Model regresji liniowej 

 

Zadanie 1 

Badanie  zależności  dochodów  w  gospodarstwach  domowych  (x-  tys.  zł)  i  wielkości 
konsumpcji mierzonej wydatkami na motoryzację (y – setki zł) dostarczyło informacji: 

Dochody            Konsumpcja 
4,88                     0,99 
5,37                      1,36 
5,86                      2,06 
6,33                      2,55 
7,00                      3,76 
7,62                      4,58 
8,11                      5,07 
8,40                      5,55 

a)

 

Która ze zmiennych jest zmienną zależną? 

b)

 

Wyznaczyć równanie regresji y względem x i zinterpretować parametry równania. 

c)

 

Wyznaczyć i zinterpretować parametry stochastyczne modelu regresji. 

d)

 

Wyznaczyć współczynnik korelacji pomiędzy konsumpcją i dochodami. 

e)

 

Wyznaczyć współczynnik determinacji. 

f)

 

Jakich  wydatków  na  motoryzację  należy  się  spodziewać  jeżeli  dochód  gospodarstwa 
domowego wynosi 8,25 tys. zł? 

 

Zadanie 2 

Kierownik  działu  marketingowego  sugeruje  dyrektorowi  pewnej  firmy  zwiększenie 
wydatków  na  reklamę  produktu  o  symbolu  „AAA”  (X  w  zł)  w  celu  uzyskania  większego 
zysku  (Y  w  tys.zł).  Dostępne  są  następujące  informacje  uzyskane  na  podstawie  10-
elementowej próby losowej: 

∑

=

=

∑

−

=

∑

−

=

=

=

=

10

1

i

2
i

10

1

i

2

i

10

1

i

2

i

500

x

230

)

y

y

(

250

)

x

x

(

20

)

y

,

x

cov(

 

 

 

180

x

120

y

100

e

10

1

i

i

10

1

i

i

10

1

i

2

i

=

∑

=

∑

=

∑

=

=

=

 

a)

 

Korzystając  z  powyższych  danych  należy  zbudować  model  regresji  liniowej  między 
wydatkami na reklamę a zyskiem oraz dokonać interpretacji parametrów modelu. 

b)

 

Czy kierownik działu marketingowego miał rację mówiąc, że wzrost wydatków na reklamę 
przyczyni się do wzrostu zysku?  

c)

 

Zbuduj przedział ufności dla współczynnika regresji, przyjmując poziom ufności 0,95.  

d)

 

W  jakim  stopniu  wysokość  zysku  osiąganego  przez  firmę  jest  wyjaśniana  nakładami  na 
reklamę?  

e)

 

Ile wyniesie zysk firmy jeśli na reklamę wyda się 20 tys. zł? Dokonaj prognozy punktowo i 
przedziałowo, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,9. 

f)

 

Ile  wyniesie  oczekiwany  zysk  firmy,  jeśli  na  reklamę  wyda  się  20  tys.  zł?  Dokonaj 
prognozy punktowo i przedziałowo, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,9. 

 

Zadanie 3 

Na  podstawie  danych  dotyczących  dochodów  firm  w  mln.  zł  (X)  oraz  wydatków  na  cele 
charytatywne w mln. zł (Y) dla 100 firm uzyskano następujące informacje: 

          

(

)

(

)

∑

=

−

∑

=

−

=

=

∑

=

=

34

,

47

yˆ

y

;

66

,

96

y

yˆ

;

57

,

3

)

x

(

s

;

5

,

3

)

y

,

x

cov(

;

340

y

;

12

,

40

x

2

i

i

2

i

i

 

a)

 

Zapisać  funkcję  regresji  liniowej  wydatków  na  cele  charytatywne  względem  dochodów 
firm, zinterpretować jej parametry. 

b)

 

Ocenić stopień dopasowania modelu do danych empirycznych. 

 

Zadanie 4 

W  analizie  liniowej  regresji  tygodniowego  czasu  poświęcanego  na  naukę  (y  –  godz.) 

względem  czasu  oglądania  telewizji  (x-  godz.)    dla  80  uczniów  otrzymano:  c

yx

  =  -1,32; 

x

= 

18;  y = 14; s

x

 =2; s

y

 = 1,7; s

e 

=1,6. 

a)

 

Oszacować parametry strukturalne funkcji regresji. 

b)

 

Czy współczynnik regresji jest istotnie ujemny ( przyjąć poziom istotności 0,05 ). 

c)

 

Podać teoretyczny czas nauki osoby, której czas oglądania telewizji wynosi 20 godz. oraz 
błąd tej prognozy. 

 

Zadanie 5 

Estymując  model  regresji  liniowej  uzależniającego  liczbę  dzieci  urodzonych  przez  kobiety 
(cecha y, w tys.) od liczby kobiet w wieku 20-24 lata (cecha x, w tys.) na podstawie danych 
przekrojowych (województwa, 1995) otrzymano następujące wyniki:  

97

,

0

xy

r

.;

tys

9

,

1

)

y

(

S

.;

tys

7

,

42

)

x

(

S

.;

tys

2

,

3

y

.;

tys

7

,

58

x

=

=

=

=

=

 

Zapisz oszacowany model, podając interpretację  parametrów oraz wyznaczyć przewidywaną 
liczbę urodzeń dla 100 tys. kobiet w wieku 20-24 lata. Co można powiedzieć o dopasowaniu 
modelu do danych empirycznych?  
 

Zadanie 6 

Na  podstawie  7  informacji  oszacowano  liniowy  model  zużycia  surowca  (Y  w  tonach) 
względem wielkości produkcji (X w tys.), uzyskując: 

2

,

10

S

,

90

S

,

180

y

,

28

S

,

4

x

120

x

15

yˆ

e

y

2
x

i

i

=

=

=

=

=

+

=

 

a)

 

Czy oszacowany współczynnik regresji jest istotny statystycznie? 

b)

 

Oszacować punktowo i przedziałowo wielkość zużycia surowca przy wielkości produkcji 
7 tys. szt. 

 
 

Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu: 
Zbiór zadań: 5.4.1;  5.4.4;  5.4.5;  5.4.7;  5.5.5.