3. DIELEKTRYKI

3.1. Wprowadzenie

Zgodnie z podziałem ciał stałych, według kryteriów teorii pasmowej, do die-
lektryków zaliczamy te ciała, których szerokość pasma zabronionego jest więk-
sza od 5 eV. Tak szerokie pasmo zabronione powoduje, że w idealnym dielek-
tryku (pozbawionym defektów i zanieczyszczeń) nie powinny występować swo-
bodne ładunki elektryczne. W dielektryku rzeczywistym z powodu defektów
(Schottky`ego i Frenkla), a także zjonizowanych atomów zanieczyszczeń ładun-
ki takie występują, jednakże ich koncentracja w warunkach normalnych jest na
tyle mała, że nie mają one decydującego wpływu na własności elektryczne die-
lektryka. Tak więc, o własnościach elektrycznych dielektryka decydują ładunki
związane, np. dodatnie i ujemne jony w kryształach jonowych, a także stałe di-
pole elektryczne, które występują w dielektrykach o asymetrycznej budowie
molekuł, np. HCl, NH

3

, H

2

O. Jeśli dielektryk umieścimy w polu elektrycznym o

natężeniu E, to pole będzie oddziaływać na ładunek związany z siłą F = qE, a na
dipol elektryczny o momencie dipolowym p momentem siły M = p

× E. Taki

mechanizm oddziaływania pola nazywamy polaryzacją dielektryka. Prowadzi on
do tego, że na powierzchniach dielektryka prostopadłych do linii zewnętrznego
pola elektrycznego pojawiają się ładunki przeciwnego znaku. Występuje to w
każdej dowolnej hipotetycznie wybranej objętości dielektryka. Objętość taka
charakteryzuje się zatem momentem dipolowym. W dielektryku jednorodnym
pole wewnętrzne pochodzące od wyindukowanych ładunków powierzchniowych
jest skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego, a jego wartość decyduje o para-
metrach materiałowych dielektryka – przenikalności i podatności elektrycznej.

3.2. Przenikalność elektryczna

ε

i podatność elektryczna

χ dielektryka

Rozpatrzmy

układ dwóch elektrod płasko równoległych podłączony do zaci-

sków źródła napięcia stałego U. Jeśli układ elektrod umieścimy w próżni lub w
niezjonizowanym powietrzu (rys. 3.1a), to na elektrodach zgromadzi się ładunek

q

o

. Pojemność elektryczna takiego układu jest wówczas równa C

o

=

U

q

o

. Pojem-

59

ność C

o

układu można nazwać „pojemnością geometryczną”. Jeśli zaś przestrzeń

pomiędzy elektrodami wypełniona zostanie dielektrykiem (rys. 3.1b), to w wy-
niku jego polaryzacji w polu elektrycznym, istniejącym pomiędzy elektrodami,
na jego powierzchniach w obszarze styku elektroda-dielektryk pojawią się ła-
dunki. Muszą one zostać skompensowane dodatkowym ładunkiem na elektro-
dach. Wówczas ładunek na elektrodach będzie równy q = q

o

+

Δq, a pojemność

układu C =

U

q

lub inaczej C =

U

q

q

o

Δ

+

.

+
+
+
+

-
-
-
-

+q

o

-q

o

E

o

U

-
-
-
-

+
+
+
+

+
+
+
+

-
-
-
-

U

+q

-q

Rys. 3.1. Układ elektrod płasko równoległych: a) przedzielonych próżnią,

b) przedzielonych dielektrykiem

Z

powyższego założenia wynika, że ładunek q na elektrodach w układzie z

dielektrykiem jest większy od ładunku q

o

na elektrodach w układzie próżnio-

wym (lub w powietrzu), wobec tego C > C

o

, zaś iloraz

C

C

o

= ε

(3.1)

nazywa się przenikalnością elektryczną dielektryka. Wyznaczona eksperymentalnie
przenikalność elektryczna próżni jest równa

12

o

10

854

.

8

−

⋅

=

ε

F

m

. Zależność po-

między pojemnościami układów można wyrazić zależnością C - C

o

=

ΔC, a iloraz

ΔC

C

o

= χ

(3.2)

nazywany jest podatnością elektryczną dielektryka. Pomiędzy przenikalnością i
podatnością występuje związek

ε

χ

=

=

+

= +

C

C

C

C

C

o

o

o

Δ

1

.

(3.3)

60

3.2.1. Indukcja elektryczna

Rozpatrzmy bilans ładunku na elektrodach układu z dielektrykiem (rys 3.1b)

q = q

o

+

Δq, `

(3.4)

gdzie

Δq = U (C-C

o

) = U

ΔC. Po pomnożeniu prawej strony przez

o

o

C

C

i wsta-

wieniu tej zależności do (3.4), otrzymuje się

q = q

o

+U C

o

o

C

C

Δ

= q

o

+ q

o

χ.

(3.5)

Przy

założeniu, że rozkład ładunku na elektrodach jest równomierny, co jest

słuszne w przypadku pominięcia zjawisk krawędziowych na elektrodach, bilans
(3.5) sumarycznych ładunków można zastąpić bilansem gęstości ładunków

σ = σ

o

+

χ σ

o.

(3.6)

Bilans ten prowadzi do sformułowania jednej z podstawowych zależności wią-
żących ze sobą podstawowe parametry makroskopowe dielektryka, bowiem:
-

σ

o

=

ε

o

⎪E

n

⎪ , gdzie E

n

jest wektorem normalnym natężenia pola,

-

σ = (1+ χ) σ

o

=

⎪D

n

⎪ jest modułem wektora normalnego indukcji pola,

-

χσ

o

=

⎪P

n

⎪ jest modułem wektora polaryzacji dielektryka.

