Copyright® 2013 Paweł Dobrowolski PWR W4 AiR
Strona 1
Metoda różniczki zupełnej – obliczanie niepewności pomiarów
Aby wyznaczyć niepewność pomiaru Δx funkcji x=f(x,y,z) należy zróżniczkować moduły(obliczyć
pochodne cząstkowe) funkcji względem każdej zmiennej. Tyle teorii. Najlepiej to pokazać na
przykładach.
Przykład 1
Funkcja x opisana jest wzorem
. Oblicz Δx.
Zgodnie z tym co powyżej możemy napisać:
|
|
Oznacza to, że będziemy różniczkować wyrażenie po y – w wyrażeniu jest tylko ono „niepewne”
(obarczone błędem). Zatem:
|
| | | | |
W związku z tym że y oraz Δy są dodatnie możemy opuścić moduł czyli pozostaje nam wyrażenie:
Δx=4yΔy
Teraz już tylko podstawiamy wartości i zaokrąglamy zgodnie z zasadą: do jednej cyfry znaczącej w
górę jeżeli błąd zaokrąglenia nie jest większy niż 10%; w przeciwnym wypadku do dwóch cyfr
znaczących.
Przykład 2
Funkcja x opisana jest wzorem
. Oblicz Δf.
Zgodnie z tym co powyżej możemy napisać:
|
| |
| |
|
Oznacza to, że będziemy różniczkować wyrażenie po x, y, z – te wielkości są „niepewne” (obarczone
błędem ). Zatem:
|
| |
| |
| | | | | |
|
Zatem:
| | | | |
|
Przykład 3
Funkcja
. opisana jest wzorem
. Oblicz Δ
.
Na początku musimy zastanowić się ile mamy zmiennych obarczonych niepewnościami (dla ilu
posiadamy Δ niepewności). Jak widać jest to zagadnienie z fizyki więc k jest stałą Boltzmanna.
Zatem będziemy różniczkować tylko po zmiennej a dla której znamy niepewność (tak jak w
przykładach 1 i 2).
Zatem
Δ Δ
| | ponieważ pochodna po zmiennej a z a jest równa 1, natomiast 2k jest niezmienne.
Przykład 4
Funkcja
opisana jest wzorem
. Oblicz ΔY.
Załóżmy że k ,m, 2013-11-29g to stałe. Zmienne obarczone niepewnością to X, Z, G. Aby uprościć
zapis i zmniejszyć ryzyko błędu możemy zrobić podstawienie
