Model regresji liniowej

Zadanie 1

Badanie zależności dochodów w gospodarstwach domowych (x- tys. zł) i wielkości
konsumpcji mierzonej wydatkami na motoryzację (y – setki zł) dostarczyło informacji:

Dochody Konsumpcja
4,88 0,99
5,37 1,36
5,86 2,06
6,33 2,55
7,00 3,76
7,62 4,58
8,11 5,07
8,40 5,55

a)

Która ze zmiennych jest zmienną zależną?

b)

Wyznaczyć równanie regresji y względem x i zinterpretować parametry równania.

c)

Wyznaczyć i zinterpretować parametry stochastyczne modelu regresji.

d)

Wyznaczyć współczynnik korelacji pomiędzy konsumpcją i dochodami.

e)

Wyznaczyć współczynnik determinacji.

f)

Jakich wydatków na motoryzację należy się spodziewać jeżeli dochód gospodarstwa
domowego wynosi 8,25 tys. zł?

Zadanie 2

Kierownik działu marketingowego sugeruje dyrektorowi pewnej firmy zwiększenie
wydatków na reklamę produktu o symbolu „AAA” (X w zł) w celu uzyskania większego
zysku (Y w tys.zł). Dostępne są następujące informacje uzyskane na podstawie 10-
elementowej próby losowej:

∑

=

=

∑

−

=

∑

−

=

=

=

=

10

1

i

2
i

10

1

i

2

i

10

1

i

2

i

500

x

230

)

y

y

(

250

)

x

x

(

20

)

y

,

x

cov(

180

x

120

y

100

e

10

1

i

i

10

1

i

i

10

1

i

2

i

=

∑

=

∑

=

∑

=

=

=

a)

Korzystając z powyższych danych należy zbudować model regresji liniowej między
wydatkami na reklamę a zyskiem oraz dokonać interpretacji parametrów modelu.

b)

Czy kierownik działu marketingowego miał rację mówiąc, że wzrost wydatków na reklamę
przyczyni się do wzrostu zysku?

c)

Zbuduj przedział ufności dla współczynnika regresji, przyjmując poziom ufności 0,95.

d)

W jakim stopniu wysokość zysku osiąganego przez firmę jest wyjaśniana nakładami na
reklamę?

e)

Ile wyniesie zysk firmy jeśli na reklamę wyda się 20 tys. zł? Dokonaj prognozy punktowo i
przedziałowo, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,9.

f)

Ile wyniesie oczekiwany zysk firmy, jeśli na reklamę wyda się 20 tys. zł? Dokonaj
prognozy punktowo i przedziałowo, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,9.

Zadanie 3

Na podstawie danych dotyczących dochodów firm w mln. zł (X) oraz wydatków na cele
charytatywne w mln. zł (Y) dla 100 firm uzyskano następujące informacje:

(

)

(

)

∑

=

−

∑

=

−

=

=

∑

=

=

34

,

47

yˆ

y

;

66

,

96

y

yˆ

;

57

,

3

)

x

(

s

;

5

,

3

)

y

,

x

cov(

;

340

y

;

12

,

40

x

2

i

i

2

i

i

a)

Zapisać funkcję regresji liniowej wydatków na cele charytatywne względem dochodów
firm, zinterpretować jej parametry.

b)

Ocenić stopień dopasowania modelu do danych empirycznych.

Zadanie 4

W analizie liniowej regresji tygodniowego czasu poświęcanego na naukę (y – godz.)

względem czasu oglądania telewizji (x- godz.) dla 80 uczniów otrzymano: c

yx

= -1,32;

x

=

18; y = 14; s

x

=2; s

y

= 1,7; s

e

=1,6.

a)

Oszacować parametry strukturalne funkcji regresji.

b)

Czy współczynnik regresji jest istotnie ujemny ( przyjąć poziom istotności 0,05 ).

c)

Podać teoretyczny czas nauki osoby, której czas oglądania telewizji wynosi 20 godz. oraz
błąd tej prognozy.

Zadanie 5

Estymując model regresji liniowej uzależniającego liczbę dzieci urodzonych przez kobiety
(cecha y, w tys.) od liczby kobiet w wieku 20-24 lata (cecha x, w tys.) na podstawie danych
przekrojowych (województwa, 1995) otrzymano następujące wyniki:

97

,

0

xy

r

.;

tys

9

,

1

)

y

(

S

.;

tys

7

,

42

)

x

(

S

.;

tys

2

,

3

y

.;

tys

7

,

58

x

=

=

=

=

=

Zapisz oszacowany model, podając interpretację parametrów oraz wyznaczyć przewidywaną
liczbę urodzeń dla 100 tys. kobiet w wieku 20-24 lata. Co można powiedzieć o dopasowaniu
modelu do danych empirycznych?

Zadanie 6

Na podstawie 7 informacji oszacowano liniowy model zużycia surowca (Y w tonach)
względem wielkości produkcji (X w tys.), uzyskując:

2

,

10

S

,

90

S

,

180

y

,

28

S

,

4

x

120

x

15

yˆ

e

y

2
x

i

i

=

=

=

=

=

+

=

a)

Czy oszacowany współczynnik regresji jest istotny statystycznie?

b)

Oszacować punktowo i przedziałowo wielkość zużycia surowca przy wielkości produkcji
7 tys. szt.

Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu:
Zbiór zadań: 5.4.1; 5.4.4; 5.4.5; 5.4.7; 5.5.5.