Egzamin 3

WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

10.09.2013

Imię i nazwisko:

W poniższym teście, jeśli podana odpowiedź jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją

następująco:

T , w przeciwnym wypadku: N . Za każdą poprawną odpowiedź otrzymujemy +1 punkt,

za każdą błędną odpowiedź −0.5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania

punktowane są inaczej (od 0 do 2 lub 4 punktów).

Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28)

punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.

Równanie y

0

(x) = 2xy

2

(x) jest równaniem Bernoulliego;

Wiemy, że funkcja µ(x) = x jest czynnikiem całkującym pewnego równania. Wówczas funkcja µ

2

(x) też jest

czynnikiem całkującym tego równania;

Równanie u

x

= u

y

jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu;

Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona;

Równanie x

00

+ x = 0 posiada nieskończenie wiele rozwiązań okresowych;

Zagadnienie x

0

= a(t)x

3

+ b(t), x(t

0

) = x

0

, dla a, b : R → R ciągłych, może nie posiadać rozwiązania globalnego;

Równanie x

0

= x posiada tylko rozwiązania x(t) takie, że x(t) ­ 0;

Rozwiązanie x(t) = 2 równania x

0

= (2 − x)(x + 5) jest ograniczone w −∞;

Równanie x

0

=

√

t(

√

x)

2

posiada dla dowolnego warunku początkowego x(t

0

) = x

0

, t

0

> 0, dokładnie jedno

rozwiązanie lokalne;

Funkcje y

1

= e

2t

, y

2

= ln |t| e

2t

tworzą układ fundamentalny rozwiazań nastepującego równania różniczkowego

liniowego jednorodnego y

00

− 4y

0

+ 4y = 0;

Równanie przewodnictwa cieplnego jest paraboliczne;

Funkcja x(t) = 4x

0

exp



R

t

t

0

(p(s) + 1)ds



jest rozwiązaniem zagadnienia: x

0

= (p(t) + 1)x, x(t

0

) = 4x

0

;

Czynnik całkujący równania (y

2

sin x + 2xy)dx + (2y − y cos x + 1)dy = 0 jest postaci

1

x

;

Wiemy, że bazą rozwiązań równania x

00

+ bx

0

+ cx = 0 są funkcje sin t oraz cos t. Wówczas rozwiązaniem zagad-

nienia x

00

+ bx

0

+ cx = 0, x(0) = 0, x(π/2) = 2 jest funkcja 2 sin t;

Funkcja u(x, y) =

xy

x

2

+y

2

spełnia równanie xu

x

+ yu

y

= 0 dla (x, y) ∈ R

2

− {(0, 0)};

Jeżeli funkcje u(x, y), v(x, y) są funkcjami harmonicznymi w pewnym obszarze, to funkcja w(x, y) = au

2

(x, y) +

bv(x, y) + c, gdzie a, b, c ∈ R, jest funkcją harmoniczną w tym obszarze;

Równanie u

t

− u

xx

− u

yy

= 0 jest eliptyczne;

Rozwiązań podstawowych równania Laplace’a poszukujemy w postaci rozwiązań radialnych;

W przypadku trójwymiarowym równanie falowe stanowi uproszczony model drgań bryły;

Równanie u

xx

+ u

yy

= f (x, y) jest równaniem Poissona;

1. (4 punkty) Funkcja f (x, y) spełnia równanie Laplace’a, to znaczy: f

00

xx

+ f

00

yy

= 0. Pokazać, że funkcja dana

wzorem g (x, y) = f



x

x

2

+y

2

,

y

x

2

+y

2



też spełnia równanie Laplace’a.

2. (4 punkty) Podaj definicję e

tA

dla dowolnej macierzy kwadratowej A.

Niech A =



λ

1

0

λ



. Wiedząc, że A

n

=



λ

n

nλ

n−1

0

λ

n



wyznacz z definicji e

tA

.

3. (2 punkty) Niech u będzie funkcją harmoniczną na pewnym obszarze ograniczonym D ⊂ R

2

, klasy C

1

w ¯

D.

Wykaż, że jeśli: (1) u

|∂D

= 0, to u ≡ 0 oraz (2)

∂u
∂n |∂D

= 0, to u ≡ const.