Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2013 (98)
177
Andriy Czaban
1
, Wasyl Czaban
1,2
, Andrzej Rusek
1
, Marek Lis
1
Politechnika Częstochowska, Częstiochowa
(1)
,
Politechnika Lwowska, Lwów
(2)
MODEL MATEMATYCZNY SILNIKA SYNCHRONICZNEGO
Z MAGNESAMI TRWAŁYMI TYPU PMSM Z WYKORZYSTANIEM
METOD WARIACYJNYCH
VARIATIONAL METHODS-BASED MATHEMATICAL MODEL OF THE
PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTOR (PMSM)
Streszczenie: W pracy korzystając z koncepcji elektromechanicznego przetwarzania energii i nowej interdy-
scyplinarnej metody wariacyjnej przedstawionej w [1], zbudowano model matematyczny napędu synchronicz-
nego z magnesami trwałymi typu PMSM z uwzględnieniem wzajemnego wpływu nieliniowej zależności in-
dukcji magnesów trwałych i pola magnetycznego twornika maszyny. Wyniki symulacji komputerowej przed-
stawiono w postaci graficznej.
Abstract: The mathematical model of a drive based on permanent magnet synchronous motor (PMSM) is
proposed in the paper. The model is formed using a concept of electromechanical transformation of energy
and the new interdisciplinary variational method presented in [1]. The influence of nonlinear dependency be-
tween magnetic induction of permanent magnets and magnetic field of motor armature is taken into account.
The results of simulation are presented in graphical forms.
Słowa kluczowe: maszyny elektryczne, silniki synchroniczne z magnesami trwałymi (PMSM)
Keywords: electrical machines, permanent magnet synchronous motor (PMSM)
Wstęp
Szybki rozwój technologii elektronicznej oraz
techniki mikroprocesorowej oferuje dzisiaj mo-
żliwości realizacji najbardziej złożonych algo-
rytmów systemów sterowania obiektami dyna-
micznymi, w tym także skomplikowanymi urzą-
dzeniami, jakimi bez wątpienia są maszyny
elektryczne. Pozwoliło to stworzyć wysoko
efektywne maszyny elektryczne, w działaniu
których leży stworzenie wirujących pól magne-
tycznych za pomocą wymienionych systemów
sterowania, co pozwala wyłączyć z maszyny
komutator oraz uzwojenia wzbudzenia silnika.
Takie podejście pozwoliło podwyższyć efek-
tywność maszyn, a także zwiększyć ich nieza-
wodność.
Jedną z takich maszyn elektrycznych jest silnik
synchroniczny typu PMSM. Zazwyczaj modele
matematyczne wymienionych maszyn buduje
się na podstawie podejść klasycznych, które nie
zawsze uwzględniają wpływ nieliniowej za-leż-
ności właściwości stałych magnesów. Zależność
ta, zwłaszcza w stanie przejściowym, jest dość
istotna. W przypadku uwzględnienia trajektorii
magnetycznej po pętli histerezowej znane mo-
dele matematyczne są dość skomplikowane i nie
zawsze działają. Celem niniejszej pracy jest:
zbudowanie modelu matematycznego silnika
syn-chronicznego z magnesami trwałymi typu
PMSM, biorąc pod uwagę wpływ wzajemny
nieliniowych zależności indukcji magnesów
trwałych i pola twornika maszyny elektrycznej
na podstawie interdyscyplinarnej metody [1].
Model matematyczny silnika
Model matematyczny maszyny zaproponowano
wychodząc z przedstawionej w [1] metody,
drogą formowania rozszerzonego funkcjonału
działania wg Hamiltona-Ostrogradskiego. Jego
wariacja jest równa [1, 5, 7]
1
0
,
t
S
Ldt
L
T
P
D
δ = δ
= − + Φ −
∫
(1)
gdzie
S
– funkcjonał działania według Hamil-
tona,
L
– lagrangian zmodyfikowany [7],
T
– energia (koenergia
T%
) kinetyczna,
P
– energia potencjalna,
Φ
– energia sił rozpro-
szenia,
D
– inna nie potencjalna energia.
