Kolokwium nr 1 (22.11.2007)
Zadanie 1.
Wykaza¢, »e ci¡g o wyrazie ogólnym f
n
(x) =
nx
3
x
6
+n
4
jest zbie»ny jednostajnie w R.
Zadanie 2.
Dana jest funkcja f(x) =
{
0, x
∈< 0, 2 >
1, x
∈ (2, 4 >
.
a) Wyznaczy¢ cosinusowy szereg Fouriera tej funkcji.
b) Wyznaczy¢ sum¦ szeregu S(x), narysowa¢ wykres i poda¢, dla jakich x zachodzi f(x) = S(x). Ponadto obliczy¢ S(161).
Zadanie 3.
Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu o wyrazie ogólnym f
n
(x) =
1
x
n
dla x ∈< 1, ∞).
Zadanie 4.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe
∂
2
u
∂x∂y
= y
3
+ x cos y
z warunkami u(0, y) = e
y
, u(x, 0) = (x + 1)
5
.
Zadanie 5.
a) Poda¢ warunki Dirichleta.
b) Poda¢ i udowodni¢ kryterium Weierstrassa.
Zadanie 6.
Wykaza¢ ci¡gªo±¢ funkcji S(x) =
∑
∞
n=1
1
5
n
(
|x|+n
2
)
, x ∈ R i wyznaczy¢ jej przybli»enie sum¡ cz¦±ciow¡ z dokªadno±ci¡
10
−3
.
Kolokwium nr 1 (20.11.2007)
Zadanie 1.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe
∂
2
u
∂x∂y
= xy
2
− e
x
.
Zadanie 2.
Dla funkcji f(x) =
{
0, x
∈< −2, 0 >
1, x
∈ (0, 2 >
wyznaczy¢ trygonometryczny szereg Fouriera oraz wyznaczy¢ sum¦ tego sze-
regu, narysowa¢ jej wykres, poda¢ dla jakich x funkcja f(x) jest równa sumie szeregu.
Zadanie 3.
Funkcji f(x) = 3 − x, x ∈< 0, 3 > odpowiada cosinusowy szereg Fouriera
3
2
+
∑
∞
n=1
6(1
−(−1)
n
)
π
2
n
2
cos
nπx
3
. Obliczy¢:
a)
∑
∞
n=1
1
−(−1)
n
n
2
,
b)
∑
∞
n=1
1
(2n
−1)
2
.
Zadanie 4.
Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ z zbiorze R
a) szeregu funkcyjnego
∑
∞
n=1
(
−2)
n
n!
cos nx
,
b) ci¡gu funkcyjnego o wyrazie ogólnym f
n
(x) =
1
n
arctg(n
2
x)
.
Zadanie 5.
a) Poda¢ twierdzenie o ró»niczkowaniu szeregu funkcyjnego i analogiczne twierdzenie dla ci¡gu funkcyjnego.
b) Poda¢ i udowodni¢ twierdzenie o ci¡gªo±ci sumy szeregu funkcyjnego.
Zadanie 6.
Uzasadni¢ z de nicji, »e szereg
∑
∞
n=1
4
nx
nie jest zbie»ny jednostajnie w przedziale (−∞, 0).
1
Kolokwium nr 2 (10.01.2008)
Zadanie 1.
Wyznaczy¢ transformat¦ Laplace'a funkcji f
1
(x) =
3, x
∈< 0, 1 >
−3, x ∈ (1, 2 >
0, x < 0
lub x > 2
oraz zbada¢ czy funkcja
f
2
(x) = e
−3x
x cos x
· h(x) jest funkcj¡ typu wykªadniczego.
Zadanie 2.
