1
WSTĘP
DO FIZYKI
JADRA
ATOMOWEGO
IV ROK FIZYKI - semestr zimowy
Janusz Braziewicz - Zakład Fizyki Medycznej IF AŚ
A O
Wykład –4-6
2
Modele jądra atomowego
Oczekujemy wyjaśnienia:
• stałej gęstości materii jądrowej
• stałej energii wiązania
• własności jąder takich, jak spin, momenty
elektromagnetyczne i ich związek z Z i N
• rozmieszczenia stabilnych izotopów na wykresie n=f(Z)
• występowania liczb magicznych
• prawidłowości występujących w stabilności izobarów
względem rozpadu
β
• systematyczności zmian energii rozpadu
α ze zmianą Z i N
• rozszczepienia jąder
3
Modele jądrowe
cząstek niezależnych
powłokowy
gazu Fermiego
silnego sprzężenia
powłokowy z oddziaływaniem
resztkowym
clusterowy
kroplowy
zunifikowany
skorelowanych par
4
Model
kroplowy
jądra
wyjaśnia takie własności jądra:
• masa jądra
• energia wiązania
analogia do kropli cieczy:
• stała gęstość materii
• stała energia wiązania na nukleon
e
e
e
e
e
e
n
n
p
p
e
e
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Kropla nieściśliwej cieczy
utrzymywana w równowadze
przez krótkozasięgowe siły
mające własność wysycania się.
Energia wiązania kropli:
B = B
1
+ B
2
+ B
3
+ B
4
+ B
5
5
B = B
1
+ B
2
+ B
3
+ B
4
+ B
5
-
energia objętościowa
B
1
= a
v
A
B =
B
1
+
B
2
+ B
3
+ B
4
+ B
5
-
energia powierzchniowa
B
2
= -a
s
A
2/3
B =
B
1
+ B
2
+
B
3
+ B
4
+ B
5
-
energia kulombowska
B
3
= -a
c
Z
2
A
-1/3
B =
B
1
+ B
2
+ B
3
+
B
4
+ B
5
-
energia asymetrii
B
4
= -a
A (
Z-A/2)
2
A
-1
B =
B
1
+ B
2
+ B
3
+ B
4
+
B
5
-
energia pairingu
+
δ parzyste Z i N
B
5
= 0 nieparzyste Z lub N
-
δ nieparzyste Z i N
δ≈a
δ
A
-1/2
A
a
A
r
R
R
V
V
o
jadra
=
=
=
=
3
/
1
3
3
4
π
/
2
3
/
1
2
4
A
a
A
r
R
R
S
S
o
jadra
=
=
=
=
π
3
/
1
2
3
/
1
2
5
3
−
−
=
=
=
=
=
A
Z
a
eZ
q
A
r
R
R
q
V
C
o
jadra
ie
kilombowsk
A
A
Z
a
V
A
jadra
asymetrii
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
6
półempiryczny wzór na energię wiązania:
(
)
1/2
2
3
/
1
2
3
/
2
2
,
−
−
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
=
A
a
A
A
Z
a
A
Z
a
A
a
A
a
A
Z
B
a
c
s
v
δ
ponieważ
(
)
(
)
2
/
,
c
B
m
Z
A
Zm
A
Z
m
n
H
−
−
+
=
(
)
(
)
1/2
2
3
/
1
2
3
/
2
2
,
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+
+
−
−
+
=
A
a
A
A
Z
a
A
Z
a
A
a
A
a
m
Z
A
Zm
A
Z
m
a
c
s
v
n
H
δ
μ
formuła masowa Weizsäckera
7
Stałe
a
v
= 17.011mu = 15.85 MeV/c
2
a
c
= 0.767mu = 0.71 MeV/c
2
a
s
= 19.691mu = 18.34 MeV/c
2
a
a
= 99.692mu = 92.86 MeV/c
2
a
δ
= 12.3mu = 11.46 MeV/c
2
Formuła opisuje
średnie zachowanie
dla A>30 z dokładnością ~1%.
F o r m u ła ła tw o tłu m a c z y
r o z s z c z e p ie n ie j ą d r a .
8
Model kroplowy traktuje jądro jako całość
nic nie mówiąc o poszczególnych
nukleonach.
Wyjaśnił tylko:
• energię wiązania
• masę jądra.
9
Zależność masy w ciągu izobarów
A-nieparzyste
Istnieje tylko jeden izobar o minimalnej
wartości masy – to izobar stabilny
10
Zależność masy w ciągu izobarów
A-parzyste
Istnieje więcej niż jeden izobar o
minimalnej wartości masy – to izobary
stabilne
11
Szukanie minimum
dla dowolnego jądra
o liczbach Z i A
to
(
)
0
,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=const
A
Z
A
Z
m
(
)
0
2
/
2
2
1
0
3
/
1
0
=
−
+
+
−
−
−
A
A
Z
a
A
a
Z
m
m
A
C
n
p
3
/
2
3
/
1
0
015
.
0
98
.
1
2
A
A
a
A
a
a
m
m
A
Z
A
C
A
n
p
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
−
12
Granice możliwości uzyskiwania energii
• oderwanie od jądra cząstki
α
(
) (
) ( )
[
]
0
4
,
2
4
,
2
,
2
>
−
−
−
−
=
c
m
A
Z
m
A
Z
m
E
α
13
• proces rozszczepienia
Granice możliwości uzyskiwania energii
(
)
(
)
[
]
0
2
/
,
2
/
2
,
2
>
−
=
c
A
Z
m
A
Z
m
E
f
(
)
(
)
(
)
amu
A
Z
A
A
Z
a
A
a
c
E
C
S
f
3
/
1
2
3
/
2
3
/
2
3
/
1
2
3
/
2
3
/
2
2
284
.
0
12
.
