Ekonomia Matematyczna 13.12.2010

Nazwisko i Imi˛e

Rozwi ˛

azania

Indeks

1

2

3

4

5

6

×

Zadanie 1

Jest dany układ równa ´n ró ˙zniczkowych postaci











˙

x

1

= 2x

1

+ x

2

− x

3

˙

x

2

= −x

1

+ 4x

2

− x

3

˙

x

3

= −x

1

+ x

2

+ 2x

3

(1)

(a) [6 p] Poda´c rzeczywiste rozwi ˛

azanie ogólne.

Rozwi ˛

azanie.

(a) Technika rozwi ˛

azania polega na znalezieniu bazy, w której macierz układu ma posta´c klatkow ˛

a Jordana

(wykład 1). Macierz układu jest postaci

A =





2

1

−1

−1

4

−1

−1

1

2





.

Obliczamy wielomian charakterystyczny:

w(r) = ((2 − r) (4 − r) + 1) (2 − r) = −(r − 3)

2

(r − 2)

sk ˛

ad otrzymujemy dwie warto´sci własne r

1

= 2

i r

2

= 3

, z krotno´sci ˛

a algebraiczn ˛

a 2.

Obliczamy wektor własny dla warto´sci własnej r

1

= 2

. Otrzymujemy układ o macierzy rozszerzonej postaci





0

1

−1

0

−1

2

−1

0

−1

1

0

0





∼





0

1

−1

0

1

0

−1

0

0

0

0

0





sk ˛

ad łatwo wyznaczamy wektor własny h

1

= [1, 1, 1]

.

Nast˛epnie obliczamy wektory własne dla warto´sci własnej r

2

= 3

. Otrzymujemy macierz rozszerzon ˛

a układu

postaci





−1

1

−1

0

−1

1

−1

0

−1

1

−1

0





∼





−1

1

−1

0

0

0

0

0

0

0

0

0





sk ˛

ad łatwo wyznaczamy dwa wektory własne postaci h

2

= [0, 1, 1]

i h

3

= [1, 1, 0]

a wi˛ec krotno´s´c geometryczna

warto´sci r

2

równie ˙z wynosi 2.

Rozwi ˛

azanie jest zatem postaci

x = C

1

h

1

e

2t

+ C

2

h

2

e

3t

+ C

3

h

3

e

3t

.

Zadanie 2

Preferencje konsumenta s ˛

a opisane funkcj ˛

a u ˙zyteczno´sci postaci u(x

1

, x

2

) =

√

x

1

+ 2x

2

. Ceny dóbr

wynosz ˛

a odpowiednio p

1

i p

2

a konsument dysponuje bogactwem w.

(a) [6 p] Znale´z´c funkcj˛e popytu konsumenta.

Rozwi ˛

azanie.

(a) Zaczynamy od stworzenia funkcji Lagrange’a postaci

L(x

1

, x

2

) =

√

x

1

+ 2x

2

− λ(p

1

x

1

+ p

2

x

2

− w).

Warunki pierwszego rz˛edu wygl ˛

adaj ˛

a w nast˛epuj ˛

acy sposób

∂L

∂x

1

=

1

2

√

x

1

− λp

1

= 0

∂L

∂x

2

= 2 − λp

2

= 0

p

1

x

1

+ p

2

x

2

= w

W kolejno´sci: z drugiego równania wyznaczamy λ, wstawiamy do pierwszego równania, wyznaczamy x

1

,

wstawiamy do trzeciego równania i wyznaczamy x

2

otrzymuj ˛

ac

x

1

=

 p

2

4p

1



2

,

x

2

=

1

p

2



w −

p

2

2

16p

1



.

Zadanie 3

Rozpatrujemy rynek dwóch dóbr o cenach odpowiednio p

1

i p

2

. Poda ˙z pierwszego dobra wynosi

S

1

(p

1

) = p

1

a poda ˙z drugiego dobra wynosi S

2

(p

2

) = 2p

2

. Popyt na pierwsze i drugie dobro (tak długo jak jest

nieujemny) wynosi odpowiednio

D

1

(p

1

, p

2

) =

1

p

1

− 2p

2

i

D

2

(p

1

, p

2

) =

1

2p

2

− p

1

,

co modeluje wpływ cen jednego produktu na popyt na drugi. Zachowanie si˛e cen jest wprost proporcjonalne to
nadwy ˙zki popytu i jest modelowane poprzez nast˛epuj ˛

acy układ równa ´n ró ˙zniczkowych















˙

p

1

= D

1

(p

1

, p

2

) − S

1

(p

1

) =

1

p

1

− 2p

2

− p

1

˙

p

2

= D

2

(p

1

, p

2

) − S

2

(p

2

) =

1

2p

2

− p

1

− 2p

2

(2)

(a) [2 p] Znale´z´c wszystkie równowagi.

(b) [4 p] Zbada´c lokaln ˛

a stabilno´s´c równowag.

Rozwi ˛

azanie.

