Kolokwium nr 1 (22.11.2007)

Zadanie 1.

Wykaza¢, »e ci¡g o wyrazie ogólnym f

n

(x) =

nx

3

x

6

+n

4

jest zbie»ny jednostajnie w R.

Zadanie 2.
Dana jest funkcja f(x) =

{

0, x

∈< 0, 2 >

1, x

∈ (2, 4 >

.

a) Wyznaczy¢ cosinusowy szereg Fouriera tej funkcji.

b) Wyznaczy¢ sum¦ szeregu S(x), narysowa¢ wykres i poda¢, dla jakich x zachodzi f(x) = S(x). Ponadto obliczy¢ S(161).

Zadanie 3.

Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu o wyrazie ogólnym f

n

(x) =

1

x

n

dla x ∈< 1, ∞).

Zadanie 4.

Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe

∂

2

u

∂x∂y

= y

3

+ x cos y

z warunkami u(0, y) = e

y

, u(x, 0) = (x + 1)

5

.

Zadanie 5.

a) Poda¢ warunki Dirichleta.

b) Poda¢ i udowodni¢ kryterium Weierstrassa.

Zadanie 6.

Wykaza¢ ci¡gªo±¢ funkcji S(x) =

∑

∞
n=1

1

5

n

(

|x|+n

2

)

, x ∈ R i wyznaczy¢ jej przybli»enie sum¡ cz¦±ciow¡ z dokªadno±ci¡

10

−3

.

Kolokwium nr 1 (20.11.2007)

Zadanie 1.

Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe

∂

2

u

∂x∂y

= xy

2

− e

x

.

Zadanie 2.
Dla funkcji f(x) =

{

0, x

∈< −2, 0 >

1, x

∈ (0, 2 >

wyznaczy¢ trygonometryczny szereg Fouriera oraz wyznaczy¢ sum¦ tego sze-

regu, narysowa¢ jej wykres, poda¢ dla jakich x funkcja f(x) jest równa sumie szeregu.

Zadanie 3.

Funkcji f(x) = 3 − x, x ∈< 0, 3 > odpowiada cosinusowy szereg Fouriera

3
2

+

∑

∞
n=1

6(1

−(−1)

n

)

π

2

n

2

cos

nπx

3

. Obliczy¢:

a)

∑

∞
n=1

1

−(−1)

n

n

2

,

b)

∑

∞
n=1

1

(2n

−1)

2

.

Zadanie 4.

Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ z zbiorze R
a) szeregu funkcyjnego

∑

∞
n=1

(

−2)

n

n!

cos nx

,

b) ci¡gu funkcyjnego o wyrazie ogólnym f

n

(x) =

1

n

arctg(n

2

x)

.

Zadanie 5.

a) Poda¢ twierdzenie o ró»niczkowaniu szeregu funkcyjnego i analogiczne twierdzenie dla ci¡gu funkcyjnego.

b) Poda¢ i udowodni¢ twierdzenie o ci¡gªo±ci sumy szeregu funkcyjnego.

Zadanie 6.

Uzasadni¢ z denicji, »e szereg

∑

∞
n=1

4

nx

nie jest zbie»ny jednostajnie w przedziale (−∞, 0).

1

Kolokwium nr 2 (10.01.2008)

Zadanie 1.

Wyznaczy¢ transformat¦ Laplace'a funkcji f

1

(x) =










3, x

∈< 0, 1 >

−3, x ∈ (1, 2 >
0, x < 0

lub x > 2

oraz zbada¢ czy funkcja

f

2

(x) = e

−3x

x cos x

· h(x) jest funkcj¡ typu wykªadniczego.

Zadanie 2.

Wyznaczy¢ tensor bezwªadno±ci dla ukªadu mas 1kg, 2kg, 3kg rozmieszczonych odpowiednio w punktach (0, 0, 0), (3, 0, 0),

(0, 1, 0)

, napisa¢ równanie kwadryki tensorowej i okre±li¢ jak¡ jest powierzchni¡, wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej

przez punkt (0, 0, 0) wzgl¦dem której moment bezwªadno±ci jest najwi¦kszy i poda¢ jej warto±¢.

