1
Teoria produkcji
1. Funkcja produkcji
2. Ekspansja produkcji w długim okresie (LR)
3. Ekspansja produkcji w krótkim okresie (SR)
4. Malejące korzyści skali
☺
Przykład: Stałe korzyści a malejący produkt
krańcowy
☺
1
Teoria produkcji
1. Funkcja produkcji
2. Ekspansja produkcji w długim okresie (LR)
3. Ekspansja produkcji w krótkim okresie (SR)
4. Malejące korzyści skali
☺
Przykład: Stałe korzyści a malejący produkt
krańcowy
☺
2
Funkcja produkcji
W przeciwieństwie do użyteczności, która ma charakter
porządkowy, produkcję można mierzyć. Firmy zatrudniają
czynniki produkcji aby wyprodukować „mierzalny” produkt.
Proces produkcji można zapisać w postaci wzorów
przedstawiających dokładne ilości czynników „łączonych” na
każdym etapie produkcyjnego procesu. Produkt końcowy
można więc przedstawić w postaci funkcji produkcji, np.:
x
=
K
1/2
L
1/2
.
(Tabela 10.1 i rys. 10.1)
Technologiczna efektywność
Jest to podstawowe założenie czynione w odniesieniu do
funkcji produkcji: Kiedy czynniki są wykorzystane do
wytworzenia produktów, to kombinacja czynników jest
efektywna technologicznie, jeśli NIE jest możliwe otrzymać
ten produkt przy zatrudnieniu mniejszej ilości jednego z
czynników i nie większej ilości innego czynnika. W
przeciwnym razie pojawiłyby się straty.
Technologiczna efektywność oznacza, że jeżeli zatrudnienie
jednego czynnika rośnie, przy niezmienionym zatrudnieniu
innych czynników, to produkcja musi wzrosnąć. Jeżeli
3
produkcja nie wzrosłaby, to zwiększone zatrudnienie tego
czynnika zostałoby stracone.
0
>
∂
∂
L
x
i
0
>
∂
∂
K
x
(Jest to odpowiednik założenia o nienasyceniu
z teorii konsumenta.)
(rys. 10.2)
Malejąca krańcowa stopa technicznej substytucji (MRTS)
Założenie dotyczące produkcji: izokwanty są wypukłe
względem początku układu współrzędnych – malejąca MRTS.
(Odpowiednik malejącej MRS w teorii konsumenta.)
Ujemne nachylenie izokwanty definiujemy jako MRTS:
0
>
−
=
dL
dK
MRTS
ponieważ izokwanta ma nachylenie ujemne. Czyli:
0
2
2
<
−
=
dL
K
d
MRTS
dL
d
ponieważ
0
/
2
2
>
dL
K
d
na podstawie wypukłości.
Na przykład:
0
2
0
3
2
2
2
2
2
2
2
/
1
2
/
1
<
−
=
>
=
−
−
=
−
=
=
⇒
=
L
x
MRTS
dL
d
L
x
L
x
dL
dK
MRTS
L
x
K
L
K
x
4
(Cechy funkcji produkcji można streścić dzięki porównaniu z
aksjomatami dotyczącymi preferencji konsumenta.)
(Ekonomiści estymują izokwanty funkcji produkcji na
podstawie decyzji przedsiębiorstw i po przyjęciu założeń o
zatrudnieniu czynników charakteryzującym się
efektywnością technologiczną i minimalizacją kosztów.)
Efektywność ekonomiczna i linie izokosztów
Założenie o minimalizacji kosztów określa się mianem
założenia o efektywności ekonomicznej głoszącej, że NIE
jest możliwe wytworzyć dany produkt po niższych kosztach
przy danych cenach czynników.
Oznaczenia:
TC
– koszt całkowity;
L
– praca;
K
– kapitał;
w
– rynkowa stawka płac;
r
– rynkowa stawka
opłaty za kapitał.
Koszt całkowity wynosi więc:
TC
=
wL
+
rK
.
Utrzymując
TC
i ceny czynników jako stałe z powyższego
równania możemy wyznaczyć kombinację pracy i kapitału
niezbędne do produkcji po określonych kosztach:
K
=
TC
/
r
-(
w
/
r
)
L
.
Jest to wzór na linię izokosztów. (rys. 10.3)
******
5
Ekspansja produkcji w długim okresie (LR)
Długi okres (LR):
nakłady wszystkich czynników
produkcji można zmieniać;
Krótki okres (SR):
nakłady części czynników
produkcji są stałe.
Korzyści skali
Przy ekspansji produkcji w LR funkcje produkcji mogą
wykazywać cechę: homogeniczności. (Funkcja jest
homogeniczna stopnia
k
jeżeli:
f
(
αx
,
αy
) =
α
k
f
(
x
,
y
) dla
wszystkich
α
≥ 0.)
Homogeniczność funkcji produkcji dzieli się na trzy klasy:
1. Jeżeli np. podwoimy zatrudnienie wszystkich czynników,
to wielkość produktu też się podwoi: funkcja produkcji
charakteryzuje się stałymi korzyściami skali – jest
homogeniczna stopnia 1:
f
(
αx
,
αy
) =
α
1
f
(
x
,
y
),
k
= 1.
