Copyright® 2013 Paweł Dobrowolski PWR W4 AiR

Strona 1

Metoda różniczki zupełnej – obliczanie niepewności pomiarów

Aby wyznaczyć niepewność pomiaru Δx funkcji x=f(x,y,z) należy zróżniczkować moduły(obliczyć
pochodne cząstkowe) funkcji względem każdej zmiennej. Tyle teorii. Najlepiej to pokazać na
przykładach.

Przykład 1
Funkcja x opisana jest wzorem

. Oblicz Δx.

Zgodnie z tym co powyżej możemy napisać:

|

|

Oznacza to, że będziemy różniczkować wyrażenie po y – w wyrażeniu jest tylko ono „niepewne”
(obarczone błędem). Zatem:

|

| | | | |

W związku z tym że y oraz Δy są dodatnie możemy opuścić moduł czyli pozostaje nam wyrażenie:
Δx=4yΔy
Teraz już tylko podstawiamy wartości i zaokrąglamy zgodnie z zasadą: do jednej cyfry znaczącej w
górę jeżeli błąd zaokrąglenia nie jest większy niż 10%; w przeciwnym wypadku do dwóch cyfr
znaczących.

Przykład 2
Funkcja x opisana jest wzorem

. Oblicz Δf.

Zgodnie z tym co powyżej możemy napisać:

|

| |

| |

|

Oznacza to, że będziemy różniczkować wyrażenie po x, y, z – te wielkości są „niepewne” (obarczone
błędem ). Zatem:

|

| |

| |

| | | | | |

|

Zatem:

| | | | |

|

Przykład 3
Funkcja

. opisana jest wzorem

. Oblicz Δ

.

Na początku musimy zastanowić się ile mamy zmiennych obarczonych niepewnościami (dla ilu
posiadamy Δ niepewności). Jak widać jest to zagadnienie z fizyki więc k jest stałą Boltzmanna.
Zatem będziemy różniczkować tylko po zmiennej a dla której znamy niepewność (tak jak w
przykładach 1 i 2).
Zatem
Δ Δ

| | ponieważ pochodna po zmiennej a z a jest równa 1, natomiast 2k jest niezmienne.

Przykład 4

Funkcja

opisana jest wzorem

. Oblicz ΔY.

Załóżmy że k ,m, 2013-11-29g to stałe. Zmienne obarczone niepewnością to X, Z, G. Aby uprościć
zapis i zmniejszyć ryzyko błędu możemy zrobić podstawienie

Copyright® 2013 Paweł Dobrowolski PWR W4 AiR

Strona 2

Zatem możemy zapisać po podstawieniu że

Teraz należy zróżniczkować to wyrażenie po zmiennych Z, X, G. Tak więc otrzymujemy:

|

|

|

|

|

|

|

|

|

(

)

|

| |

Teraz należy tylko podstawić a do wyrażenia i otrzymujemy:

|

|

|

(

)

|

| |