5
2
1
2
1
/
−
−
+
−
=
−
+
−
=
zachodzi dla A od ~90
14
Jądro - gaz Fermiego
• nukleony (cząstki o spinie 1/2) znajdują się w studni
potencjału
• w stanie podstawowym jądra zajęte są wszystkie stany
dozwolone przez zakaz Pauliego i pomimo silnych
oddziaływań pomiędzy nukleonami cząstka nie może
zmieniać swego stanu ruchu
• nukleony nie mogą ulegać zderzeniom
→ jądro
atomowe można w przybliżeniu traktować jako układ
cząstek niezależnych
Dla dowolnie wybranego nukleonu można określić jego
stany własne
rozwiązując równanie Schrödingera
w średnim potencjale jądra, na który składają się
oddziaływania wszystkich innych nukleonów
15
Postać średniego potencjału jądra
nie jest z góry znana
założenia:
• określony przez same nukleony
• winien być zgodny z warunkiem, że jądro ma stosunkowo
ostro określony brzeg
• prostokątny sferycznie symetryczny potencjał V(r)
o wartości -V
o
dla r<R
o wartości V
o
= 0 dla r
≥R
Ψ
Ψ
=
H
E
ˆ
gdzie
∑
∑
≠
+
∇
=
j
i
ij
i
i
u
m
H
2
1
2
ˆ
2
2
η
16
ponieważ cząstki nie oddziaływują ze sobą, to:
• wyznaczamy możliwe stany dla jednej z nich
• obsadzamy możliwe stany zgodnie z zakazem Pauliego
Niezależne od czasu
równanie Schrödingera
dla cząstki w prostokątnej studni potencjału
Ψ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
−
=
ΔΨ
−
E
z
y
x
m
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
η
η
( )
( ) ( ) ( )
z
Z
y
Y
x
X
r
+
+
=
Ψ
z
y
x
E
E
E
E
+
+
=
układ swobodnych cząstek o spinie 1/2 zamkniętych
nieprzenikalną ścianą - model gazu Fermiego
0
=
ij
u
17
jego jednowymiarowa forma:
( )
x
X
E
x
X
m
x
=
∂
∂
−
2
2
2
2
η
to równanie postaci
( )
x
X
k
x
X
2
2
2
−
=
∂
∂
2mE
k
η
1
=
i ma rozwiązanie
(
)
(
)
x
k
i
x
k
B
x
k
i
x
k
A
e
B
e
A
X
x
ik
x
ik
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
sin
cos
sin
cos
−
+
+
=
+
=
−
Wybór stałych A i B oraz wybór jednego z rozwiązań
wynika z warunków brzegowych.
( )
( )
r
k
r
ρ
ρ
⋅
=
Ψ
i
Ce
18
Jeśli zamiast potencjału sferycznie symetrycznego wprowadzę
potencjał w formie kostki o boku a
, to warunki
brzegowe są wówczas następujące:
X(x)=Y(y)=Z(z)=0 dla x=y=z=±a/2
Rozwiązaniami są funkcje mające
zera na granicach potencjału i z
warunków brzegowych wynikają
unormowane rozwiązania postaci
,...
7
,
5
,
3
,
1
,
=
=
x
x
a
k
x
λ
πλ
λ
+
+
+
x
k
a
X
x
λ
λ
cos
2
1
=
+
x
k
a
X
x
λ
λ
sin
2
i
=
−
-
+
-
,...
6
,
4
,
2
,
0
,
=
=
x
x
a
k
x
λ
πλ
λ
-
-
-
19
( )
,...
3
,
2
,
1
,
0
,
2
1
2
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
x
x
x
a
m
k
m
E
x
x
λ
πλ
λ
λ
η
η
możliwe wartości energii cząstki:
dla rozwiązania trójwymiarowego zachodzi więc:
(
)
2
2
2
2
2
1
z
y
x
z
y
x
a
m
E
E
E
E
λ
λ
λ
π
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
+
=
η
związany z tą energią pęd:
(
)
2
2
2
2
2
2
z
y
x
a
mE
p
λ
λ
λ
π
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
η
20
weźmy teraz prostokątny układ
współrzędnych
λ
x
,
λ
y
,
λ
z
.
Ponieważ
λ przybiera wartości
całkowite - współrzędne tworzą
przestrzenna siec punktów.
η
π
π
λ
ap
ak =
=
ponieważ
Objętość przestrzeni zdefiniowana przez te
współrzędne jest proporcjonalna do
iloczynu objętości przestrzeni położeń a
3
i
objętości przestrzeni pędów p
3
, wyrażonej
w jednostkach h
3
,
3
3
3
~
~
p
a
λ
Ω
21
Przestrzeń położeń i pędów nosi nazwę
przestrzeni fazowej
Liczba możliwych stanów dn, czyli liczba możliwych
punktów siatki leżących w warstwie kulistej
ρ, ρ+dρ,
gdzie , przy dostatecznej gęstości
punktów jest równa objętości warstwy
2
2
2
2
z
y
x
λ
λ
λ
ρ
+
+
=
ρ
πρ
d
d
2
4
=
Ω
ρ
πρ
d
d
dn
2
2
1
8
1
=
Ω
=
Czynnik 1/8 uwzględnia fakt, że punkty o dodatnich
wartościach
λ leżą tylko w 1/8 kuli, więc
τ
πτ
π
τ
=
=
=
3
3
2
2
3
2
,
4
2
a
dp
p
dp
p
dn
h
η
22
• ponieważ cząstka porusza się swobodnie w obrębie
prostokątnej studni potencjału, równanie podaje liczbę
możliwych stanów cząstki zamkniętej w objętości a
3
,
przypadających na przedział pędu dp.
• równanie jest równoważne stwierdzeniu, że w objętości
przestrzeni fazowej równej h
3
znajduje się tylko jeden
stan.