Zadanie 3.

Wyznaczy¢ macierz operacji liniowej A danej wzorem A(⃗x) = ⃗x × ⃗a, ⃗a = 3 ⃗e

1

+ ⃗

e

2

+ ⃗

e

3

w bazie ortonormalnej. Ponadto

wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora ⃗a w bazie B

′

znaj¡c macierz przej±cia P =






−2

√

5

1
3

2

3

√

5

0

2
3

−5

3

√

5

1

√

5

2
3

4

3

√

5




.

Zadanie 4.

Sprawdzi¢, czy operacja A: V

3

→ V

3

dana wzorem A(⃗x) = 2⃗x + ⃗a jest liniowa (gdzie ⃗a - dowolny, niezerowy wektor).

Zadanie 5.

Rozwi¡za¢ równanie

∂

2

u

∂x

2

=

∂u

∂t

z warunkami

∂u
∂x

(0, t) =

∂u
∂x

(3, t) = 0

, u(x, 0) = cos(πx).

Zadanie 6.

a) Poda¢ denicj¦ macierzy podobnej.

b) Poda¢ 4 wªasno±ci macierzy ortogonalnej.

c) Udowodni¢, »e wielomian charakterystyczny macierzy A jest niezmiennikiem bazy.

Poprawa kolokwium nr 1 (05.01.2009)

Zadanie 1.
Funkcji f(x) =

{

1, x

∈< 0,

π

2

2, x

∈ (

π

2

, π >

odpowiada szereg Fouriera

3
2

+

∑

∞
n=1

−2 sin

nπ

2

nπ

cos nx

. Obliczy¢

∑

∞
n=1

(

−1)

n+1

sin

nπ

2

n

.

Zadanie 2.

Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu funkcyjnego o wyrazie ogólnym f

n

(x) = cos

2x

n

− 1, x ∈< −6, 5).

Zadanie 3.
Dana jest funkcja f(x) =

{

1, x

∈< 0, 2 >

0, x

∈ (2, 3 >

.

a) Wyznaczy¢ dla funkcji f cosinusowy szereg Fouriera.

b) Wyznaczy¢ sum¦ S(x) tego szeregu i narysowa¢ jej wykres oraz poda¢ dla jakich x zachodzi f(x) = S(x). Ponadto

korzystaj¡c z okresowo±ci sumy obliczy¢ S(65).

Zadanie 4.

Zbada¢ dla jakich x ∈ (−

π

2

,

π

2

)

szereg

∑

∞
n=1

(tg x)

n

n

2

jest zbie»ny.

2

Kolokwium nr 2 (07.01.2009)

Zadanie 1. Wyznaczy¢ macierz operacji liniowej danej wzorem A(⃗x) = ⃗u × ⃗x, ⃗u =




2
1
2




B

, ⃗x =




x

1

x

2

x

3




B

.

Zadanie 2. Dany jest funkcjonaª J[y] =

∫

2

1

x

4

y

′

dx

z warunkami y(1) = −1, y(2) = 6. Sprawdzi¢, czy na ekstremali

ϕ(x) = x

3

− 2 jest speªniony warunek Jacobiego.

Zadanie 3.

Wyznaczy¢ element tensora bezwªadno±ci znajduj¡cy si¦ w drugim wierszu pierwszej kolumny dla masy o g¦sto±ci

ρ(x, y, z) =

1

x

rozªo»onej w obszarze V = {(x, y, z) ∈ R

3

: 1

≤ x

2

+ y

2

≤ 9, 1 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.

Zadanie 4.

a) Wykaza¢, »e równanie charakterystyczne operacji liniowej A nie zale»y od bazy B.

b) Poda¢ wªasno±ci macierzy ortogonalnej dotycz¡ce jej kolumn i zapisa¢ j¡ korzystaj¡c z umowy sumacyjnej Einsteina.

