Korelacja to związek między zmiennymi - sytuacja, w której zmianom wartości
jednej zmiennej towarzyszy zmiana wartości drugiej – skorelowanej z nią zmiennej.
Miarą siły i kierunku oraz kształtu związku jest współczynnik korelacji (dla
zmiennych porządkowych i ilościowych) lub współczynnik kontyngencji (dla
zmiennych nominalnych).
Do pomiaru siły związku między zmiennymi interwałowymi służyć może
współczynnik korelacji r Pearsona. Przyjmuje on wartości do -1 (dla bardzo silnych
związków ujemnych) do + 1 (dla bardzo silnych związków dodatnich.

Współczynnik

korelacji

r

Pearsona

to wystandaryzowany współczynnik

kowariancji:





W praktyce częściej wykorzystujemy inny, bardziej wygodny wzór do obliczania
współczynnika korelacji:







Badano, czy istnieje związek między poziomem stresu i agresji (obie zmienne
wyrażono na skali interwałowej). Otrzymane wyniki prezentowane są poniżej:

stres

agresja

lp

X

Y

X*Y

X

2

Y

2

1

2,00

1,70

3,40

4,00

2,89

2

3,00

2,20

6,60

9,00

4,84

3

3,00

2,20

6,60

9,00

4,84

4

4,00

3,10

12,40

16,00

9,61

5

5,00

3,80

19,00

25,00

14,44

6

4,00

3,20

12,80

16,00

10,24

7

3,00

2,50

7,50

9,00

6,25

8

2,00

2,70

5,40

4,00

7,29

9

3,00

2,60

7,80

9,00

6,76

10

4,00

3,00

12,00

16,00

9,00

11

2,00

1,70

3,40

4,00

2,89

12

3,00

2,20

6,60

9,00

4,84

SUMA

38,00

30,90

103,50

130,00

83,89

y

x

xy

s

s

r

cov

=

]

)

(

][

)

(

[

)

)(

(

2

2

2

2

y

y

N

x

x

N

y

x

xy

N

r

Σ

−

Σ

Σ

−

Σ

Σ

Σ

−

Σ

=

Na podstawie sum kolumn obliczono współczynnik korelacji r Pearsona:

Przed rozpoczęciem interpretacji współczynnika korelacji badacz musi również
dokonać oceny poziomu istotności dla danego współczynnika korelacji. Hipoteza
zerowa, którą testujemy , mówi o tym, że wartość współczynnika korelacji wynosi 0
(czyli nie ma związku między zmiennymi). Graniczny poziom istotności stosowany
m.in. w naukach społecznych wynosi 0,05.
Statystyka testowa testowana jest na rozkładzie t Studenta i obliczana jest według
wzoru:

58

,

5

243

,

0

10

87

,

0

87

,

0

1

2

12

87

,

0

1

2

2

2

=

=

−

−

=

−

−

=

r

N

r

t

Obliczoną statystykę t porównujemy z wartością t krytyczną odczytaną z tablic
rozkładu t Studenta. Do odczytania wartości potrzebna jest nam liczba stopni

swobody (df), która jest równa

df= N-2 = 10.

Odczytana z tablic wartość krytyczna t dla df= 10 i p=0,05 jest równa

2,228

.

Hipotezę zerową (r=0) odrzucamy wówczas, gdy spełniony jest warunek:

kryt

obl

t

t

≥

Jak widać powyżej obliczone t =5,58 jest większe od 2,228 , oznacza to, że możemy
odrzucić hipotezę zerową, czyli obliczony współczynnik korelacji jest istotny
(prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest niższe od założonego p=0,05).
Gdyby nie udało nam się odrzucić hipotezy zerowej nie moglibyśmy twierdzić, iż
między zmiennymi istnieje związek.
W naszym przykładzie możemy stwierdzić, iż istnieje silny dodatni związek
między zmiennymi. Współczynnik determinacji jest równy (0,87)

2

= 0,76, czyli

zmienne maja 76% wspólnej wariancji.

87

,

0

87

,

51

*

116

8

,

67

]

)

9

,

30

(

89

,

83

*

12

[

*

)

38

(

130

*

12

[

9

,

30

*

38

5

,

103

*

12

]

)

(

][

)

(

[

)

)(

(

2

2

2

2

2

2

=

=

−

−

−

=

Σ

−

Σ

Σ

−

Σ

Σ

Σ

−

Σ

=

y

y

N

x

x

N

y

x

xy

N

r

W przypadku danych porządkowych (gdy korelujemy dwie zmienne porządkowe lub
jedną porządkową i jedną interwałową) stosujemy współczynniki dla danych
porządkowych np.

r

s

Spearmana.

Sprawdzano, czy istnieje związek pomiędzy poziomem stresu (pomiar interwałowy) a
deklarowanym

poziomem

nastroju

(pomiar

porządkowey).