(
)
dE
E
C
dE
E
m
dn
τ
τ
π
1
1
3
2
2
/
3
2
=
=
−
η
p
2
=2mE, p
2
dp=(2m
3
E)
1/2
dE
τ
πτ
π
τ
=
=
=
3
3
2
2
3
2
,
4
2
a
dp
p
dp
p
dn
h
η
23
• w studni znajduje się pewna liczba cząstek o spinie 1/2
• w każdym stanie można umieścić tylko dwie cząstki
• poczynając od najniższego stanu obsadzamy coraz to
wyższe
• załóżmy, że nie ma cząstek wzbudzonych
(
układ ma temperaturę T=0 K)
liczba cząstek na przedział energii ~E
1/2
• gdy jedna z dwu cząstek ma w najwyższym z zajętych
stanów energię E
F
to liczba cząstek w studni potencjału
wynosi
• gdzie energia Fermiego
(
)
(
)
2
/
3
1
3
2
2
/
3
0
1
0
3
8
2
2
F
E
E
E
m
dE
E
C
dE
dE
dn
n
F
F
⋅
=
=
=
−
∫
∫
τ
π
τ
η
3
/
2
2
3
/
4
3
/
2
3
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
τ
π
n
m
E
F
η
24
W przypadku jądra znana jest liczba cząstek i objętość
jaką zajmują
znajomość r
o
wystarcza do określenia wartości E
F
.
V
o
~40 MeV
E
F
~30 MeV
25
Ponieważ mamy dwa rodzaje cząstek w jądrze -
• odpychająca siła kulombowska między protonami
powoduje zmniejszenie ich energii wiązania w studni
potencjału
• jądro to układ dwóch niezależnych od siebie gazów
Fermiego, znajdujących się w odmiennych warunkach
energetycznych
26
Przebieg potencjału i stany
energetyczne w modelu gazu
Fermiego dla protonów i
neutronów
Porównanie energii wiązania w
symetrycznym i niesymetrycznym gazie
Fermiego
Nadmiar neutronów w większości trwałych jąder jest więc
spowodowany tym, że w stanie równowagi w studni
potencjału dla neutronów można zmieścić więcej cząstek, niż
w studni potencjału dla protonów, która jest płytsza o wartość
energii kulombowskiej.
27
Wpływ ładunku protonu na wartość energii wiązania jądra
Całkowita energia E
T
gazu Fermiego
∫
∫
=
=
=
F
F
E
F
E
T
E
C
dE
E
C
dE
dE
dn
E
E
0
2
/
5
1
0
2
/
3
1
5
4
2
τ
τ
3
/
2
2
3
/
4
3
/
2
3
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
τ
π
n
m
E
F
η
3
/
2
3
/
5
3
3
/
2
3
/
5
2
−
−
=
=
A
n
C
n
C
E
T
τ
A
r
3
0
3
4
π
τ
=
28
Jeśli protony byłyby bez
ładunku
i dla każdej części
wstawilibyśmy n=A/2 i
otrzymalibyśmy
3
/
2
3
/
5
3
2
1
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
A
A
C
E
T
Ponieważ protony mają ładunek,
to dla lewej części mamy n=Z a
dla prawej n=N i otrzymamy
(
)
3
/
5
3
/
5
3
/
2
3
Z
N
A
C
E
T
+
=
−
29
z różnicy otrzymamy
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
Δ
−
3
/
5
3
/
5
3
/
5
3
/
2
3
2
1
2
A
Z
N
A
C
E
(
)
N
Z
T
Z
−
=
2
1
A
T
A
T
A
T
A
A
C
E
Z
Z
Z
2
3
/
5
3
/
5
3
/
5
3
/
2
3
~
2
1
2
2
1
2
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
Δ
−
Stosując rozwinięcie dwumianowe piszemy
i rozwijamy jak
(
)
3
/
5
3
/
5
3
/
5
/
2
1
2
2
A
T
A
T
A
z
z
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
(
)
p
x
−
1
30
Promieniotwórczość
Jądra nietrwałe
•
jądra w stanie podstawowym, które w wyniku
emisji cząstek mogą zmieniać się
spontanicznie w jądra innego rodzaju
• jądra wzbudzone, które w wyniku
oddziaływań elektromagnetycznych mogą
przejść do stanu podstawowego
31
Procesy rozpadu jąder
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
+
⎯→
⎯
−
−
α
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
~
1
ν
β
+
+
⎯→
⎯
−
+
−
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
ν
β
+
+
⎯→
⎯
+
−
+
1
e
A
Z
WE
A
Z
Y
e
X
ν
+
⎯→
⎯
+
−
−
1
γ
γ
+
⎯
⎯ →
⎯
X
X
A
Z
rozpad
A
Z
*
określone
prawdopodobieństwo przejścia
(rozpadu)
λ=|C|
2
,
gdzie amplituda przejścia
C=<
Ψ
f
⏐V⏐Ψ
i
>,
zawiera stałe uniwersalne
i zależy od funkcji falowych
jąder, które z kolei zależą od
stalych charakteryzujacych
silne i slabe oddziaływania
prawdopodobieństwo rozpadu
λ stanu nietrwałego jest
wielkością rzeczywiście stala
32
definicje
•
stała rozpadu
dN
=-
λ
N
dt
•
N - liczba nietrwałych jąder w chwili t=0
• prawdopodobieństwo rozpadu pojedynczego jądra
w jednostce czasu
(1/sek)
• dN - liczba jąder, które uległy rozpadowi w czasie
dt
33
• aktywność
⏐dN/dt⏐=λN≡A
Jednostki
•1 kiur = 1Ci = 3.7*10
10
rozpadów/s
•1 bekerel = 1Bq = 1 rozpad/s = 0.27*10
-10
Ci
34
∫
∫
=
−
=
t
t
N
N
dt
N
dN
o
0
λ
t
N
N