Uogólnionymi zmiennymi opisującymi układ
elektromechaniczny przyjęto: ładunki elek-
tryczne w uzwojeniach synchronicznego silnika
1 3
1 3
q
Q
−
−
=
, strumień magnetyczny magnesu
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2013 (98)
178
trwałego po osi d
4
d
q
= Φ
i osi q
5
q
q = Φ
, kąty
obrotu wirnika
6
( )
( )
q t
t
= γ
. Pochodne zmien-
nych to odpowiednio: prądy w uzwojeniach
1 3
1 3
( )
( )
q
t
i
t
−
−
=
&
,SEM
4
( )
/
( )
d
d
q t
d
dt
e t
= Φ
= Φ = −
&
&
,
5
( )
q
q t = Φ
&
&
, oraz prędkość obrotowa napędu:
6
( )
( )
q t
t
= ω
&
.
Składniki zmodyfikowanego lagrangianu (1) za-
pisano w postaci:
2
3
1 0
( )
,
, ,
2
Sj
i
Sj
Sj
Sj
j
J
T
i di
j
A B C
Σ
=
ω
=
Ψ
+
=
∑ ∫
%
(2)
2
3
2
1
1
0
0
1
(
)
,
, ,
2
n
t
n
n
n
S Sj
n
j
P
d
n
d q
r i d
Φ
=
=
=
ρ Φ Φ
Φ
=
Φ =
τ
∑
∑
∫
∫
,
(3)
(
)
3
1 0
0
0
( )
( )
t
t
Sj Sj
EM
O
j
t
D
u i d
M
M
d
d
ω
=
=τ
=
τ +
ω −
ω
ω
τ +
∑∫
∫ ∫
(
)
0
0
(
)
d
t
d
d
d
d
t
d
F
F
d
d
dt
Φ
=τ
Φ
+
+
Φ
Φ
τ +
∫ ∫
&
&
0
0
q
t
q
q
q
t
d
F
d
d
dt
Φ
=τ
Φ
+
Φ
τ
∫ ∫
&
&
(4)
gdzie
T%
– koenergia układu,
S
r
– rezystancja
każdej fazy stojana, A, B, C – indeksy faz zasi-
lania maszyny elektrycznej,
,
d q
– indeksy pro-
stokątnych współrzędnych przypisane do wir-
nika maszyny,
S
u
– napięcie zasilania silnika,
( ),
( )
EM
O
M
M
ω
ω
– moment elektromagnetyczny
silnika oraz jego moment obciążenia,
( )
Sj
Sj
i
Ψ
– pełne sprzężenia magnetyczne stojana,
Φ
– strumień magnetyczny maszyny,
(
)
n
ρ Φ
– rezystancja magnetyczna przewodu magnety-
cznego maszyny,
(
)
d
F Φ
– SMM magnesu
trwałego (po poprzecznej osi
q
siła magneto-
motoryczna
magnesu
trwałego
0
q
F ≡
),
,
d q
F
– SMM uzwojeń stojana maszyny po osiach
d i q.
Podstawiając elementy zmodyfikowanego la-
grangianu (2) – (4) do równania Eulera-Lagran-
ge’a [5]:
0
d
L
L
dt q
q
∂
∂
−
=
∂
∂
&
(5)
i zmieniając kolejność różniczkowania, a także
wykorzystując twierdzenie o pochodnej od gór-
nej granicy całki [2], otrzymano:
3
1 0
( )
(
)
( )
Sj
i
Sj
Sj
Sj
Sj
Sj
j
Sj
Sj
Sj
L i
L Q
d
d
i di
dt
i
Q
dt i
=
∂
∂
∂
−
=
Ψ
+
∂
∂
∂
∑ ∫
3
3
2
1
1
0
0
1
0
2
t
t
Sj
S Sj
Sj Sj
Sj
S Sj
j
j
d
r i d
u i d
u
r i
dt
=
=
Ψ
+
τ −
τ = ⇒
=
−
∑
∑
∫
∫
(6)
0
(
)
(
)
(
)
d
d
d
d
d
d
d
d
d
L
L
d
d
dt
Φ
∂ Φ
∂ Φ
∂
−
=
ρ Φ Φ
Φ −
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∫
&
&
(
)
0
0
(
)
0
d
t
d
d
d
d
d
t
d
F
F
d
d
dt
Φ
=τ
∂
−
+
Φ
Φ
Φ
τ = ⇒
∂Φ
∫ ∫
&
&
&
&
(
)
(
)
d
d
d
d
F
