Centralne twierdzenie

graniczne

wprowadzenie

Dlaczego jest takie ważne?

• Centralne twierdzenie graniczne to jedno

z najważniejszych twierdzeń rachunku
prawdopodobieństwa, uzasadniające częste
występowanie w przyrodzie rozkładów
zbliżonych do rozkładu normalnego.

Powszechność twierdzenia

• Na podstawie centralnego twierdzenia

granicznego można w wielu sytuacjach
zakładać, że zmienna losowa, za pomocą
której modelujemy dane zjawisko,
ma rozkład bardzo zbliżony do rozkładu
normalnego.

Trochę teorii

• Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne

mówiące, że jeśli X

i

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej
(średniej) μ i skończonej wariancji σ

2

większej od 0 to zmienna

losowa o postaci:

• zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego

gdy n rośnie do nieskończoności.

N 0,1

∑

i=1

n

X

i

−

nμ

σ



n

O co chodzi?

• Dla danego rozkładu losujemy n wartości z tego rozkładu

(mamy n niezależnych realizacji zmiennej losowej o tym
rozkładzie).

• Sumujemy te realizacje.
• Odpowiednio normujemy otrzymaną sumę

(według wzoru).

• Taka suma jest realizacją zmiennej losowej o rozkładzie

zbliżonym do rozkładu normalnego (dla odpowiednio
dużego n)

Ułatwienie

• Dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu możliwe

jest uniknięcie skomplikowanych obliczeń dla dużych
liczb i trudnych w użyciu rozkładów – dzięki przejściu na
rozkład normalny, który jest stablicowany i stosunkowo
łatwy w zastosowaniu.

• Należy pamiętać jednak, że nie zawsze centralne

twierdzenie graniczne daje się zastosować
(możliwe np. spore błędy ze względu na n czy p).

Koniec