o
λ
−
=
ln
t
o
e
N
t
N
λ
−
=
)
(
N
(t
)
t
lnN(t)
t
o
o
t
o
N
A
e
A
A
λ
λ
≡
=
−
,
λ=tg∠
35
• czas połowicznego zaniku
T
1/2
=ln2/
λ
• średni czas życia
τ=1/λ
36
• krzywa wzrostu
t=0
M-N
o
P-0
t=t
M-N
P- N
o
-N=N’
(
)
t
o
e
N
t
N
λ
−
−
=
1
)
(
'
N
’(
t)
t
N
o
37
Rozpad sukcesywny
1
2
3
λ
1
λ
2
1
1
1
N
dt
dN
λ
−
=
2
2
1
1
2
N
N
dt
dN
λ
λ
−
=
2
2
3
N
dt
dN
λ
=
t
e
N
N
1
01
1
λ
−
=
(
)
t
t
t
e
N
e
e
N
N
2
2
1
02
01
1
2
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
+
−
−
=
(
)
03
02
1
2
2
1
2
1
01
3
2
1
2
1
1
N
e
N
e
e
N
N
t
t
t
+
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
=
−
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
38
Rozpad sukcesywny
1
2
3
λ
1
λ
2
1
1
1
N
dt
dN
λ
−
=
2
2
1
1
2
N
N
dt
dN
λ
λ
−
=
2
2
3
N
dt
dN
λ
=
t
e
N
N
1
01
1
λ
−
=
(
)
t
t
e
e
N
N
2
1
01
1
2
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
=
−
−
t
t
e
e
N
N
1
2
1
2
2
1
2
1
01
3
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
jeśli dla t=0 N
1
=N
01
i N
02
=N
03
=0
39
Mieszanina substancji radioaktywnych powiązanych genetycznie i
pozostawionych na przeciąg pewnego czasu
1
2
3
λ
1
λ
2
• przypadek I
0
,
1
1
2
≈
>>
λ
λ
λ
A
1
- aktywność substancji macierzystej
const
N
e
N
N
dt
dN
A
t
=
≅
=
=
=
−
01
1
01
1
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
λ
małe
~1
40
A
2
- aktywność substancji pochodnej
(
)
(
)
t
t
t
e
N
e
e
N
N
A
2
2
1
1
01
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
≅
−
−
=
=
A
2
początkowo narasta, lecz po kilku nT
2
i
0
2
2
≅
− nT
e
λ
1
01
1
2
A
N
A
=
≅
λ
Aktywność sumaryczna
1
2
1
2
2
A
A
A
A
nT
t
⎯
⎯ →
⎯
+
=
>
Ze względu na małą wartość
λ
1
aktywności są tu w przybliżeniu stałe
w czasie i dlatego w takim przypadku mówimy o
promieniotwórczej równowadze wiekowej
41
• przypadek II
0
,
1
1
2
≈
>>
λ
λ
λ
A
1
- aktywność substancji macierzystej
t
e
N
N
dt
dN
A
1
01
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
−
=
=
=
A
2
- aktywność substancji pochodnej
(
)
t
t
e
e
N
N
A
2
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
=
co po kilku czasach połowicznego zaniku substancji 2 daje
t
e
N
N
A
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
=
=
42
Aktywność substancji pochodnej zmienia się w czasie z tą samą stałą
rozpadu co aktywność substancji macierzystej. Po tym czasie stosunek
aktywności substancji pochodnej i macierzystej wynosi
1
2
2
1
2
λ
λ
λ
−
=
A
A
Aktywność sumaryczna
t
nT
t
e
N
A
A
A
1
2
01
1
1
2
2
2
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
−
>
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
⎯
⎯ →
⎯
+
=
Po czasie równym nT
2
wszystkie aktywności zmieniają się w czasie ze
stałą rozpadu substancji macierzystej. Ten przypadek nazywamy
przejściową równowagą promieniotwórczą
.
43
• przypadek III
1
2
λ
λ
<
A
1
- aktywność substancji macierzystej
t
e
N
N
dt
dN
A
1
01
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
−
=
=
=
A
2
- aktywność substancji pochodnej
(
)
t
t
e
e
N
N
A
2
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
=
44
Po kilku czasach nT
1
0
1
1
≅
− nT
e
λ
01
2
1
2
1
2
1
2
,
0
N
e
A
A
t
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
=
=
2
2
1
1
A
A
A
A
nT
t
⎯
⎯ →
⎯
+
=
>
Aktywność sumaryczna
45
• szeregi promieniotwórcze
A=4n+s
,
gdzie n jest liczbą całkowitą, a s=0,1,2,3
A
szereg
jądro t
1/2
wyjściowe
4n
torowy
232
Th
1.4 10
10
y
4n+1
neptunowy
237
Np
2.14 10
6
y
4n+2
uranowy
238
U
4.47 10
9
y
4n+3
aktynowy
235
U
7.04 10
8
y
46
47
• sztuczna promieniotwórczość
• jądra wytworzone w wyniku reakcji jądrowych
• podlegają tym samym prawom statystycznym
( )
gpdz
t
e
Mg
Na
n
Al
e
15
,
,
2
/
1
~
24
12
24
11
27
13
=
+
+
→
−
ν
α
( )
y
t
e
N
C
p
n
N
e
5568
,
,
2
/
1
~
14
7
14
6
14
7
=
+
+
→
−
ν
(
)
min
39
.
20
,
,
2
/
1
11
5
11
6
14
7
=
+
+
→
+
t
e
B
C
p
N
e
ν
α
(
)
min
965
.
9
,
,
2
/
1
13
6
13
7
16
8
=
+
+
→
+
t
e
C
N
p
O
e
ν
α
( )
min
07
.
2
,
,
2
/
1
15
7
15
8
14
7
=
+
+
→
+
t
e
N
O
n
d
N
e
ν
( )
min
77
.
109
,
,
2
/
1
18
8
18
9
16
8
=
+
+
→
+
t
e
O
F
n
p
O
e
ν
(
)
min
77
.
