko wyobrazi´c

– raczej nie uda nam si˛e tego wykona´c tego przy pomocy cyrkla i linijki.

O

2

1

1

2

8

Dlaczego zamieniaj ˛

ac miar˛e k ˛

atów w stopniach na liczby (motywacja do wprowadzenia

radianów) nie mogli´smy po prostu odrzuci´c stopni i mówi´c, ˙ze 360

◦

to 360? Szczerze mówi ˛

ac

mogli´smy, ale to jest gorsze ni ˙z radiany. Aby to wyja´sni´c, musimy sobie u´swiadomi´c, co
oznaczaj ˛

a liczby bez miana (bez jednostki). To jest trudny moment i historycznie pozbycie

si˛e jednostek zmieniło oblicze matematyki. Ustalamy, ˙ze wiemy co znaczy 1 – powiedzmy,

˙ze jest to długo´s´c jednostkowego odcinka na płaszczy´znie, np. długo´sci 1cm. Jest jasne co

w takiej sytuacji oznacza dodawanie i odejmowanie liczb. Kłopot zaczyna si˛e z mno ˙zeniem.
Mo ˙zemy o nim my´sle´c na trzy sposoby. O 3

·

5 mo ˙zna my´sle´c tak: ˙ze trzy razy bierzemy

odcinek długo´sci 5 (czyli 3

·

5cm), ˙ze 5 razy bierzemy odcinek długo´sci 3 (czyli 3cm

·

5), lub

˙ze liczymy pole prostok ˛

ata o bokach 3 i 5 (czyli 3cm

·

5cm). Tak si˛e szcz˛e´sliwie składa, ˙ze za

ka ˙zdym razem wychodzi to samo i dlatego piszemy 3

·

5

=

15 nie przejmuj ˛

ac si˛e co ten napis

oznacza. Dzi˛eki temu ma np. sens działanie 2

+

3

·

5 i nie musimy si˛e zastanawia´c czy to

przypadkiem nie jest dodawanie odcinka do prostok ˛

ata. Nie ma te ˙z kłopotów z interpretacj ˛

a

wyra ˙zenia 3

·

3

·

3

·

3

·

3, do którego jednostki mo ˙zemy ju ˙z dopisa´c na wiele sposobów.

No to wracamy do radianów. Ustalili´smy ju ˙z, ˙ze na płaszczy´znie jest ustalona jednostka

(np. 1cm). Miara w stopniach zupełnie t˛e jednostk˛e ignoruje: 30

◦

oznacza dokładnie to sa-

mo, gdy jednostk ˛

a jest 1cm i gdy jednostk ˛

a jest 1m. W takim razie, zamienienie 30

◦

7→

30

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

jest lekko bez sensu: 30

◦

i 30 (wielokrotno´s´c jednostki) nie maj ˛

a ze sob ˛

a nic wspólnego, np.

otrzymana w ten sposób nierówno´s´c 30

◦

=

30

>

28 nie ma ˙zadnej interpretacji geometrycz-

nej, liczby po obu stronach pochodz ˛

a z zupełnie innych ´swiatów.

Inaczej jest z radianami. Przyporz ˛

adkowanie k ˛

atowi długo´sci łuku jaki on wycina z okr˛e-

gu jednostkowego jak najbardziej uwzgl˛ednia przyj˛et ˛

a na płaszczy´znie jednostk˛e – mo ˙zna

powiedzie´c, ˙ze jest to mierzenie k ˛

atów t ˛

a sam ˛

a miark ˛

a, któr ˛

a mierzymy długo´sci odcinków.

Z pewno´sci ˛

a powy ˙zszy komentarz nie jest łatwy do zrozumienia (szczególnie przy pierw-

szym czytaniu), ale powinien co najmniej zostawi´c wra ˙zenie, ˙ze s ˛

a wa ˙zne powody wy ˙zszo-

´sci radianów nad stopniami.

9

Podobnie jak dla k ˛

atów na płaszczy´znie, mo ˙zna próbowa´c mierzy´c k ˛

aty bryłowe (prze-

strzenne) polem powierzchni jaki ma obszar wyci˛ety przez nie ze sfery o promieniu 1. Tu
jednak sytuacja jest bardziej skomplikowana i taka miara nie jest a ˙z tak u ˙zyteczna jak miara
łukowa na płaszczy´znie. Powód jest taki, ˙ze je ˙zeli chcemy, ˙zeby miara jednoznacznie wyzna-
czała k ˛

at z dokładno´sci ˛

a do przesuni˛ecia i obrotu, to musimy si˛e ograniczy´c do okr ˛

agłych

k ˛

atów jakie tworz ˛

a sto ˙zki. Jednak najciekawsze k ˛

aty przestrzenne to k ˛

aty wielo´scienne (ta-

kie jak otoczenie wierzchołka ostrosłupa). Takie k ˛

aty na ogół mierzy si˛e miarami k ˛

atów pła-

skich pomi˛edzy tworz ˛

acymi go półprostymi.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7