F
⇒ ρ Φ Φ =
+
Φ
, (7)
0
(
)
(
)
(
)
q
q
q
q
q
q
q
q
q
L
L
d
d
dt
Φ
∂ Φ
∂ Φ
∂
−
=
ρ Φ Φ
Φ −
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∫
&
&
0
0
0
q
t
q
q
q
q
t
d
F
d
d
dt
Φ
=τ
∂
−
Φ
Φ
τ = ⇒
∂Φ
∫ ∫
&
&
&
&
(
)
q
q
q
F
⇒ ρ Φ Φ =
(8)
2
( )
( )
2
J
d
L
L
d
dt
dt
Σ
ω
∂ ω
∂ ϕ
∂
−
=
−
∂ω
∂ϕ
∂ω
(
)
0
0
( )
( )
0
t
EM
O
t
M
M
d
d
ω
=τ
−
ω −
ω
ω
τ = ⇒
∫ ∫
(
)
1
( )
( )
EM
O
d
M
M
dt
J
Σ
ω
⇒
=
ω −
ω
(9)
Zależności
powiązań
dla
obwodów
elektrycznych [3, 6]:
0
SA
SB
SC
Ψ + Ψ
+ Ψ
=
,
0
SA
SB
SC
i
i
i
+
+
=
(10)
Wtedy równania (6) przyjmują postać macie-
rzowo-wektorową:
SA
SA
S
S
S S
SB
SB
u
d
d
u
dt
dt
Ψ
=
−
⇒
=
−
Ψ
Ψ
u
r i
S
SA
S
SB
r
i
r
i
−
. (11)
Uwzględniając zależność
Π
−
−
=
=
s
s
s
h
Π
Πh
Π
h
1
1
,
gdzie
s
h
– dowolny wektor z fazowego
układu współrzędnych fizycznych,
Π
–
macierz Parka [3],
Π
–
wskaźnik
do
przekształconego
układu
współrzędnych
(Parka).
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2013 (98)
179
(
)
1
1
1
S
S
S
S
S S
d
d
d
dt
dt
dt
Π
−
−
Π
Π
−
=
+
=
−
Ψ
Π
Π Ψ
Ψ
Π
u
r i
(12)
Mnożąc wyrażenie (12) od lewej przez macierz
Parka, a także biorąc do uwagi:
1
S
d
dt
−
=
Π
Ω
Π
,
gdzie
S
Ω
– macierz prędkości obrotowych [3]
otrzymano:
( , )
0
1
,
1
0
S
S
S
S
S S
S d q
d
dt
Π
Π
Π
Π
−
=
−
−
≡ ω
Ψ
u
Ω Ψ
r i
Ω
(13)
Całkowite sprzężenia magnetyczne stojana i wi-
rnika wyznaczono w zwykły sposób, z uwzglę-
dnieniem zależności:
S
R
R
Π
Π
=
≡
=
ψ
ψ
ψ
ψ
, [6]
1
SA
S
S
S
SB
Π
Π
− Π
Π
Ψ
=
+ ⇒
=
Ψ
Ψ
α i
ψ
1
1
1
,
d
S
SA
S
S
q
S
SB
i
i
−
Π
−
−
Π
ψ
α
=
+
=
ψ
α
L
α
(14)
gdzie
S
L
– indukcyjność rozproszenia uzwojeń
stojana.
Stąd wyznaczono prądy w uzwojeniach stojana:
(
)
SA
S
S
S
SB
i
i
Π
Π
Π
Π
=
−
⇒
=
i
α
Ψ
ψ
d
S
SA
q
S
SA
Π
Π
ψ
α
Ψ
=
−
ψ
α
Ψ
. (15)
Podstawowe sprzężenia magnetyczne uzwojeń
stojana poszukamy wychodząc z równań Parka
[3, 6]
cos
sin
SA
d
q
ψ
= ψ
ϕ − ψ
ϕ
,
cos(
120 )
sin(
120 )
SB
d
q
ψ
= ψ
ϕ −
° − ψ
ϕ −
°
(16)
Przekształcone podstawowe sprzężenia magne-
tyczne maszyny wyznaczono z równań równo-
wagi sił magnetomotorycznych i napięć ma-
gnetycznych w prostokątnym układzie magne-
tycznego obwodu silnika, wychodząc z równa-
nia równowagi napięć magnetycznych [6]:
(
)
1
(
) ,
d
d
S
SA
d
d
d
d
F
L
Π
−
α ψ = α Ψ − ψ
+
Φ
α =
, (17)
(
)
1
,
q
q
S
SB
q
q
q
L
Π
−
α ψ = α Ψ
− ψ
α =
, (18)
gdzie
,
d
q
L
L
– podstawowe statyczne indukcyj-
ności maszyny po wzdłużnej i porzecznej osi,
(
)
0
q
F Φ
≡
.