109
,
,
2
/
1
18
8
18
9
20
10
=
+
+
→
+
t
e
O
F
d
Ne
e
ν
α
dla
PET
datowanie
48
Rozpad
α
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
+
⎯→
⎯
−
−
α
stosunki energetyczne
Q=M
X
- (M
Y
+m
α
) > 0
Q=E
Y
+E
α
49
Teoria rozpadu
α
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
+
⎯→
⎯
−
−
α
• tożsamość cząstek
α z jądrami helu wykazał
Rutherford w 1908
• energię cząstek określano za pomocą ich zasięgu
w powietrzu (do ~1930 roku) później zaczęto
stosować w tym celu spektrografy magnetyczne
• cząstka
α o energii 5.3 MeV (
210
Po)
ma w powietrzu zasięg 3.84 cm
• obecnie dokładny pomiar energii cząstek mierzy
się za pomocą detektorów półprzewodnikowych
50
Czynniki od jakich zależy
prawdopodobieństwo rozpadu
α
teoria rozpadu na gruncie mechaniki kwantowej podana
przez G. Gamow’a
podczas łączenia cząstki
α z jądrem
V(r)=Z
1
Z
2
e
2
/r
gdy r=R
1
+R
2
=R
zaczynają działać siły jądrowe to
V
C
= Z
1
Z
2
e
2
/R
• cząstka
α w jądrze zostaje związana w jądrze
• p i n znajdują się w prawdziwych stanach
związanych o ujemnej energii
• cztery nukleony łącząc się w cząstkę
α w jądrze znajdują się
w kwazistacjonarnym, metatrwałym stanie o dodatniej
energii - za to odpowiedzialna jest duża energia wiązania
α
51
Prawdopodobieństwo
λ emisji cząstki α to iloczyn
• prawdopodobieństwa
λ
o
utworzenia cząstki
α
• prawdopodobieństwa
T
α
przeniknięcia bariery
potencjału przez cząstkę
α
λ =
λ
o
T
α
T
α
=
liczba skutecznych prób przenikania
______________________________
liczba wszystkich prób przenikania
współczynnik przenikania (transmisji)
52
T
α
=
liczba skutecznych prób przenikania
______________________________
liczba wszystkich prób przenikania
współczynnik przenikania (transmisji)
strumień cząstek wychodzących poza barierą - j
a
strumień cząstek dobiegających do bariery - j
e
_________________________________________
≡
Strumień (cm
-2
s
-1
)
j = |u|
2
v
prędkość cząstek
gęstość prawdopodobieństwa położenia cząstki opisanej
funkcją falową u(r) jest określona przez |u|
2
=u
*
u
53
e
e
a
a
e
e
a
a
e
a
k
u
k
u
k
mv
p
v
u
v
u
j
j
T
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
η
α
Rozwiązując równanie Schrodingera w
obszarach cząstki 1, 2 i 3
otrzymujemy rozwiązania
(
)
r
ik
o
r
k
r
k
r
ik
r
ik
e
u
E
V
m
k
e
e
u
mE
k
e
e
u
3
,
2
,
2
1
1
3
3
,
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
,
2
1
,
α
β
α
β
α
=
−
=
+
=
=
+
=
−
−
η
η
części rzeczywiste
na rysunku b)
k
2
=ik
2
’,0
54
Z warunku ciągłości na brzegach
u
1
= u
2
, u
1
’
= u
2
’
dla r=0
u
2
= u
3
, u
2
’
= u
3
’
dla r=d
i wstawieniu rozwiązań otrzymamy 4 równania
określające 5 amplitud
α
1
,
β
1
,
α
2
,
β
2
,
α
3
co pozwoli wyznaczyć stosunki dowolnych dwu
2
1
3
2
1
2
3
α
α
α
α
α
=
=
T
(
)
d
k
o
o
o
e
V
V
E
V
T
'
2
2
2
2
2
2
4
−
−
−
=
α
(
)
1
'
2
2
2
2
2
2
1
3
sinh
2
1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
=
d
k
V
E
V
V
T
o
o
o
α
α
α
dla grubej bariery
dk
2
’>>1
Ponieważ k
e
=k
1
=k
3
=k
a
55
(
)
(
)
[
]
d
E
V
m
T
o
−
−
≈
2
/
2
exp
η
α
(
)
d
k
o
o
o
e
V
V
E
V
T
'
2
2
2
2
2
2
4
−
−
−
=
α
ten czynnik decyduje
o wartości
(
)
( )
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
∫
D
dr
E
r
V
m
T
0
2
/
2
exp
η
α
dla bariery o dowolnej postaci V(r)
to jest ~1
56
dla bariery V(r) postaci kulombowskiej
dr
E
r
e
Z
Z
m
G
gdzie
e
T
R
R
G
∫
−
=
≈
−
'
2
2
1
2
2
,
η
α
( )
( )
(
)
C
V
E
R
R
x
x
x
x
arc
x
gdzie
x
e
Z
Z
E
m
G
/
'
/
;
1
cos
/
2
2
2
2
1
=
≡
−
−
=
=
γ
γ
η
G - czynnik Gamowa
• maleje ze wzrostem energii
• czasy połowicznego zaniku są tym
mniejsze im większa jest energia cząstek
t
1/2
~1/
λ~1/T~e
G
, ln t
1/2
~G~E
α
-1/2
przedstawiając całkę w postaci skończonej
57
lnT
1/2
= A+B 1/(E
α
)
1/2
związek między stałą rozpadu i energią rozpadu E
α
dla
pierwiastków należących do tego samego szeregu
α promieniotwórczego
A - stała w obrębie
szeregu
B - stała dla wszystkich
szeregów
58
Przykład:
235
U
→
231
Th+
4
He, E
α
=4.2 MeV
v
α
=4*10
9
cm/s w jądrze o średnicy ~10
-12
cm
~10
21
zderzeń/s
j
a
~10
-38
, j
e
~(1-10
-38
)
→ 1 na 10
38
zderzeń z barierą
daje wyjście z jądra
Czas potrzebny na jeden rozpad
10
38
zderzeń/rozpad / 10
21
zderzeń/s ~ 10
17
sek
j
e
j
a
59
λ =
λ
o
T
α
?
dominujące
λ
o
–iloczyn
(1)
prawdopodobieństwa utworzenia cząstki
α we
wnętrzu jądra
(2) prawdopodobieństwa napotkania przez tę cząstkę
brzegu potencjału
Przyczynek (1) zależy od konfiguracji nukleonów w jądrze
i może być oszacowany za pomocą rachunków modelowych.
