Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [2xze

2

y

+ sin z, 2x

2

ze

2

y

, x

2

e

2

y

+ x cos z + 3z

2

] spe lnia warunek wystarczaj¸acy

istnienia potencja lu i wyznaczy´c ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OYZ krzywej L : {x(t) = t, y(t) = t

2

, z

(t) =

2
3

t

3

, t

∈ [0, 1]}

o g¸esto´sci masy ρ(x, y, z) =

1

1+2

y

.

Zad.3. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

a) Obliczy´c

R

L

(x − y)dx + (y + x)dy, je˙zeli L jest krzyw¸a L : {x

2

+ y

2

+ 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem

swojego wn¸etrza.

b) Poda´c twierdzenie Greena oraz sprawdzi´c tez¸e tego twierdzenia dla ca lki liczonej w punkcie a).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o r´ownaniu:

L

: ~r(t) = [t,

1

t

+ 1,

1

t

− t]

wyznaczy´c r´ownanie prostej stycznej i p laszczyzny ´sci´sle stycznej w punkcie P (−1, 0, 0).

Zad.5. [5p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Wykaza´c, ˙ze krzywizna i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x

2

,

6z = x

3

} s¸a sobie r´owne.

b) Co znaczy, ˙ze punkt M

0

( ~

OM

= ~r(t

0

)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty wyprostowania?