Wyznaczy¢ tensor bezwªadno±ci dla ukªadu mas 1kg, 2kg, 3kg rozmieszczonych odpowiednio w punktach (0, 0, 0), (3, 0, 0),
(0, 1, 0)
, napisa¢ równanie kwadryki tensorowej i okre±li¢ jak¡ jest powierzchni¡, wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej
przez punkt (0, 0, 0) wzgl¦dem której moment bezwªadno±ci jest najwi¦kszy i poda¢ jej warto±¢.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ macierz operacji liniowej A danej wzorem A(⃗x) = ⃗x × ⃗a, ⃗a = 3 ⃗e
1
+ ⃗
e
2
+ ⃗
e
3
w bazie ortonormalnej. Ponadto
wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ⃗a w bazie B
′
znaj¡c macierz przej±cia P =
−2
√
5
1
3
2
3
√
5
0
2
3
−5
3
√
5
1
√
5
2
3
4
3
√
5
.
Zadanie 4.
Sprawdzi¢, czy operacja A: V
3
→ V
3
dana wzorem A(⃗x) = 2⃗x + ⃗a jest liniowa (gdzie ⃗a - dowolny, niezerowy wektor).
Zadanie 5.
Rozwi¡za¢ równanie
∂
2
u
∂x
2
=
∂u
∂t
z warunkami
∂u
∂x
(0, t) =
∂u
∂x
(3, t) = 0
, u(x, 0) = cos(πx).
Zadanie 6.
a) Poda¢ de nicj¦ macierzy podobnej.
b) Poda¢ 4 wªasno±ci macierzy ortogonalnej.
c) Udowodni¢, »e wielomian charakterystyczny macierzy A jest niezmiennikiem bazy.
Poprawa kolokwium nr 1 (05.01.2009)
Zadanie 1.
Funkcji f(x) =
{
1, x
∈< 0,
π
2
2, x
∈ (
π
2
, π >
odpowiada szereg Fouriera
3
2
+
∑
∞
n=1
−2 sin
nπ
2
nπ
cos nx
. Obliczy¢
∑
∞
n=1
(
−1)
n+1
sin
nπ
2
n
.
Zadanie 2.
Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu funkcyjnego o wyrazie ogólnym f
n
(x) = cos
2x
n
− 1, x ∈< −6, 5).
Zadanie 3.
Dana jest funkcja f(x) =
{
1, x
∈< 0, 2 >
0, x
∈ (2, 3 >
.
a) Wyznaczy¢ dla funkcji f cosinusowy szereg Fouriera.
b) Wyznaczy¢ sum¦ S(x) tego szeregu i narysowa¢ jej wykres oraz poda¢ dla jakich x zachodzi f(x) = S(x). Ponadto
korzystaj¡c z okresowo±ci sumy obliczy¢ S(65).
Zadanie 4.
Zbada¢ dla jakich x ∈ (−
π
2
,
π
2
)
szereg
∑
∞
n=1
(tg x)
n
n
2
jest zbie»ny.
2
Kolokwium nr 2 (07.01.2009)
Zadanie 1. Wyznaczy¢ macierz operacji liniowej danej wzorem A(⃗x) = ⃗u × ⃗x, ⃗u =
2
1
2
B
, ⃗x =
x
1
x
2
x
3
B
.
Zadanie 2. Dany jest funkcjonaª J[y] =
∫
2
1
x
4
y
′
dx
z warunkami y(1) = −1, y(2) = 6. Sprawdzi¢, czy na ekstremali
ϕ(x) = x
3
− 2 jest speªniony warunek Jacobiego.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ element tensora bezwªadno±ci znajduj¡cy si¦ w drugim wierszu pierwszej kolumny dla masy o g¦sto±ci
ρ(x, y, z) =
1
x
rozªo»onej w obszarze V = {(x, y, z) ∈ R
3
: 1
≤ x
2
+ y
2
≤ 9, 1 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.
Zadanie 4.
a) Wykaza¢, »e równanie charakterystyczne operacji liniowej A nie zale»y od bazy B.
b) Poda¢ wªasno±ci macierzy ortogonalnej dotycz¡ce jej kolumn i zapisa¢ j¡ korzystaj¡c z umowy sumacyjnej Einsteina.
