INDUKCJA

ELEKTROMAGNETYCZNA;

PRAWO FARADAYA

1. Ruch ramki w polu magnetycznym: siła magnetyczna wytwarza SEM

2. Ruch magnesu względem ramki : powstanie wirowego pola elektrycznego

3. Prawo Faradaya

4. Reguła Lentza

5. Indukcyjność

6. Energia pola magnetycznego

7. Obwody prądu zmiennego

8. Moc w obwodzie prądu zmiennego

Przepływ prądu

Pole magnetyczne

Elektryczność i magnetyzm nie są niezależnymi zjawiskami, lecz jakby dwiema stronami
tego samego zjawiska: elektromagnetyzmu. Zjawiska elektryczne i magnetyczne są
współzależne. Czasem zjawiska elektryczne powodują zjawiska magnetyczne:

*gdy płynął prąd, powstawało pole magnetyczne.

A czasem jest odwrotnie:

*gdy zmienia się pole magnetyczne, to powstaje prąd

Pole magnetyczne

Przepływ prądu

faraday

SYMETRIA ZJAWISK ELEKTRO-MAGNETYCZNYCH

V

Ruch ramki

V

Ruch magnesu

RAMKA W POLU MAGNETYCZNYM

w obwodzie pojawia się SEM

w obwodzie pojawia się SEM

Ruch nie zachodzi, ale pole B

zmienia się identycznie

w obwodzie pojawia się SEM

PRAWO FARADAYA

farad1

farad2

Wszystkie eksperymenty pokazały, że zmiana strumienia magnetycznego

przechodzącego przez pętlę z przewodnika powoduje powstanie w tym

przewodniku siły elektromotorycznej.

farad3

dt

d

B

Φ

−

=

ε

Wielkość indukowanej siły elektromotorycznej zależy od szybkości zmian
strumienia pola B przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na
obwodzie:

KIERUNEK PRĄDU INDUKCYJNEGO:REGUŁA

LENTZA

reg Lentza

REGUŁA LENZA

kierunek prądu indukcyjnego jest taki, że pole magnetyczne wywołane przez niego

przeciwdziała zmianie zewnętrznego strumienia magnetycznego)

Siła elektromagnetyczna indukowana w obwodzie jest wynikiem powstania pola

elektrycznego. Takie wirowe pole nie może być wytworzone przez jakikolwiek

statyczny rozkład ładunków.

WIROWE POLE ELEKTRYCZNE (1)

WIROWE POLE ELEKTRYCZNE (2)

Ei B

Jeśli strumień magnetyczny przez dowolną powierzchnię rozpiętą na dowolnym

konturze zamkniętym zmienia się, to powstaje pole elektryczne E takie, że

dt

d

l

d

E

B

Φ

−

=

⋅

∫

r

r

to nie jest pole elektrostatyczne !!

dt

d

l

d

E

B

Φ

−

=

⋅

∫

r

r

pole E od nieruchomych ładunków

pole E od zmiennego B

0

l

d

E

=

⋅

∫

r

r

PRAWO FARADAYA: ZASTOSOWANIE

GENERATOR PRĄDU AC

Obr
ót

Transform
atory

U

pierwotne

U

wtorne

TRANSFORMATOR

N

1

zwojów

N

2

zwojów

Φ

B

przechodzi przez

cewkę

θ

=

⋅

=

Φ

cos

BA

A

B

B

r

r

cewka rotuje ze stałą

ω

t

cos

BA

B

ω

=

Φ

t

sin

BA

dt

d

B

ω

ω

−

=

Φ

dt

d

B

Φ

−

=

ε

zmienny Φ

B

wywołuje

zmienną SEM

t

sin

BA

ω

ω

−

=

ε

1

2

1

2

N

N

U

U =

t

d

d

N

U

U

B

1

1

pierw

φ

−

=

=

prąd AC w cewce

pierwotnej

zmienne pole B i zmienny

strumień Φ

B

t

d

d

N

U

B

2

2

φ

−

=

zmienne napięcie U

2

w

cewce wtórnej

INDUKCYJNOŚĆ OBWODU

ε

Prąd płynący przez obwód ( cewkę) wytwarza pole
magnetyczne

Jeśli prąd się zmienia, to zmienia się strumień pola
magnetycznego w cewce

dt

d

B

Φ

−

=

ε

Indukuje się w cewce siła
elektromotoryczna

L : współczynnik samoindukcji (indukcyjność). L zależy od wielkości
opisujących geometrię cewki (liczba zwojów, pole powierzchni zwoju,
kształt cewki) oraz od obecności ferromagnetycznego rdzenia w cewce.