Po wstawieniu ostatnich zależności do wyrażenia (3.6), otrzymuje się znaną
zależność

⎪D

n

⎪ = ε

o

⎪E

n

⎪+ ⎪P

n

⎪.

(3.7)

Jeżeli linie pola są prostopadłe do powierzchni odniesienia, to wzór (3.7) przyj-
muje postać

D =

ε E + P.

(3.8)

Wektor polaryzacji P jest efektem zjawisk polaryzacyjnych w dielektryku i sta-
nowi on sumę momentów dipolowych przypadających na jednostkę objętości
dielektryka

P =

.

(3.9)

p

i

i

n

∑

61

3.3. Mechanizmy polaryzacji dielektryków

Z punktu widzenia stanów elektrycznych, dielektryki można podzielić na
trzy grupy:

• dielektryki niepolarne - są to dielektryki, w których nie występują stałe dipo-

le elektryczne, co wynika stąd, że cząsteczki dielektryka charakteryzują się
budową symetryczną,

• dielektryki polarne - są to dielektryki o asymetrycznej budowie cząsteczek, a

w związku z tym występują w nich trwałe dipole.

• ferrodielektryki (segnetodielektryki) - są to dielektryki, w których w pew-

nym przedziale temperatury następuje polaryzacja spontaniczna.

Obecnie omówione zostaną podstawowe mechanizmy polaryzacyjne wystę-

pujące w dielektrykach.

3.3.1. Polaryzacja elektronowa

Polaryzacja elektronowa zalicza się do polaryzacji szybkich, bowiem jej sta-

ła czasowa jest rzędu 10

-15

s. Ten rodzaj polaryzacji występuje we wszystkich

rodzajach dielektryków i jest związany z deformacją chmury elektronowej ato-
mu w zewnętrznym polu elektrycznym. Oddziaływanie pola elektrycznego na
chmurę elektronową atomu i na jego jądro skutkuje przesunięciem środka „cięż-
kości” chmury elektronowej w stosunku do jądra. Jądro, ze względu na dużo
większą masę od masy elektronów, można uważać jako nieruchome. W ten spo-
sób wyindukowany zostanie dipol, którego moment równy jest

p = q

⋅d.

(3.10)

Wartość d przesunięcia środka ciężkości chmury elektronowej można wyzna-
czyć z warunku równości dwóch sił: siły F

E

= q

⋅E oddziaływania pola elektrycz-

nego na równoważny ładunek q elektronów oraz siły antyrównoległej

= F

`

c

F

C

sin

α, która jest składową siły kulombowskiej F

c

, występującej pomiędzy ładun-

kami jądra i elektronów. Ten warunek równowagi można zapisać

E

'

C

F

F

=

lub inaczej

q

⋅E =

q

R

o

2

2

4

πε

α

⋅ sin

=

q

R

o

2

2

4

πε

d

r

d

2

+

2

.

(3.11)

62

+q

-q

α

d

r

F

C

R

F

E

= q E

F

’

C

= F

C

sin

α

E

Rys. 3.2. Schemat polaryzacji elektronowej pojedynczego atomu

Na podstawie pominiętych tu obliczeń można dowieść, że natężenie pola

elektrycznego wytworzonego przez ładunek jądra w odległości R jest rzędu 10

11

V/m, a natężenie pola zewnętrznego polaryzacji jest dużo mniejsze i zawiera się
w granicach 10

4

...10

5

V/m. Można więc przyjąć, że d << r, a wobec tego wzór

(3.11) przyjmuje postać

3

o

2

r

4

d

q

E

q

πε

=

⋅

,

(3.12)

z którego można wyznaczyć wartość przesunięcia d

d

r

E
q

o

= 4

3

πε

(3.13)

oraz wyindukowany moment dipolowy

p

e

= q

⋅E =

E =

α

3

o

r

4

πε

e

⋅E,

(3.14)

gdzie

nosi nazwę polaryzowalności elektronowej.

e

3

o

r

4

α

=

πε

Wektor polaryzacji elektronowej dielektryka uzyskuje się przez pomnożenie

momentu dipolowego pojedynczego dipola przez koncentrację dipoli

P

e

= n

⋅p

e

= n

⋅α

e

⋅E = n⋅α

e

o

o

ε

ε

E =

o

o

o

n

ε

ε

α

E =

χ ε

e

o

⋅

E

(3.15)

gdzie

e

o

e

n

χ

=

ε

α

stanowi

podatność elektronową

dielektryka na polaryzację.

63

3.3.2. Polaryzacja jonowa

Zjawisko polaryzacji jonowej występuje w kryształach jonowych. Polega

ono na oddziaływaniu zewnętrznego pola elektrycznego na różnoimienne jony
sieci krystalicznej.

E

x

x

+Δx

Rys. 3.3. Przesunięcie jonów w sieci w polu elektrycznym

Istotę zjawiska rozpatrzymy na najprostszym modelu jednowymiarowym

sieci krystalicznej (rys. 3.3). Wypadkowa wartość przesunięcia jonów jest równa
Δx = Δx

1

+

Δx

2.

Jest ona rezultatem równowagi dwóch sił

F

E

= F

β

.

(3.16)

Siła F

E

zależy od natężenia pola elektrycznego E oraz od wartości ładunku elek-

trycznego q (F

E

= q

⋅E), zaś siła sprężystości F

β

-od wartości przesunięcia

Δx oraz od

współczynnika

β -współczynnika sił sprężystych (F

β

=

Δx⋅β). Można więc zapisać,

że:

Δx⋅β = q⋅E, stąd moment dipolowy polaryzacji jonowej jest równy

p

j

= q

⋅Δx =

q

E

2

β

=

α

j

⋅E,

(3.17)

w którym

α

β

j

q

=

2

stanowi

polaryzowalność jonową

.