Strefę roboczą magnesu trwałego wyznaczymy
z pętli histerezy. Aproksymując jej strefy przez
prostą
,
,
cb
cb
r
H
H
aB b
a
b
H
B
=
+
= −
=
(19)
gdzie
,
a b
– współczynniki aproksymacji pro-
stej,
cb
H
– siła koercyjna,
r
B
– indukcja ostat-
kowa.
Na podstawie praw przypływu prądu i indukcji
elektromagnetycznej Faradaya, a także uwzglę-
dniając współczynnik konstrukcji maszyny [3,
6] można zapisać:
(
)
d
d
d
L
d
F
F
F
F
Σ
Σ
⋅
=
⇒
=
+
Φ
⇒
∫
H
L
0
(
)
d
F
Hd
⇒
Φ
=
, (20)
/ 2
2
/ 2
4
cos
d
S
l w
d
B
d
π
α
−π
τ
⋅
= Φ ⇒ ψ =
α α
π
∫
∫
B
S
(21)
gdzie
/ 2
/ 2
cos
,
d
d
d
B
B
d
l B
π
α
−π
≡
α α
Φ = τ
∫
(22)
0
d
– grubość magnesu,
S
– pole przekroju ma-
gnesu,
F
Σ
– całkowita siła magnetomotoryczna
magnetoprzewodu układu,
d
F
Σ
– całkowita siła
magnetomotoryczna po osi d, działająca w ob-
wodzie całkowania,
τ
– podziałka biegunowa,
l
– długość wirnika,
w
– liczba cewek uzwoje-
nia twornika,
α
– bieżąca współrzędna kątowa.
Uwzględniając drugie prawo Kirchhoffa dla
obwodów magnetycznych i mnożąc od lewej
i prawej strony przez
0
d
, z uwzględnieniem
(19), (20) otrzymano
0
0
0
(
)
,
d
d
d
d
F
Hd
a
bd
B
S
S
Φ
Φ
=
=
Φ +
=
. (23)
Robocze sprzężenie magnetyczne wirnika po
osiach d i q na podstawie [3] określają zależno-
ści (24):
2
2
2
4
,
4
4
d
d
q
q
w
w
w
π
π
=
⇒ Φ =
ψ
Φ =
ψ
π
ψ
Φ
(24)
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2013 (98)
180
Z równania magnetycznej równowagi po osi d
(7), a także z uwzględnieniem wyrażeń (21) –
(24) można zapisać:
(
)
(
)
(
)
m
d
d
d
d
d
d
d
d
V
F
F
= ρ Φ Φ =
+
Φ ⇒ ρ Φ Φ =
0
0
0
3
cb
d
d
cb
r
H
d
w
i
H d
p
B
S
=
−
Φ +
π
(25)
gdzie:
0
p
– liczba par magnetycznych biegu-
nów maszyny.
Z uwzględnieniem wyrażenia (24) równanie
(25) zapisano w sposób następujący:
2
2
0
0
0
0
0
4
3
4
3
3
cb
d
d
d
d
cb
r
p
p H
d
p
i
H d
w w
w w B
S
w
π
π
π
π
π
ρ ψ = −
ψ +
.