Przyczynek (2) określony głównie przez energię kinetyczną
cząstki i przez promień jądra.
60
Znając
z odpowiednią dokładnością postać potencjału
jądrowego (z obserwacji rozproszeń)
oraz wartość T
α
(wynikającą z rachunków)
można wyznaczyć wartość
λ
o
na podstawie pomiaru
czasu połowicznego zaniku
i
porównać ją z przewidywaniami poszczególnych
modeli jądrowych.
λ =
λ
o
T
α
61
Oddziaływanie cząstek
α z materią
• przechodząc przez środowisko oddziałują poprzez
pole elektrostatyczne z elektronami atomów -
wyrywają je z powłok jonizując atomy
• oddziałują więc nieelastycznie z elektronami
atomów tracąc stopniowo swoją energię
ośrodek
det
I
o
I
x
I/I
o
x
1
1/2
<R>
R
max
x
o
e
I
I
μ
−
=
62
Jeśli przez -dE/dx oznaczę stratę energii na
jednostkę drogi, to z teorii mamy związek
gdzie:
v - prędkość cząstki
Z
1
- liczba atomowa cząstki
n - liczba atomów absorbenta w jednostce objętości
Z
2
- liczba atomowa tarczy
I - średni potencjał jonizacji absorbenta
I
v
m
nZ
v
m
Z
e
dx
dE
e
e
2
2
2
2
4
2
ln
4
1
π
=
−
( )
eV
Z
Z
I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
3
/
2
9
.
1
1
1
.
9
63
Przykładowe wartości I
powietrze - 80.5 eV
wodór - 15.6
aluminium - 150
ołów - 705
po przecałkowaniu otrzymamy
R=mZ
-2
F(v
o
)
I
v
m
nZ
v
m
Z
e
dx
dE
e
e
2
2
2
2
4
2
ln
4
1
π
=
−
m - masa cząstki
Z - liczba atomowa cząstki
F(v
o
) - dla danego absorbenta funkcja zależna tylko
od prędkości cząstki
zasięg R
64
dla E
α
- 8 MeV
R (cm)
powietrze 7.8
aluminium
0.0041
miedź
0.0018
złoto
0.0014
65
Rozpad
β
β
-
: n
→ p + e
-
+
ν
e
β
+
: p
→ n + e
+
+
ν
e
WE
: p + e
-
→ n + ν
e
~
może zachodzić dla n
swobodnego
z t
1/2
10.6 min
• rozpad
β zachodzi między izobarami – zmienia się
tylko stan ładunkowy jądra
• zachodzi tylko wówczas, gdy istnieje sąsiednie jądro
o mniejszej masie
66
Zależność masy w ciągu izobarów
A-nieparzyste
Istnieje tylko jeden izobar o minimalnej
wartości masy – to izobar stabilny
67
Zależność masy w ciągu izobarów
A-parzyste
Istnieje tylko więcej niż jeden izobar o
minimalnej wartości masy – to izobary
stabilny
68
Szukanie minimum
dla dowolnego jądra
o liczbach z i A
to
(
)
0
,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=const
A
Z
A
Z
m
(
)
0
2
/
2
2
1
0
3
/
1
0
=
−
+
+
−
−
−
A
A
Z
a
A
a
Z
m
m
A
C
n
p
3
/
2
3
/
1
0
015
.
0
98
.
1
2
A
A
a
A
a
a
m
m
A
Z
A
C
A
n
p
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
−
69
Stosunki energetyczne w rozpadzie
β
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
~
1
ν
β
+
+
⎯→
⎯
−
+
−
M(Z,A)=M(Z+1,A)+Q
Q=T
Y
+T
β
+T
ν
= M
X
- M
Y
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
ν
β
+
+
⎯→
⎯
+
−
+
1
M(Z,A)=M(Z-1,A)+2m
e
+Q
Q=T
Y
+T
β
+T
ν
= M
X
– M
Y
–2m
e
e
A
Z
WE
A
Z
Y
e
X
ν
+
⎯→
⎯
+
−
−
1
M(Z,A)=M(Z-1,A)+Q
Q=T
Y
+ T
ν
= M
X
- M
Y
Warunek zajścia rozpadu – Q>0
70
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
~
1
ν
β
+
+
⎯→
⎯
−
+
−
Q>0
→ M
X
> M
Y
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
ν
β
+
+
⎯→
⎯
+
−
+
1
Q>0
→ M
X
> M
Y
+ 2m
e
dla 0<_[M(Z,A)-M(Z-1,A)]<_2m
e
• możliwy tylko WE
dla [M(Z,A)-M(Z-1,A)]>_2m
e
• możliwy WE
• możliwy
β
+
71
Informacje modelu kroplowego
o rozpadzie
β
dla izobarów (A=const) zachodzi
M(Z,A)=C
o
+ C
1
Z + C
2
Z
2
72
• stabilny izobar leżący
najniżej tej paraboli
dla A nieparzystych
dla A parzystego
• mamy jądra parzysto-parzyste (niżej)
i nieparzysto-nieparzyste (wyżej)
• między izobarami na tej samej
paraboli nie może być przejść, gdyż
ich Z różni się o 2
73
0
)
,
(
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=const
A
Z
A
Z
m
3
/
2
3
/
2
0
1
3
/
1
0
015
.
0
98
.