Współczynnik

β jest

parametrem charakterystycznym każdego kryształu i jest wyznaczany ekspery-
mentalnie. Polaryzacja jonowa zaliczana jest również do polaryzacji szybkich,
jej stała czasowa jest rzędu 10

-13

s.

3.3.3. Polaryzacja orientacyjna (dipolowa)

Ten typ polaryzacji występuje w dielektrykach o asymetrycznej budowie

cząsteczek (np. znacznej części żywic syntetycznych otrzymywanych technolo-

64

gią polikondensacji i poliaddycji). Asymetryczna cząsteczka dielektryka przed-
stawia sobą stały dipol elektryczny, który pod wpływem zewnętrznego pola
elektrycznego podlega orientacji w kierunku pola.

Rozpatrzmy dipol o momencie p

o

znajdującym się pod kątem

θ w stosunku

do kierunku pola E (rys. 3.4). Każdy dipol o momencie p

o

uzyskuje w polu elek-

trycznym energię potencjalną

U = -p

o

⋅E = -p

o

E cos

θ.

Przy możliwościach zmiany kąta

− ≤ ≤

π θ π

, energia dipola zmienia się w

granicach od U

max

= p

o

E, do U

min

= -p

o

E. Na przykład dla typowych wartości: p

o

=

5

⋅10

-30

Cm, oraz E = 10

6

V/m, dipol uzyskuje energię minimalną U

min

= -5

⋅10

-24

J.

Jest to więc energia niewielka, zważywszy, że dezorganizująca porządek energia
drgań cieplnych cząsteczek w temperaturze T = 300

o

K osiąga wartość rzędu

kT 10

≈

-21

J i jest o trzy rzędy wielkości większa. Wynika z tego, że nie należy

spodziewać się znaczącego uporządkowania dipoli w temperaturze pokojowej.

θ

+q

-q

E

p

o

p

o

cos

θ

Rys. 3.4. Przykład położenia statystycznej cząsteczki

o momencie dipolowym p

o

Rozkład położenia cząsteczek (dipoli) podlega prawu Boltzmanna. Tak

więc, liczba dipoli dN w dowolnym kącie bryłowym d

Ω jest równa

dN = A exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

kT

U

d

Ω

,

(3.18)

gdzie A jest pewną stałą.
Po podstawieniu wartości U do (3.18), otrzymujemy

dN = A exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

kT

θ

cos

E

p

0

d

Ω.

(3.19)

Dla kuli o promieniu

p

o

, kąt bryłowy d

Ω (rys. 3.5) opisany jest zależnością:

d

Ω=2π sinθ dθ .

(3.20)

65

p

o

d

θ

θ

d

Ω

E

Rys. 3.5. Konstrukcja kąta bryłowego

Wstawiając (3.20) do (3.19), otrzymujemy:

dN = A exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

kT

θ

cos

E

p

0

⋅2π⋅sinθ⋅θ.

(3.21)

Ponieważ dipol

p

o

tworzy z kierunkiem pola

E kąt

θ, to jego rzut na ten kierunek

jest równy

p

E

= p

o

cos

θ ,

(3.22)

zaś suma rzutów w kącie bryłowym d

Ω

dP

E

= p

o

cos

θ⋅dN,

(3.23)

a w pełnym kącie bryłowym

P

E

=

∫

.

(3.24)

π

⋅

θ

⋅

0

0

dN

cos

p

Po wstawieniu (3.21) do (3.24), otrzymujemy

P

E

=

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

π

0

0

0

θ

d

kT

θ

cos

E

p

exp

θ

sin

θ

cos

p

π

A

2

.

(3.25)

Stałą A można wyliczyć na podstawie oczywistej zależności, że

, a po

podstawieniu zależności (3.21), otrzymujemy

N

d

=

∫

0

π

N

66

N = A

∫

π

0

exp

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

kT

θ

cos

E

p

0

⋅2π⋅sinθ⋅dθ, (3.26)

a stąd

A =

∫

π

θ

θ

π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

θ

0

0

d

sin

2

kT

cos

E

p

exp

N

(3.27)

Ostatecznie, po wstawieniu (3.27) do (3.25) otrzymujemy końcową postać wy-
rażenia na obliczenie sumy składowych, rzutowanych na kierunek pola, momen-
tów dipolowych

∫

∫

π

π

θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

θ

⋅

θ

⋅

π

θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

θ

⋅

θ

⋅

θ

π

=

0

0

0

0

0

E

d

kT

cos

E

p

exp

sin

2

d

kT

cos

E

p

exp

cos

sin

p

2

N

P

.

(3.28)

Rozwiązanie powyższych całek staje się stosunkowo łatwe po wprowadzeniu
nowych zmiennych:

kT

Ecos

p

z

0

θ

=

oraz

kT

E

p

a

0

=

.

(3.29)

Pomijając samo rozwiązanie całek z zależności (3.28), po ostatecznym uporząd-
kowaniu, otrzymujemy wynik w postaci wyrażenia

P

E

= Np

o

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

a

1

a

ctgh

,

(3.30)

w którym ctgh

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

a

1

a

= L(a) nazywa się funkcją Langevina. Graficzny obraz tej

funkcji przedstawia rys.3.6. Dla małych wartości parametru a (a

≤ 1) funkcja

L(a) jest w przybliżeniu liniowa. Wartości rzeczywiste parametru a są bardzo
małe, np. przyjmując realne wartości: silne pole elektryczne E=10

6

V/m, moment

dipolowy p

o

= 10

-30

Cm, w temperaturze T = 300

0

K, po podstawieniu do wzoru a

=

kT

E

p

0

, otrzymujemy wartość parametru a

≈ 0.25⋅10

-3

. Ponieważ a

∼ E, to stąd

wynika, że w przedziale realnych wartości pól stosowanych w elektrotechnice,

67

zależność stopnia uporządkowania dipoli od natężenia pola elektrycznego ma
charakter liniowy.