(26)
Wprowadzając następujące oznaczenia:
2
0
4
3
d
d
p
w w
π
π
α =
ρ
(27)
d
α
– podstawowa odwrotna statyczna indukcyj-
ność maszyny po osi d,
2
*
0
0
4
3
cb
d
r
p H
d
w w B
S
π
π
α =
(28)
*
d
α
–
obliczeniowa
odwrotna
statyczna
indukcyjność magnesów maszyny,
0
0
0
3
cb
p
F
H d
w
π
=
(29)
0
F
– stały składnik aproksymacji,
wyrażenie (26) z uwzględnieniem (27) – (29)
przybiera postać:
*
0
d
d
d
d
d
i
F
α ψ = − α ψ +
. (30)
Wyrażenie (30) z uwzględnieniem (17) dla osi
d:
(
)
0
*
1
d
S
SA
d
S
d
F
Π
ψ =
α Ψ +
α + α + α
. (31)
Podobnie (18) dla osi q
S
q
SB
q
S
Π
α
ψ =
Ψ
α + α
. (32)
Moment elektromagnetyczny silnika synchro-
nicznego z magnesami trwałymi opisuje zależ-
ność [6]
0
3
(
)
2
EM
d q
q d
M
p
i
i
=
ψ
− ψ
. (33)
Zależności funkcjonalne w fazowych współrzę-
dnych otrzymuje się stosując odwrotne prze-
kształcenia Parka [3].
Wspólnemu rozwiązaniu podlega następujący
układ równań różniczkowych: (9), (13), (34)
z uwzględnieniem wyrażeń (27) – (29), (31)
– (33).
Wyniki symulacji komputerowej
Do analizy procesów nieustalonych został wy-
korzystany silnik synchroniczny z magnesami
trwałymi typu PMSM, który napędzał obciąże-
nie. Typ silnika: SMwsg132S4. Dane znamio-
nowe:
N
P =
4.0 kW,
U
N
=
3x400 V,
I
N
=
7.5 A,
N
ω =
1500 obr/min,
N
M
=
25.5 Nm,
S
r
=0.976Ω,
L
1
=3.3 mH, L
aq
= 69.9 mH, L
ad
= 23.0 mH,
I
d
= –4.3 A, I
q
= 6.2 A, ωΨ
m
= 136 V,
0,1
J
Σ
ΣΣ
Σ
=
==
=
kg
⋅
m
2
. Rozruch napędu przeprowa-
dzono w następujący sposób. Przy znamionowej
amplitudzie napięcia zasilania zwiększano od
zera częstotliwość wg zależności opisanej rów-
naniem:
(
)
2,3
0
( )
314,15 1 exp( 0,1
)
t
t
ω
=
−
−
s
-1
. Wy-
niki symulacji przedstawiono w postaci graficz-
nej.
0
2
4
6
8
0
40
80
120
160
ω, s
-1
t
, s
Rys. 1. Przejściowa prędkość obrotowa mecha-
nizmu
Na rys. 1 przedstawiono przejściową prędkość
obrotową mechanizmu hamującego napędu syn-
chronicznego typu PMSM z aktywnym mo-
mentem obciążenia na wale silnika. Postać roz-
ruchu napędu w głównej mierze zależy od za-
leżności opisującej wzrost częstotliwości zasila-
nia. Po dokonaniu rozruchu układ wiruje ze
znamionową prędkością obrotową.
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2013 (98)
181
0
2
4
6
8
-100
0
100
200
i
SA
, A
t
, s
Rys. 2. Przejściowy prąd fazy A w uzwojeniu
twornika
Rys. 2 przedstawia przejściowy prąd fazy A
uzwojenia twornika maszyny synchronicznej
typu PMSM. Należy tutaj zaznaczyć, że w przy-
padku ogólnym rozruch silnika synchronicznego
z magnesami trwałymi [4] prowadzi się za po-
mocą specjalnych układów sterowania. Celem
niniejszej pracy nie jest modelowanie układu
sterowania do silnika. W pracy skupiono się na
modelowaniu części siłowej silnika PMSM. Ta-
kie podejście do zagadnienia prowadzi do wiel-
kiego wzrostu prądu w pierwszym momencie po
załączeniu zasilania układu napędowego.
Na rys. 3 przedstawiono przejściowy moment
elektromagnetyczny silnika. Widać tutaj wielki
wzrost momentu w pierwszym momencie rozru-
chu. Powiązane jest to z przyjętą funkcją zmiany
częstotliwości zasilania silnika. W stanie ustalo-
nym, oczywiście częstotliwość jest stała równa
znamionowej. Wartość ustalona momentu elek-
tromagnetycznego jest równa znamionowej.