2. Jeżeli np. podwoimy zatrudnienie wszystkich czynników,
a wielkość produkcji zwiększy się mniej niż dwukrotnie,
to funkcja produkcji charakteryzuje się malejącymi
korzyściami skali – stopień homogeniczności jest
mniejszy niż 1:
f
(
αx
,
αy
) =
α
k
f
(
x
,
y
), 0 <
k
< 1.
3. Jeżeli np. podwoimy zatrudnienie wszystkich czynników,
a wielkość produkcji zwiększy się więcej niż
dwukrotnie, to funkcja produkcji charakteryzuje się
rosnącymi korzyściami skali – stopień homogeniczności
jest większy niż 1.
f
(
αx
,
αy
) =
α
k
f
(
x
,
y
),
k
> 1.
6
Przykład:
x
=
K
α
L
β
dla
α
,
β
> 0
x
(
ΘK
,
ΘL
) = (
ΘK
)
α
(
ΘL
)
β
=
Θ
α+β
K
α
L
β
.
Z powyższego zapisu wynika:
α
+
β
= 1: funkcja jest homogeniczna stopnia 1 (stałe
korzyści skali)
α
+
β
< 1: funkcja jest homogeniczna stopnia < 1 (malejące
korzyści skali)
α
+
β
> 1: funkcja jest homogeniczna stopnia > 1 (rosnące
korzyści skali).
Ekspansja produkcji w krótkim okresie (SR)
(rys. 10.5) Dla stałego zatrudnienia kapitału zmienia się
zatrudnienie pracy: ekspansja produkcji może odbywać się
wzdłuż ścieżki rozwoju w SR.
7
Produkt (fizyczny): całkowity, przeciętny i krańcowy
Na podstawie rys. 10.6 można zapisać wzór funkcji
produkcji:
( )
K
L
x
x
;
=
: całkowity produkt pracy:
TP
L
.
(Analogicznie:
( )
K
L
x
x
;
=
: całkowity produkt kapitału:
TP
K
.)
Przeciętny produkt pracy (
AP
L
) =
( )
L
K
L
x
L
TP
L
;
=
Przeciętny produkt kapitału (
AP
K
) =
( )
K
L
K
x
K
TP
K
;
=
Krańcowy produkt pracy (
MP
L
) =
L
x
TP
dL
d
L
∂
∂
=
Krańcowy produkt kapitału (
MP
K
) =
K
x
TP
dK
d
K
∂
∂
=
8
Przykład:
x
=
K
α
L
β
dla
α
,
β
> 0
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
α
β
L
K
L
K
dK
d
MP
L
K
K
L
K
AP
L
K
TP
L
K
L
K
dL
d
MP
L
K
L
L
K
AP
L
K
TP
K
K
K
L
L
L
1
1
1
1
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Rys. 10.7 przedstawia wyprowadzenie AP
L
i MP
L
(wyprowadzenie geometryczne !)
9
MPP a MRTS
(Analogicznie do MU i MRS)
Aby wykazać zależność między MP i MRTS wyprowadzamy
różniczkę zupełną funkcji produkcji przy założeniu o stałości
wielkości produkcji:
-
funkcja produkcji:
x
=
x
(
K
,
L
)
-
różniczka zupełna:
0
=
∂
∂
+
∂
∂
=
dK
K
x
dL
L
x
dx
(wzdłuż izokwanty)
-
MRTS:
K
L
MP
MP
K
x
L
x
dL
dK
=
∂
∂
∂
∂
=
−
/
/
Rys. 10.8: z malejącej MRTS wynika, że jeżeli zatrudnienie
pracy zwiększa się przy ruchu wzdłuż izokwanty, to MP
L
musi
maleć względem MP
K
.
Malejące przychody
Ważną cechą większości funkcji produkcji są malejące
przychody z zatrudnienia zmiennych czynników. Jeżeli
zatrudniony jest tylko jeden zmienny czynnik, to malejące
przychody są tym samym, co malejący MP.
Dla ogólnej postaci Cobb – Douglas’a funkcji produkcji:
x =
K
α
L
β
dla α, β > 0
10
1
−
=
β
α
β
L
K
MP
L
(
)
2
1
−
−
=
β
α
β
β
L
K
MP
dL
d
L
⇒ ta funkcja produkcji wykazuje
malejące przychody względem zatrudnienia pracy, jeżeli:
β – 1 < 0 (β < 1).
Analogicznie:
(
)
β
α
β
α
α
α
α
L
K
MP
dK
d
L
K
MP
K
K
2
1
1
−
−
−
=
=
⇒ malejące przychody dla α < 1.
(Jeżeli zatrudniony jest tylko jeden zmienny czynnik, to
malejące przychody gwarantują, że krzywa podaży produktu
w SR ma nachylenie dodatnie, a krzywa popytu na czynnik ma
nachylenie ujemne.)