1
2
0
2
2
2
A
A
a
A
a
a
m
m
A
Z
A
A
Z
a
A
a
Z
m
m
A
c
A
H
n
o
A
c
n
H
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
−
−
74
Neutrino
• ciągłe widmo rozpadu
β
• energia emitowanych cząstek zawarta w
przedziale 0 - E
max
• rozpad nie spełniał
prawa zachowania energii
• rozpad zachodzi między izobarami (A=const)
więc spiny jąder winny zmieniać się o liczbę
całkowitą, a elektron ma spin ½
• rozpad nie spełniał
prawa zachowania spinu
75
Pauli –
niezachwiane przekonanie
o słuszności praw zachowania
•
propozycja istnienia nowej cząstki
•
przejmuje część energii rozpadu
•
ma spin połówkowy
•
nie ma ładunku
•
słabo oddziałuje z materią
•
posiada swoją antycząstkę
76
Doświadczalne potwierdzenie istnienia neutrina
(pośrednie – przez pomiar jądra odrzutu)
37
Ar + e
-
→
37
Cl +
ν
e
+ 0.8 MeV
to wynik
różnicy mas
jądro winno doznać odrzutu
by były spełnione zasady
zachowania energii i pędu
• Ar w postaci gazowej w miejscu zakreskowanym
• elektrony Augera rejestrowane w detektorze 1
• atomy Cl, które doznały odrzutu poruszają się w kierunku
detektora 3 – przebiegają odcinek 6 cm i są następnie
przyspieszane przez siatkę 2
• wielkością mierzoną jest opóźnienie czasowe między sygnałem
detektora 1 i 3
77
wynik doświadczenia
+
linia przerywana – to
krzywa teoretyczna w
przypadku energii
odrzutu atomów Cl
równej 9.6 eV jaka
wynika z wartości pędu
neutrina
odpowiadającego
różnicy mas
37
Ar i
37
Cl
78
Doświadczalne potwierdzenie istnienia neutrina
(bezpośrednie – doświadczenie Cowansa i Reinesa)
tu wykorzystano silny
strumień neutrin z
reaktora jądrowego
Proces
ν+ p → e
+
+ n
obserwowano w
scyntylatorze zawierającym
H z domieszką Cd
W celu jednoznacznej
identyfikacji należy
zarejestrować:
• impulsy od kwantów anihilacji
• promieniowanie wysyłane
przez Cd
79
Znając strumień antyneutrin oraz wydajność scyntylatora
można wyznaczyć przekrój czynny reakcji
dla antyneutrin emitowanych podczas rozszczepienia jąder
otrzymuje się wartość
7*10
-43
cm
2
= 7*10
-19
barna
80
Teoria rozpadu
β
(
Enrico Fermi
)
• rozpad
β to wynik oddziaływania między obiektami
fizycznymi całkowicie nieznanego fizyce klasycznej
• nowe oddziaływanie występuje obok grawitacyjnego,
elektromagnetycznego i silnego
• ponieważ procesy rozpadu
β mają znacznie mniejsze
prawdopodobieństwo przejścia niż procesy rządzone
przez siły jądrowe czy elektromagnetyczne,
mówimy w tym przypadku o
oddziaływaniach słabych
81
Teoria rozpadu
β
(
Enrico Fermi
)
• musi dobrze opisywać przebieg widma emitowanych
elektronów –
mierzonego np. przy pomocy spektrometru magnetycznego lub detektora
półprzewodnikowego
Stwierdza się
wyraźną różnicę
kształtu widma
82
Prawdopodobieństwo emisji elektronu z pędem p, p+dp
( )
o
dE
dn
i
H
f
dp
p
N
2
2
η
π
=
i
H
f
- operator przejścia między stanami i i f
fi
i
f
H
d
H
i
H
f
≡
Ψ
Ψ
=
∫
τ
*
- z góry nieznany, gdyż zawiera operator Hamiltona
opisujący oddziaływania słabe
o
dE
dn
- gęstość możliwych stanów końcowych
83
eksperymenty pokazują, że kształt widma jest głównie
określony przez czynnik dn/dE, natomiast element
macierzowy zależy co najwyżej bardzo słabo (lub w
ogóle nie zależy) od energii.
Jak długo
jest stały – tak długo kształt
jest określony przez czynnik statystyczny.
( )
o
dE
dn
i
H
f
dp
p
N
2
2
η
π
=
fi
i
f
H
d
H
i
H
f
≡
Ψ
Ψ
=
∫
τ
*
84
eksperymenty pokazują, że kształt widma jest głównie
określony przez czynnik dn/dE, natomiast element
macierzowy zależy co najwyżej bardzo słabo (lub w
ogóle nie zależy) od energii.
Jak długo
jest stały – tak długo kształt
jest określony przez czynnik statystyczny.
( )
o
dE
dn
i
H
f
dp
p
N
2
2
η
π
=
fi
i
f
H
d
H
i
H
f
≡
Ψ
Ψ
=
∫
τ
*
85
zakładając, że wszystkie rozkłady energii między
elektronem i neutrino są równie prawdopodobne
otrzymuje się widmo pędów cząstek
β
( )
(
) (
)
e
e
o
fi
e
e
dE
Z
E
F
E
E
p
H
c
dE
E
N
,
2
1
2
2
2
5
7
3
−
=
η
π
E
o
=E
e
+E
ν
- maksymalna energia w widmie
F(E,Z) – czynnik uwzględniający oddziaływanie
kulombowskie cząstek z jądrem
Korzystając z wyprowadzonej zależności na liczbę
możliwych stanów w określonej objętości przestrzeni
fazowej i ...
