Ekonomia Matematyczna 14.06.2010

Nazwisko i Imi˛e

Rozwi ˛

azania

Indeks

1

2

3

4

5

6

×

Zadanie 1

Przychód firmy R jest iloczynem ceny oraz ilo´sci sprzedanego dobra, tj. R(p) = p q(p), gdzie q(p) jest

funkcj ˛

a popytu.

(a) [2 p] Zapisa´c przychód kra ´ncowy dR/dp przy pomocy formuły zawieraj ˛

acej elastyczno´s´c cenow ˛

a popytu

(p)

.

(b) [1 p] Je ˙zeli elastyczno´s´c cenowa (p) jest w warto´sciach bezwzgl˛ednych wi˛eksza ni ˙z 1 (popyt o du ˙zej

elastyczno´sci) to jak zmieni si˛e przychód firmy przy zwi˛ekszeniu ceny?

(c) [3 p] Niech popyt b˛edzie zadanych funkcj ˛

a q(p) = a − b p, gdzie a, b > 0. Przy jakiej cenie p elastyczno´s´c (p)

wyniesie 1 (w warto´sciach bezwzgl˛ednych).

Rozwi ˛

azanie.

(a) Przychód firmy jest zadany wzorem R(p) = p q(p), pomijaj ˛

ac argumenty mamy zatem ci ˛

ag przekształce ´n

R = p q

dR

dp

= q + p

dq

dp

dR

dp

= q



1 +

p

q

dq

dp



dR

dp

= q 1 + (p)

Ostatnie równanie mo ˙zna równie ˙z zapisa´c w nast˛epuj ˛

acy sposób

dR

dp

= q 1 − |(p)|

,

(1)

korzystaj ˛

ac z faktu, ˙ze wyra ˙zenie (p) jest ujemne.

(b) Korzystaj ˛

ac z formuły (1) wiemy, ˙ze je ˙zeli |(p)| > 1 do oczywi´scie przychód kra ´ncowy dR/dp < 0 a wi˛ec

przychód spadnie.

(c) Aby rozwi ˛

aza´c zadanie obliczamy elastyczno´s´c otrzymuj ˛

ac

(p) =

p

q

dq

dp

=

−b p

a − b p

.

Przyrównuj ˛

ac powy ˙zsze równanie do −1 otrzymujemy

−b p

a − b p

= −1 ⇒ p =

a

2 b

.

Zadanie 2

Dane jest równanie ró ˙zniczkowe postaci

¨

x + ˙

x + x = t + 1.

(2)

(a) [5 p] Poda´c rzeczywiste rozwi ˛

azanie ogólne.

(a) [1 p] Poda´c równanie asymptoty uko´snej wykresu rozwi ˛

azania równania (2) dla t → +∞ (uzasadni´c lub

obliczy´c).

Rozwi ˛

azanie.

(a) Rozwi ˛

azujemy równanie jednorodne postaci

¨

x + ˙

x + x = 0.

Wielomian charakterystyczny jest postaci w(r) = r

2

+ r + 1

. Otrzymujemy dwa pierwiastki zespolone postaci

r = −

1

2

± i

√

3

2

.

Rozwi ˛

azanie równania jednorodnego jest zatem postaci

x(t) = e

−t/2

C

1

sin

√

3

2

t

!

+ C

2

cos

√

3

2

t

!!

.

Całk˛e szczególn ˛

a równania (2) znajdujemy u ˙zywaj ˛

ac funkcji testowej postaci u(t) = a + bt. Wstawiaj ˛

ac j ˛

a do

równania (2) otrzymujemy równo´s´c wielomianów

0 + b + a + bt = t + 1

bt + (a + b) = t + 1

sk ˛

ad b = 1 oraz a = 0. Ostatecznie rozwi ˛

azanie równania (2) jest postaci

x(t) = e

−t/2

C

1

sin

√

3

2

t

!

+ C

2

cos

√

3

2

t

!!

+ t.

(b) Wskazanie asymptoty uko´snej dla t → +∞ jest proste je ˙zeli zauwa ˙zymy, ˙ze pierwszy składnik sumy zbiega

do zera i pozostaje tylko składnik t, który jest liniowy. St ˛

ad asymptota uko´sna jest postaci x = t.

Zadanie 3

Dany jest układ rówa ´n ró ˙zniczkowych postaci (dynamika replikatora w grze anty-koordynacyjnej

dla dwóch populacji)

(

˙

x = (x − 1) x (2 y − 1)

˙

y = − (2 x − 1) (y − 1) y

(3)

Układ (3) rozpatrujemy tylko (!) na kwadracie (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1].

(a) [2 p] Znale´z´c wszystkie równowagi.

(b) [4 p] Zbada´c typ równowag (siodło, ´zródło, ognisko) lub stwierdzi´c, ˙ze na podstawie wprowadzonych

twierdze ´n nie mo ˙zna okre´sli´c stabilno´sci równowagi. Naszkicowa´c portret fazowy.

Rozwi ˛

azanie.

(a) Posta´c równa ´n jest bardzo prosta. Pierwsze równanie f

1

= (x − 1) x (2 y − 1)

zeruje si˛e tylko je ˙zeli x = 0, 1

lub y = 1/2. Podobnie drugie równanie f

2

= − (2 x − 1) (y − 1) y

zeruje si˛e tylko gdy y = 0, 1 lub x = 1/2. Z

dziewi˛eciu kombinacji znajdujemy łatwo pi˛e´c tych, które rzeczywi´scie s ˛

a równowagami. S ˛

a to pary (0, 0), (0, 1),

(1, 0)

, (1, 1) i (1/2, 1/2).