0
2
4
6
8
-40
0
40
80
120
M
EM
, Nm
t
, s
Rys. 3. Przejściowy moment elektromagnetyczny
silnika
Podsumowanie
Zastosowanie przedstawionej w [1] interdyscy-
plinarnej metody wariacyjnej umożliwiło przed-
stawienie modelu matematycznego układu na-
pędowego z silnikiem synchronicznym z ma-
gnesami trwałymi typu PMSM unikając dekom-
pozycji scalonego układu elektromechanicznego
na odrębne podukłady: elektryczny, magne-
tyczny oraz mechaniczny. Takie podejście jest
stosowane w układach elektromechanicznych ze
złożoną transmisją ruchu [1]. Wykorzystanie
w warunkach stacjonarnych powiązań równania
namagnesowania maszyny z uwzględnieniem
zjawiska histerezy umożliwiło przedstawienie
modelu matematycznego maszyny synchronicz-
nej o magnesach trwałych.
Literatura
[1]. Chaban A. Mathematical Model of Oscillatory
Processes in Electromechanical Systems Lviv: W-wo
T. Soroki, 2008.
[2]. Elsgolc L. E. Rachunek wariacyjny. Warszawa:
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1960, s. 168.
[3]. Kopylow I. Modelowanie matematyczne maszyn
elektrycznych – M.: Wyższa Szkoła, 2001, s. 327.
[4]. Lis M. Oznaczenie parametrów techniczno-kon-
strukcyjnych silnika synchronicznego z magnesami
trwałymi z trójfazowym uzwojeniem stojana o ste-
rowaniu trapezoidalnym // Przegląd Elektrotech-
niczny Vol. 2012, Nr 12b, s. 71 – 74.
[5]. Ortega R., Loria A., Nicklasson P.J., Sira-Rami-
rez H
. Passivity-Beast Control of Euler-Lagrange
Systems: Mechanical, Electrical and Electromechani-
cal Applications. London: Springer Verlag, 1998,
s. 543.
[6]. V. Tchaban Electromagnetic field. – T. Soroka’s
publish. house, Lviv, 2006.
[7]. V White D.C., Woodson H.H. Electromagnetic
Energy Conversion, New-York, John Wiley & Sons,
Inc, 1958.
Autorzy
Andriy Czaban prof. nadzw., dr hab. inż.
Politechnika Częstochowska
Wydział Elektryczny, al. Armii Krajowej 17
oraz Politechnika Lwowska,
katedra Elektrotechniki, ul Bandery, 12 Lwów
Ukraina, e-mail: atchaban@gmail.com;
Wasyl Czaban prof. dr hab. inż., Politechnika
Częstochowska, Wydział Elektryczny, al. Armii
Krajowej 17, oraz Politechnika Lwowska
katedra Elektrotechniki, ul Bandery, 12 Lwów
Ukraina;
Andrzej Rusek prof. dr hab. inż., Politechnika
Częstochowska, Wydział Elektryczny, al. Armii
Krajowej 17, e-mail: rusek@el.pcz.czest.pl;
Marek Lis dr inż. Politechnika Częstochowska
Wydział Elektryczny, al. Armii Krajowej 17
e-mail: lism@el. pcz.czest.pl.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
artykul profilaktyka cz2 id 695 Nieznany (2)
artykul modul 8 I III5 id 69671 Nieznany
artykul polityka marki id 69674 Nieznany (2)
ARTYKUL Zysinska Model id 69678 Nieznany (2)
artykul czs myjni id 69563 Nieznany
artykul profilaktyka cz2 id 695 Nieznany (2)
2793 artykul 7 id 31748 Nieznany
artykuly logopedyczne id 69689 Nieznany (2)
2892 artykul 1 id 32057 Nieznany
artykul (1) id 69658 Nieznany
polimery artykul WUM id 371549 Nieznany
Artykul Kobylinska id 69667 Nieznany
Bobath Artykul id 91128 Nieznany
artykul 5 id 69654 Nieznany (2)
finanse artykuly id 172227 Nieznany
m2 artykul 1 id 275067 Nieznany
artykul 2 id 69662 Nieznany (2)
artykul 4 id 69537 Nieznany
więcej podobnych podstron