Egzamin 0
WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
19.06.2013
Imię i nazwisko:
W poniższym teście, jeśli podana odpowiedź jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją
następująco:
T , w przeciwnym wypadku: N . Za każdą poprawną odpowiedź otrzymujemy +1 punkt,
za każdą błędną odpowiedź −0.5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania
punktowane są inaczej (od 0 do 2,3 lub 5 punktów).
Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28)
punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.
Równanie u
00
= u
0
jest równaniem różniczkowym cząstkowym;
Równanie przewodnictwa cieplnego nazywane jest również równaniem dyfuzji;
Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona;
Równanie Tricomiego yu
xx
+ u
yy
= 0 jest eliptyczne dla y > 0;
Równanie różniczkowe x
00
= 2x
0
+ x jest równoważne układowi równań
x
0
= y
y
0
= x + 2y
;
Równanie
xy
e
y
dx +
xy −
x
2
y
e
y
dy = 0 jest zupełne;
Wiemy, że funkcja µ(x) = x jest czynnikiem całkującym pewnego równania. Wówczas funkcja µ(x) = 5x też jest
czynnikiem całkującym tego równania;
Jednym z rozwiązań równania t
2
x
0
= −x jest funkcja h(t) = exp(
1
t
), t > 0;
Jeżeli f jest funkcją ciągłą, to zagadnienie x
0
= f (t, x), x(t
0
) = x
0
można zapisać w równoważnej postaci całkowej
x(t) = x
0
+
R
t
t
0
f (s, x(s))ds;
Od funkcji spełniającej równanie różniczkowe pierwszego rzędu żądamy, aby była funkcją zespoloną;
Jedynym ograniczonym rozwiązaniem równania x
0
= x − 2 jest funkcja x(t) = 2;
Zagadnienie początkowe x
00
= ax
0
+ bx, x(0) = x
0
, x
0
(0) = x
1
, a, b ∈ R, ma dokładnie jedno rozwiązanie globalne;
Zagadnienie x
0
= t
√
x − 1, x(3) = 1 posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone na pewnym otoczeniu punktu
t = 1;
Zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu x
0
= p(t)x + q(t), x(t
0
) = x
0
,
t ∈ (a, b), ma dla dowolnych funkcji ciągłych p, q : (a, b) → R dokładnie jedno rozwiązanie globalne;
Funkcja x(t) = x
0
exp
−
R
t
t
0
p(s)ds
jest rozwiązaniem zagadnienia: x
0
= −p(t)x, x(t
0
) = x
0
;
Funkcje sin(2t) i cos(2t) są bazą liniowej przestrzeni rozwiązań równania x
00
+ 4x = 0;
Funkcja u(x, y) =
3
5
−
1
2
(x
4
+ y
4
) + 3x
2
y
2
+ xy jest harmoniczna w R
2
;
Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego jest postaci: u
t
−∆u = f , gdzie f = f (x, t) jest zadaną funkcją;
Równanie Laplace’a w przypadku jednowymiarowym nazywane jest również równaniem struny;
Zagadnienie x
0
=
x
t−1
, x(2) = 0 posiada rozwiązanie określone na całej prostej rzeczywistej;
1. (2 punkty) Rozważmy równanie: x
00
+ p(t)x
0
+ q(t)x = 0, t ∈ (a, b). Niech x
1
(t) i x
2
(t) będą dwoma rozwiązaniami
tego równania na przedziale (a, b). Podać warunek jaki muszą spełniać te rozwiązania, aby zbiór wszystkich
funkcji postaci C
1
x
1
(t) + C
2
x
2
(t), C
1
, C
2
∈ R, był zbiorem wszystkich rozwiązań rozważanego równania.