(b) Aby znale´z´c typ równowagi obliczamy macierz Jacobiego, która jest postaci

J (x, y) =

(2 x − 1) (2 y − 1)

2 (x − 1) x

−2 (y − 1) y

− (2 x − 1) (2 y − 1)



.

Obliczaj ˛

ac warto´sci J dla poszczególnych punktów otrzymujemy

J (0, 0) = J (1, 1) =

1

0

0

−1



oraz

J (1, 0) = J (1, 0) =

−1 0

0

1



.

2

Konsekwentnie wszystkie równowagi w wierzchołkach kwadratu (równowagi w strategiach czystych) s ˛

a

siodłami i s ˛

a niestabilne. Obliczaj ˛

ac J w równowadze (1/2, 1/2) otrzymujemy

J (1/2, 1/2) =



0

−1/2

1/2

0



.

Warto´sci własne tej macierzy to ±i/2, a wi˛ec na podstawie przedstawionych na wykładzie twierdze ´n nie mo ˙zna

stwierdzi´c jakiego typu jest ta równowaga

1

.

Zadanie 4

Dany jest układ równa ´n ró ˙zniczkowych postaci











˙

x

1

= −2x

1

+ x

2

˙

x

2

= (2x

1

− 4x

2

− 2x

3

)/3

˙

x

3

= (−x

1

+ 2x

2

− 5x

3

)/3

(4)

(a) [6 p] Znale´z´c rozwi ˛

azanie ogólne.

Rozwi ˛

azanie.

(a) Zapisujemy macierz układu

A =





−2

1

0

2
3

−

4
3

−

2
3

−

1
3

2
3

−

5
3





a nast˛epnie obliczamy warto´sci własne. Wielomian charakterystyczny jest postaci

w(r) = −

2 −r −

5
3

3

+



−r −

5

3

 

−r −

4

3



+

4

9



(−r − 2) +

2

9

= − (r + 1) (r + 2)

2

,

sk ˛

ad r

1

= −1

(krotno´s´c algebraiczna 1) oraz r

2

= −2

(krotno´s´c algebraiczna 2). Obliczamy wektory własne. Dla

warto´sci r

1

jest to trywialne i jako wektor własny mo ˙zemy przyj ˛

a´c h

1

= [2, 2, 1]

.

W przypadku r

2

mamy

A − r

2

I =





0

1

0

2
3

2
3

−

2
3

−

1
3

2
3

1
3





∼





0

1

0

2
3

2
3

−

2
3

−1

2

1





∼





0

1

0

2

2

−2

−1

2

1





∼





0

1

0

1

1

−1

−1

2

1





∼





0

1

0

1

1

−1

0

3

0





∼





0

1

0

1

1

−1

0

1

0





∼





0

1

0

1

1

−1

0

0

0





∼





0

1

0

1

0

−1

0

0

0





.

Jako wektor własny mo ˙zemy przyj ˛

a´c wektor h

2

= [1, 0, 1]

. Poniewa ˙z krotno´s´c geometryczna wynosi 1 wi˛ec

musimy doliczy´c seri˛e korzystaj ˛

ac z równania

Ah

3

= r

2

h

3

+ h

2

sk ˛

ad otrzymujemy macierz rozszerzon ˛

a układu postaci





0

1

0

1

2
3

2
3

−

2
3

0

−

1
3

2
3

1
3

1





∼





0

1

0

1

1

0

−1

−1

0

0

0

0





.

1

Mo ˙zna pokaza´c u ˙zywaj ˛

ac innych metod, ˙ze jest to centrum.

3

Konsekwentnie jako wektor z serii mo ˙zemy przyj ˛

a´c h

3

= [0, 1, 1]

.

Rozwi ˛

azanie ogólne jest wi˛ec postaci

x(t) = C

1

e

−t

h

1

+ C

2

e

−2t

h

2

+ C

3

e

−2t

(th

2

+ h

3

) .

Zadanie 5

Dane jest równanie ró ˙zniczkowe postaci

˙

x = f (x),

(5)

gdzie f jest ´sci´sle rosn ˛

ac ˛

a, dodatni ˛

a funkcj ˛

a ró ˙zniczkowaln ˛

a w sposób ci ˛

agły.

(a) [3 p] Uzasadni´c, ˙ze ka ˙zde rozwi ˛

azanie x równania (5) musi by wypukł ˛

a funkcj ˛

a ´sci´sle rosn ˛

ac ˛

a.

(b) [3 p] Czy jest to nadal prawda, gdy istnieje przynajmniej jedna warto´s´c ¯

x

taka, ˙ze f (¯

x) = 0

. Uzasadni´c!

Rozwi ˛

azanie.

(a) Niech x b˛edzie rozwi ˛

azaniem równania (5). Wtedy musi to by´c funkcja rosn ˛

aca bo f jest z zało ˙zenia funkcj ˛

a

dodatni ˛

a. Ró ˙zniczkuj ˛

ac stronami otrzymujemy

¨

x =

d

dt

˙

x =

d

dt

f (x) = f

0

(x) ˙

x = f

0

(x)f (x)

gdzie wyra ˙zenie f

0

(x)f (x) > 0

bo z zało ˙zenia f jest rosn ˛

aca. Zatem x musi by´c wypukła.

(b) Nie. Je ˙zeli istnieje ¯

x

takie, ˙ze f (¯

x) = 0

to wystarczy przyj ˛

a´c x = ¯

x

. Taka funkcja jest stała i oczywi´scie jest

rozwi ˛

azaniem równania (5).

4