(a) Przede wszystkim szukamy równowag a wi˛ec punktów krytycznych podanego pola wektorowego. Mamy

zatem















1

p

1

− 2p

2

− p

1

= 0

1

2p

2

− p

1

− 2p

2

= 0

Wyznaczaj ˛

ac z drugiego równania p

1

i wstawiaj ˛

ac do pierwszego równania otrzymujemy

2p

2

1 − 4p

2

2

−

1 − 4p

2

2

2p

2

= 2p

2

4p

2
2

− (1 − 4p

2
2

)

2

= 4p

2
2

(1 − 4p

2
2

)

4p

2
2

=

1

2

p

2

=

1

2

√

2

Korzystaj ˛

ac z pierwszego równania otrzymujemy p

1

= 1/

√

2

. Jedyna równowaga to punkt

ˆ

p =



1

√

2

,

1

2

√

2



.

2

Aby zbada´c lokaln ˛

a stabilno´s´c równowagi ˆ

p

obliczamy linearyzacj˛e pola wektorowego w równowadze. Mamy

Df (p) =



−

1

p1

2

− 1

−2

−1

−

1

2 p2

2

− 2



i konsekwentnie

Df (ˆ

p) =

−3 −2

−1

−6



.

Obliczamy wielomian charakterystyczny otrzymuj ˛

ac

w(r) = (−r − 6) (−r − 3) − 2

sk ˛

ad mamy warto´sci własne postaci

r

1

= −

√

17 + 9

2

i

r

2

=

√

17 − 9

2

.

Nietrudno zauwa ˙zy´c, ˙ze obie warto´sci własne s ˛

a ujemne a wi˛ec na mocy twierdzenia Lapunowa równowaga

jest lokalnie asymptotycznie stabilna.

Zadanie 4

?

Popyt konsumenta na pierwsze dobro (b˛ed ˛

acy rozwi ˛

azaniem zadania optymalizacji) jest dany

funkcj ˛

a x(p

1

, p

2

, w)

, gdzie p

`

, ` = 1, 2 s ˛

a cenami dóbr a w to bogactwo.

Niech b˛ed ˛

a ustalone ceny ˆ

p

1

, ˆ

p

2

i bogactwo ˆ

w

. Wiemy, ˙ze w tej sytuacji, liniowe przybli ˙zenie zmiany popytu

przy wzro´scie ceny pierwszego dobra i drugiego dobra wynosi odpowiednio −1/2 i −1/3.

(a) [6 p] Ile wynosi liniowe przybli ˙zenie zmiany popytu przy wzro´scie bogactwa? Odpowied´z bardzo dokładnie

uzasadni´c!

Rozwi ˛

azanie.

(a) Przede wszystkim zauwa ˙zamy

1

, ˙ze popyt x musi by´c jednorodny stopnia 0. Skoro tak to mo ˙zemy skorzysta´c

z twierdzenia Eulera dla funkcji jednorodnej postaci (dla funkcji jednorodnej stopnia 0)

∂x(ˆ

p, ˆ

w)

∂p

1

ˆ

p

1

+

∂x(ˆ

p, ˆ

w)

∂p

2

ˆ

p

2

+

∂x(ˆ

p, ˆ

w)

∂w

ˆ

w = 0

(3)

sk ˛

ad bezpo´srednio otrzymujemy

∂x(ˆ

p, ˆ

w)

∂w

=

1

ˆ

w

 ˆ

p

1

2

+

ˆ

p

2

3



.

Zadanie 5

Dane jest równanie ró ˙zniczkowe postaci

˙

x x

2

t

2

= x

3

t + xt

3

(4)

(a) [6 p] Poda´c rzeczywiste rozwi ˛

azanie ogólne.

Rozwi ˛

azanie.

(a) Podane równanie po obu stronach zawiera wielomiany jednorodne tego samego stopnia. Mamy wi˛ec

˙

xx

2

t

2

= x

3

t = xt

3

1

t

4

˙

x



x

t



2

=

1

t

4





x

t



3

+



x

t





.

1

Albo wiemy to z wykładu mikroekonomii albo zauwa ˙zamy, ˙ze pomno ˙zenie przez t˛e sama liczb˛e dodatni ˛

a zarówno obu cen jak i

bogactwa nie zmienia zbioru bud ˙zetowego i konsekwentnie rozwi ˛

azania.

3

Stosujemy podstawienie x = ut sk ˛

ad ˙x = u + t ˙u i konsekwentnie

(u + t ˙

u) u

2

= u

3

+ u

tu ˙

u = 1

u ˙

u =

1

t

udu =

dt

t

Z

udu =

Z

dt

t

1

2

u

2

+ C = ln |t|

Ostatnie równanie zadaje zale ˙zno´s´c pomi˛edzy u i t. Mno ˙z ˛

ac obie strony przez t

2

otrzymujemy

1

2

(ut)

2

+ Ct

2

= t

2

ln |t|

x

2

= 2 t

2

ln |t| − Ct

2

4