L(a)

1

a

pE
kT

=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rys. 3.6. Przebieg funkcji Langevina

W celu wyznaczenia polaryzowalności orientacyjnej, funkcję ctgh a rozwi-

niemy w szereg: ctgh a =

1

3 45

2

945

3

5

a

a

a

a

+ −

+

−...

Ponieważ a<<1, wobec tego

szereg możemy ograniczyć do dwóch wyrazów: a

≈

1

3

a

a

+

. Po wstawieniu do

(3.30), otrzymujemy

P

E

= Np

o

a
3

=

E

kT

3

Np

2
0

,

(3.31)

gdzie

o

2
0

kT

3

Np

α

=

stanowi

polaryzowalność orientacyjną

(dipolową).

Na zakończenie omówienia skrótowego mechanizmów polaryzacji dielek-

tryków należy podkreślić, że jeśli w rozpatrywanym dielektryku występują
wszystkie rodzaje polaryzacji, to wypadkowa polaryzowalność dielektryka jest
wówczas równa sumie poszczególnych polaryzowalności

α = α

e

+

α

j

+

α

o.

(3.32)

Przy omawianiu mechanizmów polaryzacji przyjęliśmy milcząco założenie,

że na atomy (molekuły) działa tylko pole zewnętrzne. Jest to słuszne założenie
wyłącznie w odniesieniu do gazów. W przypadku cieczy, a w szczególności w
przypadku ciał stałych oprócz pola zewnętrznego występuje pole wewnętrzne,
do obliczenia którego stosuje się zwykle tzw.

model Lorentza.

68

3.4. Dielektryk w przemiennym polu elektrycznym

Analiza mechanizmów polaryzacji dielektryka w stałym polu elektrycznym

jest możliwa przy użyciu stosunkowo prostego aparatu matematycznego. Umoż-
liwia ona poznanie istoty podstawowych mechanizmów polaryzacji oraz wyzna-
czenie wybranych parametrów makroskopowych, znajomość których jest nie-
zbędna w zastosowaniach praktycznych (np. przenikalność, podatność elek-
tryczna, polaryzowalność). Występujące w urządzeniach elektrycznych i elek-
tronicznych dielektryki częściej jednakże znajdują się pod wpływem oddziały-
wania pola elektrycznego przemiennego o różnej częstotliwości. Ten fakt w
sposób istotny komplikuje modelowanie zjawisk. Efekt makroskopowy zjawisk
polaryzacyjnych w dielektryku w przemiennych polach elektrycznych w znacz-
nym stopniu zależy od relacji pomiędzy stałą czasową mechanizmu polaryzacji i
częstotliwością pola elektrycznego. Z tego względu wygodniej jest przeprowa-
dzić rozdzielnie analizę zjawisk w dielektrykach, w których występują tylko
polaryzacje szybkie (elektronowa i jonowa), a następnie w dielektryku, w któ-
rym występują wszystkie trzy rodzaje polaryzacji. Pierwszy z tych dielektryków
określany jest mianem dielektryka niepolarnego, a drugi - polarnego.

3.4.1. Dielektryki niepolarne

3.4.1.1. Dielektryk niepolarny o budowie idealnej (kryształ idealny)

Rozważmy przypadek kondensatora próżniowego (rys. 3.12a) zasilanego
napięciem przemiennym o pulsacji

ω. Napięcie wyrazimy zależnością

U=

. Pojemność kondensatora, zgodnie z definicją, jest równa C

U e

o

j t

ω

o

U

q

o

=

, a

ładunek zgromadzony na elektrodzie kondensatora jest równy q

o

= C

o

⋅U. Prąd

płynący w obwodzie kondensatora można wyznaczyć z definicji, a mianowicie

I

o

=

dq

dt

o

. Po wstawieniu wartości q

o

, otrzymujemy

I

o

=

C

d U e

dt

j C U e

o

o

j t

o

o

j t

(

)

ω

ω

ω

=

.

Ponieważ

j e

j

=

π
2

, to

I

o

=

ωC

o

U

o

e

e

j

j t

π

ω

2

⋅

, to ostatecznie otrzymujemy

69

I

o

=

ωC

o

U

o

)

2

t

(

j

e

π

ω +

.

(3.41)

Jeśli następnie pomiędzy elektrodami (w przemiennym polu elektrycznym)

umieścimy dielektryk (rys. 3.12b), jego polaryzacja spowoduje wzrost ładunku
na elektrodach o wartość

Δq = q - q

o

. W związku z tym w obwodzie zewnętrz-

nym kondensatora pojawi się dodatkowa składowa prądu

ΔI =

)

2

t

(

j

o

t

j

o

e

U

C

dt

)

e

U

(

d

C

dt

)

q

(

d

π

ω

ω

ω

Δ

Δ

Δ

+

=

=

.

(3.42)

U

I

o

I

o

U

a

b

Ι

−

+

Ι

−

Δ

o

U

U

ΔI

I

o

Rys. 3.12. Wykresy wskazowe I(U) dla kondensatora:

a) bez dielektryka i b) z dielektrykiem

Jak widać, składowa prądu

ΔI jest przesunięta o kąt

2

π

(podobnie jak skła-

dowa I

o

) w stosunku do wektora napięcia U. Tak, więc obie składowe prądu

mają charakter bierny pojemnościowy.