Malejące przychody a stałe i malejące korzyści skali
Jeżeli funkcja produkcji wykazuje stałe lub malejące
korzyści skali, to MP
L
i MP
K
maleją – rys. 10.9.
11
Przy stałych korzyściach skali TP
L
jest wklęsły (nachylenie
maleje ze wzrostem zatrudnienia pracy). Przy stałych
korzyściach skali podwojenie zatrudnienia czynników
prowadzi do podwojenia produktu. Poruszając się wzdłuż
promienia 45
0
widzimy, że rzeczywiście podwojenie
zatrudnienia czynników prowadzi do podwojenia produktu.
Przy stałych korzyściach, jeżeli zatrudniana jest stała ilość
kapitału,
K
, malejąca MRTS gwarantuje, że wzrost
zatrudnienia pracy niezbędny do uzyskania danego przyrostu
produktu musi być większy. A przecież MP
L
maleje. Powód
tego przedstawia dyskretna wersja MP
L
: MP
L
= ∆x/∆L.
Ponieważ licznik jest stały, a mianownik rośnie, to stosunek
musi maleć.
Przy malejących korzyściach skutek jest jeszcze silniejszy.
Przyrosty produktu (∆x) maleją, zatrudnienie pracy (∆L)
rośnie z jednej izokwanty na drugą przy stałym zatrudnieniu
kapitału (
K
). Tak więc licznik wyrażenia na MP
L
maleje, a
mianownik rośnie, czyli stosunek musi maleć.
Przy rosnących korzyściach, (∆x) rośnie między izokwantami,
czyli zarówno licznik, jak i mianownik wyrażenia na MP
L
rośnie, a produkt krańcowy może zmaleć lub wzrosnąć.
Przykład
Dla ogólnej postaci Cobb – Douglas’a funkcji produkcji:
x =
K
α
L
β
dla α, β > 0:
1.
x
wykazuje stałe korzyści jeżeli α + β = 1, malejące
korzyści, jeżeli: α + β < 1 i rosnące korzyści, jeżeli:
α + β > 1
2.
(
)
2
1
−
−
=
β
α
β
β
L
K
MP
dL
d
L
: malejące przychody dla β < 1
12
3.
(
)
β
α
α
α
L
K
MP
dK
d
K
2
1
−
−
=
: malejące przychody dla α < 1
Podsumowując możemy więc stwierdzić, że jeżeli funkcja
produkcji wykazuje stałe lub malejące korzyści skali, wtedy
β – 1 < 0 i α – 1 < 0, gdyż α + β ≤ 1. Z tego wynika, że dla
obydwu czynników istnieją malejące przychody. Jeżeli
funkcję charakteryzują rosnące korzyści, α + β > 1, możliwe
jest istnienie rosnących przychodów dla jednego lub obu
czynników.
Dowód, że stałe korzyści skali determinują malejący produkt
krańcowy
Stałe korzyści skali, inaczej liniowa homogeniczność,
oznaczają:
f
(
αK
,
αL
) =
αf
(
K
,
L
).
Po zróżniczkowaniu względem
α
:
f
K
f
L
f
K
L
=
+
(równanie Euler’a)
Różniczkujemy równanie Euler’a względem L:
L
KL
L
LL
f
K
f
f
L
f
=
+
+
Po przekształceniu:
L
K
f
f
K
f
L
f
KL
LL
KL
LL
−
=
⇒
=
+
0
Różniczkujemy równanie Euler’a względem K:
K
L
f
f
K
f
L
f
f
f
K
f
L
f
KL
KK
KK
LK
K
K
KK
LK
−
=
⇒
=
+
⇒
=
+
+
0
Różniczka zupełna funkcji produkcji (wzdłuż izokwanty):
K
L
K
L
f
f
dL
dK
dK
f
dL
f
df
−
=
⇒
+
=
= 0
13
(
)
(
)
3
2
3
3
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
K
KL
K
L
K
KL
K
L
K
KL
L
L
K
LK
K
K
L
KL
K
L
KL
L
K
LK
K
LK
K
L
KK
K
L
LK
K
LL
K
L
KL
L
K
L
KK
K
LL
K
K
L
LK
K
L
KK
KL
K
LK
LL
LKf
f
f
f
LK
L
f
K
f
ff
f
L
f
K
f
K
f
f
L
f
K
f
L
f
f
f
f
K
L
f
K
K
f
f
f
L
L
f
f
f
f
L
K
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
L
K
f
f
f
L
K
f
f
dL
K
d
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
−
+
−
=
−
−
−
+
−
−
=
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
=
3
2
2
2
K
KL
LKf
f
f
dL
K
d
=
Malejąca MRTS,
0
/
2
2
>
dL
K
d
. To oznacza, że
f
KL
> 0. Czyli
jeżeli
f
LL
L
+
f
KL
K
= 0 i
f
LK
L
+
f
KK
K
= 0, to
f
LL
< 0 i
f
KK
< 0, z
czego wynikają malejące produkty krańcowe.