Egzamin 0

WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

19.06.2013

Imię i nazwisko:

W poniższym teście, jeśli podana odpowiedź jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją

następująco:

T , w przeciwnym wypadku: N . Za każdą poprawną odpowiedź otrzymujemy +1 punkt,

za każdą błędną odpowiedź −0.5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania

punktowane są inaczej (od 0 do 2,3 lub 5 punktów).

Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28)

punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.

Równanie u

00

= u

0

jest równaniem różniczkowym cząstkowym;

Równanie przewodnictwa cieplnego nazywane jest również równaniem dyfuzji;

Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona;

Równanie Tricomiego yu

xx

+ u

yy

= 0 jest eliptyczne dla y > 0;

Równanie różniczkowe x

00

= 2x

0

+ x jest równoważne układowi równań



x

0

= y

y

0

= x + 2y

;

Równanie

xy

e

y

dx +



xy −

x

2

y

e

y



dy = 0 jest zupełne;

Wiemy, że funkcja µ(x) = x jest czynnikiem całkującym pewnego równania. Wówczas funkcja µ(x) = 5x też jest
czynnikiem całkującym tego równania;

Jednym z rozwiązań równania t

2

x

0

= −x jest funkcja h(t) = exp(

1

t

), t > 0;

Jeżeli f jest funkcją ciągłą, to zagadnienie x

0

= f (t, x), x(t

0

) = x

0

można zapisać w równoważnej postaci całkowej

x(t) = x

0

+

R

t

t

0

f (s, x(s))ds;

Od funkcji spełniającej równanie różniczkowe pierwszego rzędu żądamy, aby była funkcją zespoloną;

Jedynym ograniczonym rozwiązaniem równania x

0

= x − 2 jest funkcja x(t) = 2;

Zagadnienie początkowe x

00

= ax

0

+ bx, x(0) = x

0

, x

0

(0) = x

1

, a, b ∈ R, ma dokładnie jedno rozwiązanie globalne;

Zagadnienie x

0

= t

√

x − 1, x(3) = 1 posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone na pewnym otoczeniu punktu

t = 1;

Zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu x

0

= p(t)x + q(t), x(t

0

) = x

0

,

t ∈ (a, b), ma dla dowolnych funkcji ciągłych p, q : (a, b) → R dokładnie jedno rozwiązanie globalne;

Funkcja x(t) = x

0

exp



−

R

t

t

0

p(s)ds



jest rozwiązaniem zagadnienia: x

0

= −p(t)x, x(t

0

) = x

0

;

Funkcje sin(2t) i cos(2t) są bazą liniowej przestrzeni rozwiązań równania x

00

+ 4x = 0;

Funkcja u(x, y) =

3
5

−

1
2

(x

4

+ y

4

) + 3x

2

y

2

+ xy jest harmoniczna w R

2

;

Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego jest postaci: u

t

−∆u = f , gdzie f = f (x, t) jest zadaną funkcją;

Równanie Laplace’a w przypadku jednowymiarowym nazywane jest również równaniem struny;

Zagadnienie x

0

=

x

t−1

, x(2) = 0 posiada rozwiązanie określone na całej prostej rzeczywistej;

1. (2 punkty) Rozważmy równanie: x

00

+ p(t)x

0

+ q(t)x = 0, t ∈ (a, b). Niech x

1

(t) i x

2

(t) będą dwoma rozwiązaniami

tego równania na przedziale (a, b). Podać warunek jaki muszą spełniać te rozwiązania, aby zbiór wszystkich
funkcji postaci C

1

x

1

(t) + C

2

x

2

(t), C

1

, C

2

∈ R, był zbiorem wszystkich rozwiązań rozważanego równania.

WRR

Egzamin, Strona 2 z 2

19.06.2013

2. (3 punkty) Podać twierdzenie dotyczące rozwiązania następującego zagadnienia początkowego dla równania

struny:







u

tt

− c

2

u

xx

= 0,

t ­ 0, x ∈ R

u(0, x) = g(x)

x ∈ R

u

t

(0, x) = h(x)

x ∈ R

.

Wykorzystując powyższe twierdzenie znajdź postać rozwiązania zagadnienia (wykonaj obliczenia i podaj wzór):







u

tt

− u

xx

= 0,

t ­ 0, x ∈ R

u(0, x) = x

x ∈ R

u

t

(0, x) = 4x

x ∈ R

.

3. (5 punktów) Rozważmy równanie jednorodne x

0

= A(t)x, gdzie A(t) = [a

i,j

(t)]

i,j=1,...,n

, a

ij

: (a, b) → R są

funkcjami ciagłymi, x : (a, b) → R

n

. Wykaż, że zbiór wszystkich rozwiązań równania jednorodnego x

0

= A(t)x

tworzy n-wymiarową przestrzeń liniową E (należy pokazać, że E jest przestrzenią liniową oraz dimE = n).