3.4.1.2. Straty mocy w dielektrykach rzeczywistych

Defekty i zanieczyszczenia, występujące nawet w najczystszych dielektry-

kach rzeczywistych, powodują, że w objętości dielektryka występują niezwiąza-
ne ładunki elektryczne. Objawia się to w postaci prądu skrośnego I

s

, który poja-

wia się w obwodzie zewnętrznym dielektryka. Oznacza to, że konduktywność
dielektryka rzeczywistego nie jest równa zeru, albo inaczej, że rezystywność
takiego dielektryka ma wartość skończoną. Jeśli oznaczmy rezystancję skrośną
dielektryka przez R

s

, wówczas prąd skrośny dielektryka opisuje zależność

70

I

o

=

1

R

U e

s

o

j t

ω

(3.43)

i jest on w fazie z wektorem napięcia

U.

Zatem suma prądów w obwodzie zewnętrznym kondensatora będzie równa

I = I

o

+

ΔI + I

s

,

(3.44)

a po uwzględnieniu zależności: (3.41), (3.42) i (3.43), otrzymujemy:

I =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

Δ

s

o

R

1

C

ω

j

C

ω

j

U =

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

Δ

+

s

o

R

1

C

C

ω

j

U.

Mnożymy następnie prawą stronę ostatniego wyrażenia przez

C
C

o

o

,

co nie zmie-

nia jego wartości, ale zmienia jego postać na :

I =

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Δ

+

s

o

o

o

R

1

C

C

C

C

ω

j

U =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

s

o

R

1

ε

C

ω

j

U,

(3.45)

gdzie

C

C

C

o

o

+ Δ

=

C

C

o

=

ε

’

stanowi składową rzeczywistą zespolonej wartości

przenikalności elektrycznej dielektryka. Wynosząc w wyrażeniu (3.45) j

ωC

o

przed nawias, otrzymujemy

I = j

ωC

o

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

s

o

R

C

ω

1

j

ε

U ,

a ostatecznie

I = j

ωC

o

(

ε

’

- j

ε

’’

)

U,

(3.46)

w którym:

1

ωC R

o

s

=

ε

”

jest drugą składową (urojoną) przenikalności zespolo-

nej dielektryka. Przenikalność zespolona dielektryka niepolarnego wyraża się
więc następującą zależnością

ε = ε

’

- j

ε

”

.

(3.47)

71

U

I

ΔI

I

s

δ

I

o

Rys. 3.13.. Wykres wskazowy dla dielektryka niepolarnego

Suma wektorowa składowych prądu płynącego w obwodzie zewnętrznym

układu z dielektrykiem przedstawiana jest graficznie w postaci wykresu wska-
zowego (rys. 3.13.). Kąt

δ nazywany jest kątem stratności dielektryka, a jego

tangens współczynnikiem stratności

tg

δ =

I

I

I

o

s

Δ

+

=

`

o

``

o

C

C

ε

ω

ε

ω

U

U

=

`

``

ε

ε

,

a po wstawieniu wyznaczonych wcześniej zależności na składowe przenikalno-
ści, otrzymujemy ostateczny wzór na współczynnik strat w dielektryku niepolarnym

tg

δ =

1

1

ω

ω

C R

C

C

CR

o

s

o

s

=

.

(3.48)

Jak wynika z ostatniej zależności, współczynnik stratności dielektryka niepolar-
nego zależy od upływności dielektryka rzeczywistego.

3.4.1.3.. Schematy zastępcze dielektryka niepolarnego

Pod pojęciem schematu zastępczego dielektryka rozumie się taki układ elek-

tryczny o stałych skupionych, którego odpowiedź na wymuszenie napięciowe (w
szerokim przedziale częstotliwości) jest taka sama jak odpowiedź dielektryka
rzeczywistego. Jako odpowiedź rozumie się w tym przypadku przepływ prądu
zarówno czynnego, świadczącego o stratach w dielektryku, jak i prądu biernego
- świadczącego o pojemności układu z dielektrykiem. W przypadku dielektryka
niepolarnego schemat zastępczy będzie układem (równoległym lub szerego-
wym) dwóch elementów skupionych R i C.

72

3. 4.1.3..1. Układ równoległy

Schemat zastępczy równoległy przedstawia rys.3.14.

U

R

r

C

r

I

Rys.3. 14. Schemat zastępczy równoległy

Admitancja układu przedstawionego na rys. 3.14 jest równa

Y =

r

r

C

j

R

1

ω

+

.

(3.49)

Z drugiej strony, admitancję można obliczyć posługując się zależnością (3.46)
na prąd w obwodzie zewnętrznym układu z dielektrykiem

Y =

I

U

=

=

ε

−

ε

ω

U

U

)

j

(

C

j

,,

,

o

j C

j

o

ω

ε

ε

(

)

,

''

−

j C

C

o

o

ω ε

ω ε

,

''

)

+

=

. (3.50)

Porównując następnie między sobą składowe rzeczywiste i składowe urojone
admitancji (3.49) i (3.50), otrzymamy składowe przenikalności dielektrycznej
dla schematu zastępczego równoległego:

-składowe urojone:

ωC

r

=

ωC

o

ε

’

, a stąd

ε

,

=

C

C

r

o

,

-składowe rzeczywiste:

1

R

C

r

o

= ω ε

,,

, a stąd

ε

ω

,,

=

1

C R

o

r

.

A więc przenikalność zespolona dla schematu zastępczego równoległego

wyraża się zależnością

r

o

o

r

,,

,

R

C

1

j

C

C

j

ω

−

=

ε

−

ε

=

ε

, (3.51)

która jest taka sama jak zależność (3.47).

73

3 4.1.3.2. Schemat zastępczy szeregowy

Schemat zastępczy szeregowy przedstawia rys. 3.15.