Kolokwium nr 2 (07.01.2009)
Zadanie 1.
Zbada¢, czy operacja dana wzorem A(⃗x) =
[
3x
2
x
1
x
2
]
dla ⃗x =
[
x
1
x
2
]
jest liniowa.
Zadanie 2.
Wyznaczy¢ ekstremal¦ funkcjonaªu J[y] =
∫
3
0
[12xy + yy
′
+ (y
′
)
2
]dx
z warunkami y(0) = 6, y(3) = 0. Ponadto zbada¢, czy
na tej ekstremali funkcjonaª osi¡ga ekstremum silne, wiedz¡c, »e na tej ekstremali jest speªniony warunek Jacobiego.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ element tensora bezwªadno±ci znajduj¡cy si¦ w 1 wierszu i 3 kolumnie dla masy o g¦sto±ci ρ(x, y, z) =
1
x
2
+y
2
rozªo»onej w obszarze V = {(x, y, z) ∈ R
3
: 1
≤ x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 4, 0 ≤ z ≤
√
x
2
+ y
2
, x
≥ 0}.
Zadanie 4.
a) Wykaza¢, »e warto±ci wªasne operacji symetrycznej A: V
2
→ V
2
s¡ liczbami rzeczywistymi.
b) Zapisa¢ wzór na A
B
′
= P
−1
A
B
P
z wykorzystaniem umowy sumacyjnej Einsteina.
Sprawdzian (09.11.2008)
Zadanie 1.
Poda¢ de nicj¦ macierzy podobnych i zbada¢, czy macierze A =
[
5
0
0
−1
]
, B =
[
0
1
2
1
]
s¡ podobne.
Zadanie 2.
W bazie B = {⃗e
1
, ⃗
e
2
, ⃗
e
3
} wektor ⃗x =
−2
1
3
B
. Wyznaczy¢ macierz przej±cia z bazy B do B
′
oraz wspóªrz¦dne wektora
⃗
x
w bazie B
′
, je»eli B
′
=
{⃗e
1
′
, ⃗
e
2
′
, ⃗
e
3
′
} i ⃗e
1
′
=
1
√
2
⃗
e
2
−
1
√
2
⃗
e
1
, ⃗e
2
′
=
1
√
6
⃗
e
1
+
1
√
6
⃗
e
2
−
2
√
6
⃗
e
3
, ⃗e
3
′
=
1
√
3
(⃗
e
1
+ ⃗
e
2
+ ⃗
e
3
)
.
Zadanie 3.
Rozwi¡» równanie ró»niczkowe
∂
2
u
∂x∂y
= xy
2
− e
x
, z warunkami u(0, y) = e
y
, u(x, 0) = (x + 1)
5
.
3
Zadanie 4.
Poda¢ 4 wªasno±ci macierzy ortogonalnej.
Sprawdzian
Zadanie 1.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe
∂
2
u
∂x∂y
−
1
2x
∂u
∂y
= 0
.
Zadanie 2.
Pokaza¢, »e macierze A =
[
1
0
0
2
]
i B =
[
2
0
−1 1
]
s¡ podobne.
Zadanie 3.
Dane s¡ bazy B
1
=
⃗
e
1
=
0
0
1
,⃗e
2
=
1
0
0
,⃗e
3
=
0
1
0
, B
2
=
⃗
e
1
′
=
1
3
1
3
−
2
3
,⃗e
2
′
=
−
2
√
5
0
1
√
5
,⃗e
3
′
=
2
3
√
5
−
5
3
√
5
4
3
√
5
.
Wyznaczy¢ macierz przej±cia z B
1
do B
2
. Sprawdzi¢, czy macierz przej±cia jest ortogonalna.
Zadanie 4.
a) Poda¢ zwi¡zek mi¦dzy wspóªrz¦dnymi wektora w bazie B i B
′
i macierz¡ przej±cia P .
b) De nicja macierzy podobnych.
c) De nicja macierzy ortogonalnych.
4