dt

dI

L

−

=

ε

Ale strumień zależy od prądu, czyli Φ

B

∼I, czyli Φ

B

=LI.

dt

dI

L

dt

d

B

−

=

Φ

−

=

ε

wymiar L: [L]=H (Henr)=Vs/A

ε

B

J

OBLICZANIE INDUKCYJNOŚCI: PRZYKŁAD

Obliczyć indukcyjność solenoidu o n zwojach na jednostkę długości

dt

dI

nS

dt

d

0

B

µ

−

=

Φ

−

=

ε

W każdym zwoju cewki indukuje się siła
elektromotoryczna

B = µ

0

In

Φ

B

=BS=Sµ

0

In

SEM od wszystkich N zwojów

dt

dI

L

dt

dI

N

nS

dt

d

N

0

B

−

=

µ

−

=

Φ

−

=

ε

N liczba zwojów cewki
n liczba zwojów na jednostkę długości

L=Sµ

0

nN

ROZŁADOWANIE KONDENSATORA PRZEZ CEWKĘ

CL

OBWÓD LC

Na początku cała energia w polu elektrycznym kondensatora

prąd=0

2

0

C

CU

2

1

W

=

dt

dI

L

C

q

−

=

2

2

dt

q

d

L

C

q

−

=

),

t

cos(

q

q

0

ω

=

LC

1

=

ω

)

t

cos(

U

)

t

cos(

C

q

U

0

0

ω

=

ω

=

)

t

sin(

q

dt

dq

I

0

ω

−

=

=

Prąd zmienny płynie zawsze; gdzie
jest przechowana energia?

U=U

0

cos(ωt)

t

I=I

0

sin(ωt)

L

+q

0

-q

0

C

U

0

+q

-q

C

U

Cewka o ind. L i

oporze R

I

Płynie prąd;
ponieważ:

dt

d

l

d

E

B

Φ

−

=

⋅

∫

r

r

to

dt

d

IR

U

B

C

Φ

−

=

−

A ponieważ –dφ

B

/dt=-LdI/dt ,

oraz R=0, to:

dt

dI

L

C

q

−

=

ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO

2

0

C

CU

2

1

W

=

prąd=0
q=max

L

+q

-q

C

U

U

L

L

-q

+q

C

U

U

L

prąd=0
q=max

2

0

C

CU

2

1

W

=

2

0

M

LI

2

1

W

=

Utworzenie pola B w cewce wymaga pracy; można uważać, że energia pola B zawarta w
cewce o indukcyjności L i prądzie I

0

wynosi

2
0

L

LI

2

1

W

=

Ładunek dq „przepchany” jest przez cewkę przeciwko polu E:
cewka zyskuje energię

LIdI

dt

dq

LdI

dt

dq

dI

L

dq

dt

dI

L

dW

L

=













=

⋅

=













=

dq

E

2
0

I

0

L

LI

2

1

LIdI

W

0

=

=

∫

L

0

0

C

U

L

prąd=max
q=0⇒E

C

=0

B

ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO

ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO (2)

0

2

2
0

0

2
0

L

Sd

B

2

1

I

d

N

N

S

2

1

LI

2

1

W

µ

=

⋅

µ

=

=

L=Sµ

0

nN

cewka (solenoid) o N zwojach i dł. L
gęstość zwojów n=N/L

d

B=µ

0

nI

0

2

0

2

L

L

B

B

2

1

Sd

B

2

1

Sd

1

V

W

w

w

µ

=

µ

=

=

=

Utworzenie pola B wymaga pracy; jeśli w przestrzeni jest pole magnetyczne
o indukcji B, to gęstość energii magnetycznej wynosi

0

2

B

B

2

1

w

µ

=

OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO

L

∼

C

R

ε= ε

0

sin(ωt)

Zmienna SEM

ε= ε

0

sin(ωt)

wymusza w

obwodzie prąd

)

t

sin(

Z

)

t

sin(

I

I

0

0

φ

−

ω

ε

=

φ

−

ω

=

2

2

0

0

C

1

L

R

Z

I













ω

−

ω

+

=

=

ε

Z

R

cos

=

ϕ

Codziennie mamy do czynienia z prądem zmiennym i obwodami prądu zmiennego. Czy
takie obwody zachowują się inaczej niż obwody prądu stałego?