U

R

s

C

s

I

Rys. 3.15. Schemat zastępczy szeregowy

Admitancja układu przedstawionego na rys. 3. 15 opisana jest wzorem

Y =

1

1

R

j

C

s

s

−

ω

.

Aby rozdzielić część rzeczywistą od części urojonej w tym wzorze, należy po-
mnożyć prawą jego stronę przez liczę sprzężoną, a następnie uporządkować:

Y =

1

1

R

j

C

s

s

−

ω

⋅

R

j

C

R

j

C

s

s

s

s

+

+

1

1

ω

ω

=

ω

ω

ω

ω

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

C R

C R

j

C

C R

s

s

s

s

s

s

s

+

+

+

. (3.52)

Porównując następnie, podobnie jak w przypadku układu równoległego części
urojone i rzeczywiste (3.47) i (3.52), otrzymujemy składowe przenikalności dla
schematu szeregowego:

ε

ω

,

=

⋅

+

C

C

C R

s

o

s

s

1

1

2

2

2

,

ε

ω

ω

,,

=

⋅

+

C

C

C R

C R

s

o

s

s

s

s

2

2

2

1

. (3.53)

Schemat zastępczy szeregowy jest rzadko stosowany w praktyce z uwagi na

bardziej złożony opis matematyczny. Powszechnie stosowanym w praktycznych
obliczeniach inżynierskich jest schemat równoległy.

3.4.2. Dielektryki polarne

74

Jak już podano wcześniej, dielektrykami polarnymi nazywamy dielektryki o

asymetrycznej budowie molekuł. W przypadku dielektryków stałych dotyczy to
dużej grupy dielektryków organicznych naturalnych oraz tworzyw sztucznych,
w szczególności tworzyw otrzymywanych na drodze polikondensacji i poliaddy-
cji. Asymetria budowy cząsteczki oznacza istnienie trwałego dipola elektryczne-
go, który w zewnętrznym polu elektrycznym ulega orientacji w kierunku pola
elektrycznego. W przemiennym polu elektrycznym dipol taki wykonuje drgania
rotacyjne, których amplituda zależy od relacji pomiędzy stałą czasową polaryza-
cji orientacyjnej

τ

o

oraz pulsacją

ω zewnętrznego pola elektrycznego.

3.4.2.1. Schemat zastępczy dielektryka polarnego

W dielektryku polarnym mogą występować wszystkie rodzaje polaryzacji,

przeto jego schemat zastępczy może być przedstawiony jako schemat równole-
gły dielektryka niepolarnego, poszerzony o gałąź polaryzacji orientacyjnej. Pola-
ryzacja orientacyjna jest częściowo sprężysta, co oznacza, że część energii po-
brana w procesie polaryzacji z pola elektrycznego zamienia się na ciepło, wy-
tworzone przez trące się o siebie molekuły, które jednocześnie podlegają drga-
niom termicznym. Gałąź w schemacie zastępczym, reprezentująca polaryzację
orientacyjną, składa się więc z dwóch elementów skupionych – rezystancji R

2

i

pojemności C

2

.

U

I

C

1

R

1

C

2

R

2

a

U

I

C

1

C

2

R

2

b

Rys. 3.16. Schemat zastępczy dielektryka polarnego:

a) rzeczywisty, b) idealny

Rysunek 3.16a przedstawia schemat zastępczy dielektryka rzeczywistego, w

którym: pojemność C

1

reprezentuje polaryzacje elektronową i jonową; rezystan-

cja R

1

jest ekwiwalentną opornością obrazującą przepływ prądu skrośnego,

spowodowanego istnieniem w dielektryku rzeczywistym uwolnionych ładunków
elektrycznych; C

2

i R

2

reprezentują istnienie w dielektryku jednego rodzaju di-

poli stałych o stałej czasowej

τ

2

= R

2

C

2

.

75

W dielektrykach o złożonej budowie może występować więcej niż jeden ro-

dzaj dipoli, o różnych momentach dipolowych oraz o różnych stałych czaso-
wych. Analiza teoretyczna takich złożonych dielektryków jest bardzo trudna,
dlatego w tym miejscu zajmiemy się przypadkiem dielektryka idealnego z jed-
nym rodzajem dipoli elektrycznych, którego schemat zastępczy przedstawia
rys.3.16b. Należy zwrócić uwagę na to, że w schemacie tym pominięto rezystan-
cję skrośną R

1

, co w istotny sposób upraszcza dalszą analizę. Uproszczenie takie

jest powszechnie stosowane, zwłaszcza jeśli chodzi o analizę jakościową. Admi-
tancję układu przedstawionego na rys.3.16b opisuje wzór

Y =

j C

R

j

C

ω

ω

1

2

2

1

1

+

−

.

Aby rozdzielić składowe urojone od składowych rzeczywistych w tym wzorze,
należy drugi jego składnik pomnożyć przez liczbę sprzężoną i dokonać stosow-
nych przekształceń

Y =

j C

R

j

C

ω

ω

1

2

2

1

1

+

−

⋅

R

j

C

R

j

C

2

2

2

2

1

1

+

+

ω

ω

=

ω

ω

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

C R

C R

+

+ (3. 54)

j

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

1

R

C

ω

C

ω

C

ω

2

2

2

2

2

2

1

.

Porównując, podobnie jak w przypadku dielektryków niepolarnych, składo-

we urojone i składowe rzeczywiste wyrażenia (3.54) z analogicznymi składowymi
wyrażenia (3.47), wyznaczamy składowe przenikalności elektrycznej

ε

’

i

ε

”

:

ω ε

C

o

,

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

1

R

C

ω

C

ω

C

ω

2

2

2

2

2

2

1

, stąd

ε

ω

,

=

+

⋅

+

C

C

C
C

C R

o

o

1

2

2

2

2

2

2

1

1

, (3.55)

=

''

o

C

ε

ω

ω

ω

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

C R

C R

+

, stąd

1

R

C

R

C

C

C

2
2

2
2

2

2

2

o

2

,,

+

ω

ω

⋅

=

ε

.

