Centralne twierdzenie 

graniczne

wprowadzenie

Dlaczego jest takie ważne?

• Centralne twierdzenie graniczne to jedno 

z najważniejszych twierdzeń rachunku 
prawdopodobieństwa, uzasadniające częste 
występowanie w przyrodzie rozkładów 
zbliżonych do rozkładu normalnego. 

Powszechność twierdzenia

• Na podstawie centralnego twierdzenia 

granicznego można w wielu sytuacjach 
zakładać, że zmienna losowa, za pomocą 
której modelujemy dane zjawisko, 
ma rozkład bardzo zbliżony do rozkładu 
normalnego. 

Trochę teorii

• Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne 

mówiące, że jeśli X

i

 są niezależnymi zmiennymi losowymi o 

jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej 
(średniej) μ i skończonej wariancji σ

2 

większej od 0 to zmienna 

losowa o postaci:

• zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego 

gdy n rośnie do nieskończoności.

N 0,1

∑

i=1

n

X

i

−

nμ

σ



n

O co chodzi?

• Dla danego rozkładu losujemy n wartości z tego rozkładu 

(mamy n niezależnych realizacji zmiennej losowej o tym 
rozkładzie).

• Sumujemy te realizacje.
• Odpowiednio normujemy otrzymaną sumę

(według wzoru).

• Taka suma jest realizacją zmiennej losowej o rozkładzie 

zbliżonym do rozkładu normalnego (dla odpowiednio 
dużego n)

Ułatwienie

• Dzięki centralnemu twierdzeniu granicznemu możliwe

jest uniknięcie skomplikowanych obliczeń dla dużych 
liczb i trudnych w użyciu rozkładów – dzięki przejściu na 
rozkład normalny, który jest stablicowany i stosunkowo 
łatwy w zastosowaniu. 

• Należy pamiętać jednak, że nie zawsze centralne 

twierdzenie graniczne daje się zastosować 
(możliwe np. spore błędy ze względu na n czy p).

Koniec