Podobnie jak w obwodzie prądu stałego stosunek maksymalnego prądu do napięcia
źródła jest stały, lecz zależny zarówno od oporu jak i wartości L i C

Wielkości X

L

i X

C

w obwodach prądu zmiennego pełnią rolę oporu. Ponieważ jednak prądy

i napięcia nie są w fazie, dlatego tych oporności nie można po prostu dodać do siebie

L

X

L

ω

=

C

1

X

C

ω

=

Opór indukcyjny

Opór
pojemnościowy

OBWOD REZONANSOWY RLC

L

∼

C

R

RLC

Dla danych L i C prąd jest maksymalny jeśli

LC

1

0

=

ω

=

ω

ε= ε

0

sin(ωt)

napięcie na wejściu
anteny z fali
elektromagnetycznej

napięcie na
wyjściu

R

C

)

t

sin(

Z

)

t

sin(

I

I

0

0

φ

−

ω

ε

=

φ

−

ω

=

2

2

0

0

C

1

L

R

Z

I













ω

−

ω

+

=

=

ε

OBWÓD REZONANSOWY

W układzie rezonansowym odbiornika

R

= 20Ω,

L

= 1.26 µH,

a C=0.567pF, co oznacza, że układ jest w rezonansie dla

Stacja telewizyjna nadaje sygnał, który przy antenie wynosi
100 µV (= sygnał wejściowy)

MHz

188

LC

2

1

2

f

0

0

=

π

=

π

ω

=

100 µV,
188MHz

napięcie na
wyjściu

R=

20Ω

C

=0.567pF

a) Jakie jest natężenie prądu zmiennego w obwodzie i jakie
zmienne napięcie na kondensatorze?

L

=1.26µH

A

5

R

C

1

L

R

Z

I

0

2

2

0

0

0

µ

=

ε

=













ω

−

ω

+

ε

=

ε

=

ω

U

C

ω

0

mV

46

.

7

C

L

I

C

1

I

X

I

U

0

0

0

C

0

C

=

=

ω

=

=

7.46 mV

b) Jeśli kanał 9 jest nadawany na częstości rezonansowej, a kanał 10 188+6MHz, to
jaki sygnał na kondensatorze otrzymamy z kanału 10?

mV

54

.

1

C

1

C

1

L

R

X

I

U

2

2

0

C

0

=

ω













ω

−

ω

+

ε

=

=

1.54 mV

ω

MOC W OBWODZIE PRĄDU ZMIENNEGO

źródłem strat mocy jest wyłącznie opornik R (w
kondensatorze i cewce indukcyjnej nie ma strat
mocy!).

2

0

0

0

0

0

RI

2

1

Z

R

I

2

1

)

cos(

I

2

1

P

=

ε

=

φ

ε

=

natężenie skuteczne I

sk

= I

0

/√2. napięcie skuteczne U

sk

=U

0

/√2. Wtedy:

Wszystkie mierniki napięcia i natężenia zmiennego podają wartości skuteczne.

sk

2
0

RI

RI

2

1

P

=

=

L

ε= ε

0

sin(ωt+ϕ)

∼

C

R

Moc chwilowa:

P(t)= ε*I

P(t)= ε

0

I

0

sin(ωt+ϕ) sin(ωt)

= ε

0

I

0

( cos(ϕ)sin(ωt)+ sin(ϕ)cos(ωt)) sin(ωt).

moc średnia wydzielona w czasie jednego okresu:

∫

∫

∫

ω

φ

ω

+

φ

ω

ε

=

ω

φ

+

ω

ε

=

ε

=

T

0

0

0

T

0

0

0

T

0

dt

)

t

sin(

)

sin

)

t

cos(

cos

)

t

(sin(

I

dt

)

t

sin(

)

t

sin(

I

Idt

T

1

P

2

T

dt

)

t

(

sin

T

0

2

∫

=

ω

Z

R

cos

=

ϕ

,

cos

I

2

1

dt

)

t

sin(

)

t

cos(

sin

dt

)

t

(

sin

cos

I

P

0

0

T

0

T

0

2

0

0

φ

ε

=













ω

ω

φ

+

ω

φ

ε

=

∫

∫