(3.56)

Upraszczając zapis przez wprowadzenie stałej czasowej

τ

2

= C

2

R

2

, wyrażenie na

przenikalność elektryczną dielektryka polarnego idealnego zapisujemy w postaci

76

1

C

C

j

1

1

C

C

C

C

j

2
2

2

2

o

2

2
2

2

o

2

o

1

,,

,

+

τ

ω

ωτ

⋅

−

+

τ

ω

⋅

+

=

ε

−

ε

=

ε

.

(3.57)

Jak widać z ostatniej zależności, zarówno składowa rzeczywista jak i składowa
urojona przenikalności zależą od pulsacji (częstotliwości) pola elektrycznego.
Jest to ważna zależność, która wpływa na własności makroskopowe dielektryka.
W celu wyznaczenia tych zależności opieramy się na poniższym rozumowaniu.

1. Jeśli częstotliwość pola dąży do nieskończoności

ω → 0

, wówczas za-

leżność (3. 57) uzyskuje postać:

ε

ε

=

+

=

C

C

C
C

o

o

o

1

2

i jest to przenikalność dla pola stałego.

2. Dla drugiego granicznego przypadku, tzn. gdy

ω → ∞

, wówczas

ε

ε

=

=

∞

C

C

o

1

i jest tzw. przenikalność optyczna.

Wstawiając ostatnie zależności do wyrażenia (3. 57) otrzymujemy nową po-

stać wzoru na przenikalność elektryczną dielektryka

ε

=

ε

ε

ε

ω τ

∞

∞

+

−

+

o

2

2

2

1

-

j

o

(

)

ε

ε ωτ

ω τ

−

+

∞

2

2

2

2

1

,

(3.58)

w którym składowe przenikalności:

ε

,

=

ε

ε

ε

ω τ

∞

∞

+

−

+

o

2

2

2

1

oraz

ε

"

=

(

)

ε

ε ωτ

ω τ

o

−

+

∞

2

2

2

2

1

(3.59)

stanowią jedną z postaci tzw. równań Debye’a

.

Dokonując przekształceń tych równań, otrzymujemy proste zależności wy-

rażające związki pomiędzy składowymi przenikalności oraz pulsacją pola elek-
trycznego:

1

1

2
2

2

o

,

+

τ

ω

=

ε

−

ε

ε

−

ε

∞

∞

,

1

2
2

2

o

,,

+

ωτ

ωτ

=

ε

−

ε

ε

∞

. (3.60)

Obraz graficzny tych zależności przedstawia rys. 3.17.

77

ε

’

,

ε

’’

ω

ω

k=

2

1

τ

Rys. 3.17. Zależność składowych przenikalności od pulsacji pola

Wartość krytyczną pulsacji pola elektrycznego

ω

k

, przy której funkcja

ε

ε

ε

ωτ

ω τ

,,

o

−

=

+

∞

2

2

2

2

1

osiąga wartość maksymalną można wyznaczyć, porównu-

jąc pochodną prawej strony wyrażenia do zera. W ten sposób mamy:

ω

d

1

τ

ω

ωτ

d

2

2

2

2

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

=

0

)

1

τ

ω

(

τ

ω

2

)

1

τ

ω

(

τ

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

=

+

−

+

,

a po uporządkowaniu otrzymujemy wartość

ω ω

τ

=

=

k

1

2

.

Współczynnik strat w dielektryku wywołanych polaryzacją dipolową będzie

odpowiednio równy

2
2

2

o

2

o

``

)

(

`

tg

τ

ω

ε

+

ε

ωτ

ε

−

ε

=

ε

ε

=

δ

∞

∞

.

(3.61)

3. 4.2.3.. Straty mocy w dielektryku polarnym rzeczywistym

Źródłem strat mocy w dielektryku polarnym idealnym (w krysztale nie-

zdefektowanym i niezanieczyszczonym) są drgania rotacyjne asymetrycznych
molekuł, których tarcie między sobą powoduje wydzielanie się ciepła.

78

U

ΔI

I

s

δ

I

o

I

ob

I

oc

I

Rys.3. 19. Wykres wskazowy dla dielektryka polarnego

(I

ob.

, I

oc

–składowe prądu polaruzacji orientacji)

Wydzielająca się energia cieplna jest równoważona energią pobieraną z pola
elektrycznego.
W dielektryku rzeczywistym pojawia się dodatkowa składowa prądu - prąd
skrośny dielektryka, którego obecność - jak już wcześniej wyjaśniano - jest
związana z niedoskonałością budowy dielektryka -składowa I

s

(defekty Frenkla,

Schottky’ego, zanieczyszczenia pierwiastkami obcymi). Współczynnik strat w
dielektryku rzeczywistym można zdefiniować na podstawie wykresu wskazowe-
go dla dielektryka polarnego (rys.3. 19)
Zgodnie z definicją, współczynnik strat w dielektryku jest równy

ob

o

oc

s

I

I

I

I

I

tg

+

Δ

+

+

=

δ

(3. 66)

i jest on stosunkiem sumy składowych czynnych do sumy składowych biernych
prądu I w obwodzie schematu zastępczego dielektryka (rys.16a).

3. 4.3.. Ferroelektryki

Ferroelektryki

są to kryształy (dielektryki), w których w pewnym prze-

dziale temperatury występuje polaryzacja spontaniczna, bez udziału zewnętrz-
nego pola elektrycznego. Mechanizm polaryzacji spontanicznej omówiony zo-
stanie na przykładzie komórki elementarnej tytanianu baru (Ba Ti 0

3.