Kolokwium nr 2 (07.01.2009)

Zadanie 1.
Zbada¢, czy operacja dana wzorem A(⃗x) =

[

3x

2

x

1

x

2

]

dla ⃗x =

[

x

1

x

2

]

jest liniowa.

Zadanie 2.

Wyznaczy¢ ekstremal¦ funkcjonaªu J[y] =

∫

3

0

[12xy + yy

′

+ (y

′

)

2

]dx

z warunkami y(0) = 6, y(3) = 0. Ponadto zbada¢, czy

na tej ekstremali funkcjonaª osi¡ga ekstremum silne, wiedz¡c, »e na tej ekstremali jest speªniony warunek Jacobiego.

Zadanie 3.

Wyznaczy¢ element tensora bezwªadno±ci znajduj¡cy si¦ w 1 wierszu i 3 kolumnie dla masy o g¦sto±ci ρ(x, y, z) =

1

x

2

+y

2

rozªo»onej w obszarze V = {(x, y, z) ∈ R

3

: 1

≤ x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 4, 0 ≤ z ≤

√

x

2

+ y

2

, x

≥ 0}.

Zadanie 4.

a) Wykaza¢, »e warto±ci wªasne operacji symetrycznej A: V

2

→ V

2

s¡ liczbami rzeczywistymi.

b) Zapisa¢ wzór na A

B

′

= P

−1

A

B

P

z wykorzystaniem umowy sumacyjnej Einsteina.

Sprawdzian (09.11.2008)

Zadanie 1.
Poda¢ denicj¦ macierzy podobnych i zbada¢, czy macierze A =

[

5

0

0

−1

]

, B =

[

0

1

2

1

]

s¡ podobne.

Zadanie 2.

W bazie B = {⃗e

1

, ⃗

e

2

, ⃗

e

3

} wektor ⃗x =




−2

1
3




B

. Wyznaczy¢ macierz przej±cia z bazy B do B

′

oraz wspóªrz¦dne wektora

⃗

x

w bazie B

′

, je»eli B

′

=

{⃗e

1

′

, ⃗

e

2

′

, ⃗

e

3

′

} i ⃗e

1

′

=

1

√

2

⃗

e

2

−

1

√

2

⃗

e

1

, ⃗e

2

′

=

1

√

6

⃗

e

1

+

1

√

6

⃗

e

2

−

2

√

6

⃗

e

3

, ⃗e

3

′

=

1

√

3

(⃗

e

1

+ ⃗

e

2

+ ⃗

e

3

)

.

Zadanie 3.

Rozwi¡» równanie ró»niczkowe

∂

2

u

∂x∂y

= xy

2

− e

x

, z warunkami u(0, y) = e

y

, u(x, 0) = (x + 1)

5

.

3

Zadanie 4.

Poda¢ 4 wªasno±ci macierzy ortogonalnej.

Sprawdzian

Zadanie 1.

Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe

∂

2

u

∂x∂y

−

1

2x

∂u
∂y

= 0

.

Zadanie 2.
Pokaza¢, »e macierze A =

[

1

0

0

2

]

i B =

[

2

0

−1 1

]

s¡ podobne.

Zadanie 3.

Dane s¡ bazy B

1

=






⃗

e

1

=




0
0
1


 ,⃗e

2

=




1
0
0


 ,⃗e

3

=




0
1
0









, B

2

=










⃗

e

1

′

=




1
3

1
3

−

2
3


 ,⃗e

2

′

=




−

2

√

5

0

1

√

5


 ,⃗e

3

′

=






2

3

√

5

−

5

3

√

5

4

3

√

5















.

Wyznaczy¢ macierz przej±cia z B

1

do B

2

. Sprawdzi¢, czy macierz przej±cia jest ortogonalna.

Zadanie 4.

a) Poda¢ zwi¡zek mi¦dzy wspóªrz¦dnymi wektora w bazie B i B

′

i macierz¡ przej±cia P .

b) Denicja macierzy podobnych.

c) Denicja macierzy ortogonalnych.

4