86
( )
(
)
(
)
e
o
if
e
e
E
E
c
H
p
Z
E
F
E
N
−
=
5
7
3
2
2
2
,
η
π
Istnieje pewna grupa rozpadów
β, dla
których lewa strona jest linią prostą
na wykresie
Curie
(lub Fermiego)
( )
(
)
2
,
p
Z
E
F
E
N
e
e
e
E
Szczególnie prosto jest z
takiego wykresu odczytać
maksymalną energię E
o
elektronów lub pozytonów
87
Oddziaływanie cząstek
β z materią
• przechodząc przez środowisko oddziałują poprzez
pole elektrostatyczne z elektronami atomów -
wyrywają je z powłok jonizując atomy
• oddziałują więc nieelastycznie z elektronami
atomów tracąc stopniowo swoją energię
• elastyczne zderzenia z jądrami lub elektronami
• nieelastyczne zderzenia, w których elektron traci część
swojej energii na promieniowanie elektromagnetyczne,
tzw.
promieniowanie hamowania
88
Wprowadzamy przekroje czynne na poszczególne
procesy
I
E
Z
b
cm
c
m
e
lecz
I
E
Z
c
m
e
jonizacja
e
e
jonizacja
2
ln
2
1
10
4
,
2
ln
8
4
2
2
24
2
2
2
4
2
2
2
2
β
σ
π
β
π
σ
=
=
≈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
Z – liczba atomowa absorbenta
I – średni potencjał jonizacji
[b/atom]
89
o
elektr
elast
o
jadr
elast
dla
Z
dla
Z
45
,
2
90
,
4
1
4
2
4
2
>
≅
>
≅
−
−
ϑ
β
σ
ϑ
β
σ
[b/atom]
4
2
137
1
3
8
β
π
σ
Z
hamow
nieelast
≅
−
[b/atom]
dla elektronów o energii 0.1 MeV
σ
j
σ
e-j
σ
e-e
σ
n
powietrze
1700 150
230
1.3
Pb
13700 20000 2600 170
90
Absorpcja elektronów
dE/dx – zależy od energii elektronów i rodzaju absorbenta
• dla wysokich energii
3
/
1
2
/
137
Z
c
m
E
e
>>
E
L
dx
dE
1
−
=
( )
radiacyjna
dlugosc
L
e
E
x
E
L
x
o
−
=
−
,
/
• elektrony wysokich energii wytwarzają w materii
pęki promieniowania hamowania, z których
powstają pary e
+
e
-
91
I/I
o
x
1
1/2
<R>
R
max
Dla monoenergetycznych elektronów otrzymamy
mamy empiryczne wzory określające zależności
zasięg-energia, np.
MeV
E
MeV
dla
E
R
MeV
E
dla
E
R
E
20
3
,
106
.
0
53
.
0
3
,
412
.
0
ln
0954
.
0
256
.
1
≤
≤
−
=
≤
=
−
dl
a
A
l
I(x)=I
o
e
-
μx
μ - współczynnik
absorpcji
92
Przemiana
γ
- to przejście ze stanu wzbudzonego
do podstawowego
Q
γ
=E
i
- E
f
= h
ν
60
27
Co
β
-
γ - 1.17 MeV
γ - 1.33 MeV
60
28
Ni
T=5.3 lat
203
80
Hg
β
-
γ - 0.28 MeV
203
81
Tl
T=47 dni
2
2
2
2
2
2
0
,
c
M
E
c
M
E
T
p
p
T
E
E
j
j
j
j
j
≈
=
+
=
+
=
γ
γ
γ
93
Oddziaływanie promieniowania
γ z materią
podstawowe procesy
• zjawisko fotoelektryczne
• zjawisko Comptona
• zjawisko tworzenia par
I(x)=I
o
e
-
μx
94
Zjawisko fotoelektryczne
związany elektron
( )
ω
ω
ω
σ
η
η
η
wzrostem
ze
maleje
k
wzrostem
ze
rosnie
h
Z
c
k
h
f
,
0
.
1
5
.
3
~
,
6
.
4
0
.
4
~
−
−
=
E
e
=h
ν - E
b
wzór definiuje również
dolną energię kwantu
95
Zjawisko Comptona
elektron swobodny
h
ν
θ
ϕ
ω
θ
ϕ
ω
ω
ω
ω
sin
sin
0
cos
cos
'
'
'
p
c
p
c
c
E
−
=
+
=
+
=
η
η
η
η
η
(
)
[
]
(
)
(
)
ϕ
α
ϕ
α
ω
ω
α
ϕ
α
ω
ω
cos
1
1
cos
1
,
cos
1
1
/
2
'
−
+
−
=
=
−
+
=
η
η
η
η
E
c
m
e
θ
ϕ
E
e
h
ν’
96
krawędź Comptonowska
elektron swobodny
ϕ=180
ο
h
ν
h
ν’
θ=0
ο
E
97
Zjawisko
tworzenia par
e-
e+
e-
e-
pn
p
n n
n
p
p
p
n n
ν
h
ν>2m
e
c
2
tworzenie pary
•
zachodzi w obecności jądra, gdy h
ν>2m
e
c
2
• zachodzi w obecności elektronu, gdy h
ν>4m
e
c
2
2
2 c
m
E
e
e
−
=
ω
η
( )
ω
σ
η
f
Z
p
1720
2
≅
27
2
183
ln
9
28
3
/
1
−
=
Z
f
•
dla dużych energii
98
Całkowity współczynnik absorpcji promieniowania
γ
(
)
p
c
f
p
c
f
t
Z
μ
μ
μ
μ
σ
σ
σ
σ
+
+
=
+
+
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Fizyka jadrowa
Raport 398, Fizyka jądrowa, Dozymetria
CZARNOBYL W STRONĘ POLSKI, Fizyka, Fizyka jądrowa
Fizyka Jądrow1
24 fizyka jadrowa
23 fizyka jadrowa id 30068 Nieznany
Fizyka jadrowa 12
Fizyka jądrowa arkusz poziom podstawowy
Fizyka jadrowa 11
38 fizyka jądrowa
Fizyka jądrowa
WYKLAD z fizyki atomowej i mol w3-4 2008, Fizyka, 13.Fizyka jądrowa, mat ch1
Fizyka jądrowa wzory
FIZYKA JĄDROWA
fizyka jądrowa
fizyka jądrowa, Szkoła
więcej podobnych podstron