). Jeśli ła-

79

dunki (jony) w komórce elementarnej rozłożone są symetrycznie (jak na rys. 3.
20), komórka nie ma trwałego momentu dipolowego. Moment dipolowy różny
od zera komórka osiąga jeśli jon tytanu Ti

+4

przesunie się w dowolnym ze wska-

zanych na rysunku kierunku, zbliżając się do jonu tlenu.

Ba

++

0

--

Ti

+4

Rys.3. 20. Komórka elementarna tytanianu baru

Wzrasta wówczas siła przyciągania pomiędzy tymi (różnoimiennymi) jonami.
Jednocześnie zmniejsza się siła przyciągania pomiędzy jonem tytanu i jonem
przeciwległym tlenu. Powoduje to zwiększenie siły przyciągania pomiędzy tymi
jonami tlenu a jonami tytanu sąsiednich komórek i zmiany ich położenia w tym
samym kierunku co pierwszy jon tytanu.
W ten sposób poprzez oddziaływanie na jony tlenu powstają uporządkowane
momenty dipolowe. Taka polaryzacja spontaniczna powstaje już przy przesunię-

ciu jonu tytanu na odległość rzędu 0.1

A

o

. Zwiększenie się energii drgań sieci

towarzyszące wzrostowi temperatury może zniszczyć uporządkowanie dipoli.
Najbardziej charakterystyczną cechą tych kryształów jest zależność histerezowa
wektora polaryzacji

P od natężenia pola E.

3. 5. Klasyfikacja dielektryków stałych

Pomimo tego, że w elektrotechnice stosowane są wszystkie trzy stany skupienia
substancji o własnościach dielektrycznych, to dielektryki stałe odgrywają zasad-
niczą rolę jako materiały elektroizolacyjne. Dielektryki stałe można klasyfiko-
wać według różnych kryteriów, między innymi według ich pochodzenia. Naj-

80

bardziej ogólnym podziałem z tego punktu widzenia jest podział na dielektryki
pochodzenia naturalnego i dielektryki syntetyczne. Z punktu widzenia składu
chemicznego można je z kolei podzielić na materiały nieorganiczne i organicz-
ne. Tabela 3. 2 przedstawia klasyfikację zasadniczych grup dielektryków sta-
łych.

Tabela 3. 2. Podział na grupy dielektryków stałych

Dielektryki organiczne

Syntetyczne

Plastomery

Dielektryki

nieorganicz-

ne

mineralne

Naturalne

Elastomery

Termoplasty Duroplast

szkło,

ceramika,

mika

celuloza,

asfalty,

bitum,

woski,

kauczuk natu-

ralny,

bursztyn,
kalafonia

polibutadien,

poliizobbutylen

polichrolopren,

polisulfon,

elastomery

fluorowe,

elastomery
silikonowe

polietylen,
polistyren,

poliester linio-

wy,

poliwinyl,

poliwęglan,

polimery flu-

orwe,

poliimidy

fenoplast,

aminoplasty,

epoksydy,

poliestry,

silikony

Literatura:

1. Chełkowski A. Fizyka dielektryków. WNT, Warszawa, 1979
2. Wert Ch.H., Thomson R. M. Fizyka ciała stałego. PWN, Warszawa, 1974
3. Sukiennicki A., Zagórski A. Fizyka ciała stałego. WNT, Warszawa, 1984,

wyd.II

4. Kolbiński K., Słowikowski J. Materiałoznawstwo elektrotechniczne.

WNT, Warszawa, 1978, wyd. II

5. Antoniewicz J. Własności i tablice dielektryków. WNT, Warszawa, 1971

Zadania:

1. Obliczyć przesunięcie środka ciężkości chmury elektronowej w stosunku do

jądra atomu chloru w stałym polu elektrycznym o natężeniu 10

5

V/m

2. Skutkiem polaryzacji elektronowej atomu w krysztale jest wyindukowanie

momentu dipolowego. Obliczyć wartość tego momentu dla przypadku, gdy

81

polaryzowalność elektronowa kryształu ma typową wartość

α

e

= 2

⋅10

-40

Fm

2

, a zewnętrzne pole polaryzujące dielektryk ma natężenie równe 10

5

V/m.

3. Obliczyć moment dipolowy powstały w wyniku polaryzacji pewnego atomu

w polu elektrycznym o natężeniu 10

5

V/m. Ekwiwalentny ładunek i promień

ekwiwalentny atomu są odpowiednio równe: 1.2

⋅10

-18

C, 10

-11

m.

4. Obliczyć wartość funkcji Langevina dla dielektryka polarnego umieszczo-

nego w polu elektrycznym o natężeniu 10

5

V/m, o koncentracji dipoli n =

2.2

⋅10

28

m

-3.

. Moment dipolowy jednego dipola jest równy 5

⋅10

-3.0

C.

5. Dla dielektryka niepolarnego, schemat zastępczy którego przedstawia rysu-

nek, wyznaczyć składowe (rzeczywistą i urojoną) przenikalności oraz skła-
dowe (czynną i bierną) prądu

U

R

r

C

r

I

Pojemność geometryczna C

o

=20pF.

Polaryzacja dielektryka spowodowała
przyrost pojemności o 2 pF. Pozostałe
dane: R=4.5

⋅10

10

Ω, U=100 V

6. Dla schematu zastępczego dielektryka polarnego (rys) obliczyć pulsację kry-
tyczną, przy której występuje maksimum strat spowodowanych orientacją dipoli

U

I

C

1

=5pF

C

o

=4.5pF

C

2

=0.2pF

R

2

=10

11

Ω

82