Obie

wartości

porangowano, obliczono różnice między rangami i ich kwadrat. Wyniki
zaprezentowane są poniżej.

stres

poziom
nastroju

ranga

ranga

ró

ż

nica rang

lp

X

N

stres

nastrój

d

i

d

i

2

1

2,00

2,00

2,00

8,50

6,50

42,25

2

3,00

1,50

6,00

5,00

-1,00

1,00

3

3,00

1,00

6,00

2,00

-4,00

16,00

4

4,00

1,00

10,00

2,00

-8,00

64,00

5

5,00

1,00

12,00

2,00

-10,00

100,00

6

4,00

1,50

10,00

5,00

-5,00

25,00

7

3,00

1,50

6,00

5,00

-1,00

1,00

8

2,00

2,00

2,00

8,50

6,50

42,25

9

3,00

2,00

6,00

8,50

2,50

6,25

10

4,00

2,50

10,00

11,00

1,00

1,00

11

2,00

3,00

2,00

12,00

10,00

100,00

12

3,00

2,00

6,00

8,50

2,50

6,25

SUMA

405,00

Podobnie jak w przypadku poprzedniego współczynnika korelacji najpierw należy
sprawdzić poziom istotności. Zasada jest identyczna, jak w przypadku r Pearsona

46

,

1

82

,

0

10

42

,

0

)

42

,

0

(

1

2

12

42

,

0

1

2

2

2

−

=

=

−

−

−

−

=

−

−

=

s

s

r

N

r

t

)

1

(

6

1

2

2

−

−

=

∑

n

n

d

r

i

s

42

,

0

)

1

144

(

12

405

*

6

1

)

1

(

6

1

2

2

−

=

−

−

=

−

−

=

∑

n

n

d

r

i

s

Odczytana z tablic rozkładu t wartość krytyczna wynosi (jak poprzednio, gdyż liczba

pomiarów jest taka sama)

2,228

. Bezwzględna wartość t obliczonego jest mniejsza

od t krytycznego, co nie pozwala nam na odrzucenie hipotezy zerowej mówiącej o
braku związku między zmiennymi. . Nie możemy zatem twierdzić, by istniał
związek pomiędzy poziomem stresu, a deklarowanym poziomem nastroju.


W przypadku danych nominalnych związek badany jest przy pomocy współczynników
kontyngencji Fi Yula lub V Cramera.
Dla tablic czteropolowych stosujemy współczynnik Fi:


Dla tablic o większej liczbie pól współczynnik V:



min (w-1:k-1) w ostatnim wzorze oznacza mniejszą z dwóch wartości: liczba wierszy
minus 1 lub liczba kolumn minus 1

Jak widać w oby przypadkach konieczne jest policzenie wartości Chi kwadrat (

2

χ

)

Przed obliczeniem wartości Fi lub V należy zbadać przy pomocy rozkładu chi
kwadrat, czy obliczona wartość jest istotna statystycznie.

Badano, czy istnieje związek pomiędzy płcią a ulubionym sposobem spędzania
wolnego czasu. Uzyskano wyniki:

TV, Komputer

Sport, spacery

Spotkania z
przyjaciółmi

Suma
wiersza

Kobiety

7

8

15

30

Mężczyźni

15

10

5

30

Suma kolumny

25

18

17

60

Chi kwadrat sprawdza, czy istnieje statystycznie istotna różnica pomiędzy
wartościami obserwowanymi (empirycznymi), a oczekiwanymi (teoretycznymi,
wynikającymi z rozkładu prawdopodobieństwa).

Wartości oczekiwane oblicza się mnożąc sumę wiersza i sumę kolumny dla danej
komórki, a następnie dzieląc uzyskany iloczyn przez ogólna liczbę osób w tabeli.

Np. wartość oczekiwana dla pierwszej komórki (komórki a) wynosić będzie:

N

2

χ

ϕ

=

)

1

;

1

min(

2

−

−

=

k

w

N

V

χ

5

,

12

60

25

*

30

)

)(

(

=

=

+

+

+

=

N

d

a

c

b

a

e

a

komórka

o

e

o-e

(o-e)

2

(o-e)

2

/e

a

7,00

12,50

-5,50

30,25

2,42

b

8,00

9,00

-1,00

1,00

0,11

c

15,00

8,50

6,50

42,25

4,97

d

15,00

12,50

2,50

6,25

0,50

e

10,00

9,00

1,00

1,00

0,11

f

5,00

8,50

-3,50

12,25

1,44

SUMA:

9,55

Wartości oczekiwane zostają umieszczone w tabeli, następnie obliczamy różnicę
pomiędzy wartościami oczekiwanymi a obserwowanymi, otrzymaną wartość
podnosimy do kwadratu i dzielimy przez wartość oczekiwaną. Suma obliczonych w

ten sposób wartości to chi kwadrat. (

2

χ

= 9,55)

W pierwszym kroku sprawdzamy, czy otrzymana wartość statystyki testowej jest
wyższa od wartości krytycznej. Tę ostatnia odczytujemy z tablic rozkładu chi kwadrat,
pamiętając, iż liczba stopni swobody jest w tym przypadku zależna od liczby cech i
grup i wynosi:

df= (w-1)(k-1) = (2-1)(3-1) =2

w – liczba wierszy w tabeli z danymi
k – liczba kolumn w tabeli z danymi

Wartość krytyczna chi kwadrat dla df = 2 i dla p = 0,05 wynosi 5,991.
Ponieważ obliczona wartość (9,55) jest większa od wartości krytycznej uznajemy, że
mamy podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o braku związku miedzy
zmiennymi.
Możemy zatem przejść do drugiego kroku analizy i obliczyć współczynnik
kontyngencji V Cramera.







Wartość współczynnika V wynosi 0,4 , pomiędzy zmiennymi istnieje stosunkowo
słaby związek i polega on na tym, że panie najchętniej spędzają wolny czas z
przyjaciółmi, a panowie wolą oglądać TV lub surfować po sieci.

40

,

0

)

1

2

(

*

60

55

,

9

)

1

;

1

min(

2

=

−

=

=

−

−

k

w

N

V

χ