Kolokwium nr 1 z matematyki
Wydzia l WILi´
S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008
Zad.1. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Zbada´c, czy pole wektorowe ~
F
= [3x
2
+ y, x, 2z] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczy´c
ten potencja l.
Zad.2. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Wyznaczy´c moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OXY krzywej L : {x
2
+ y
2
= 4, z = 2} o g¸esto´sci masy
ρ
(x, y, z) = xyz + x
2
z
.
Zad.3. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Obliczy´c
R
L
x
2
ydx
+ xy(y + 1)dy, je˙zeli L jest krzyw¸a L : {x
2
+ y
2
+ 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem
swojego wn¸etrza.
Zad.4. [2p+3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
a) Poda´c twierdzenie Greena.
b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c
R
L
(x + y)dx + 2xdy, je˙zeli L jest tr´
ojk¸atem o wierzcho lkach A(0,0),
B(2,0) o C(0,2) zorientowanym dodatnio wzgl¸edem swojego wn¸etrza.
Zad.5. [6p+2p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 5 ]
a) Dana jest linia ´srubowa
L
: ~r(t) = [a cos t, a sin t, bt], a, b > 0, t ∈ R
Obliczy´c krzywizn¸e krzywej L w dowolnym jej punkcie. Wyznaczy´c k¸at, jaki tworzy p laszczyzna ´sci´sle styczna
do L w dowolnym jej punkcie z osi¸a OZ.
b) Poda´c definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy linia ´srubowa rozwa˙zana w punkcie a) posiada punkty
wyprostowania?