1
POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA
Katedra Urządzeń Elektrycznych i Techniki Świetlnej
Laboratorium Techniki Wysokich Napięć
ĆWICZENIE 9
PRZEBIEGI FALOWE W LINIACH DŁUGICH
I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE
1. Wstęp
W wyniku występowania przepięć, szczególnie atmosferycznych, powstają w układach elektroenerge-
tycznych fale przepięciowe, które rozchodząc się wzdłuż linii przesyłowych rozprzestrzeniają się na duży
obszar. Znając zjawiska towarzyszące przebiegom falowym można ocenić jakich zagrożeń dla izolacji ze
strony przepięć można spodziewać się w różnych punktach układu.
Przebiegi falowe w liniach długich należy rozpatrywać mając na uwadze rozwiązania różniczkowego
równania falowego. W celu ułożenia równań linii długiej należy stworzyć jej schemat zastępczy. Kon-
strukcja schematu zastępczego polega na zastąpieniu układu o parametrach rozłożonych układem połączo-
nych łancuchowo czwórników złożonych z elementów skupionych podłużnych R, L i poprzecznych C, G.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu w danym punkcie linii są funkcjami dwu zmiennych niezależnych:
czasu ‘t’ i odległości ‘x’, a więc u(x,t), i(x,t). Rozważania matematyczne są najprostsze, gdy pewne para-
metry linii są równe zeru, np. R = 0 i G = 0. Dla dużych stromości fal przepięciowych (odpowiada to du-
ż
ym częstotliwościom) wpływ rezystancji i konduktywności jest bardzo mały. Najczęściej rozpatruje się
więc linie bez strat złożone z elementów L i C. Dla uproszczenia rozważań bierze się pod uwagę fale o
nieograniczonej stromości – czyli fale o czole prostokątnym – najbardziej niekorzystne z punktu widzenia
zagrożeń dla izolacji.
2. Równania falowe
Rozpatrzmy odcinek
∆
x linii bez strat, w której parametry rozłożone są zastąpione przez elementy
skupione L
0
i C
0
odniesione do jednostki długości linii (najczęściej do 1 km). Odcinek ten jest odległy o
‘x’ od początku linii. Indukcyjność i pojemność odcinka linii o długości
∆
x wynoszą odpowiednio L
0
⋅∆
x
i C
0
⋅∆
x.
∆
x
i
c
(x,t)
i(x+
∆
x,t)
L
0
∆
x
u(x,t)
u(x+
∆
x,t)
C
0
∆
x
x
i(x,t)
Dla schematu z rysunku 1 możemy, na podstawie praw Kirchoffa, ułożyć następujące równania dla na-
pięć i prądów:
)
t
,
x
x
(
u
t
)
t
,
x
(
i
x
L
)
t
,
x
(
u
0
∆
+
+
∂
∂
⋅
∆
=
,
(9.1)
)
t
,
x
x
(
i
t
)
t
,
x
x
(
u
x
C
)
t
,
x
(
i
0
∆
+
+
∂
∆
+
∂
⋅
∆
=
,
Rys. 1. Odcinek linii bez strat o długości
∆
x:
L
0
- indukcyjność jednostkowa linii,
C
0
- pojemność jednostkowa linii
2
po przekształceniu
t
)
t
,
x
(
i
L
x
)
t
,
x
(
u
)
t
,
x
x
(
u
0
∂
∂
=
∆
−
∆
+
−
,
(9.2)
t
)
t
,
x
x
(
u
C
x
)
t
,
x
(
i
)
t
,
x
x
(
i
0
∂
∆
+
∂
=
∆
−
∆
+
−
.
Zakładając
∆
x
→
0 przechodzimy od układu łańcuchowego do linii rzeczywistej otrzymując równania
różniczkowe
t
i
L
x
u
0
∂
∂
=
∂
∂
−
,
t
u
C
x
i
0
∂
∂
=
∂
∂
−
.
(9.3)
Doprowadzając te równania do postaci z jedną zmienną otrzymujemy jednorodne równania falowe
(wzory 9.4), zwane również równaniami telegrafistów. Przykładowo, aby otrzymać równanie falowe dla
napięcia, należy zróżniczkować pierwsze z równań (9.3) względem „x” a drugie względem „t”
2
2
0
0
2
2
t
u
C
L
x
u
∂
∂
=
∂
∂
,
(9.4)
2
2
0
0
2
2
t
i
C
L
x
i
∂
∂
=
∂
∂
.
Rozwiązanie powyższych równań metodą d’Alemberta ma postać sumy fal: biegnącej w przód (zgod-
nie ze zwrotem osi x) oraz biegnącej wstecz (w kierunku przeciwnym). Zgodnie z tym rozwiązaniem,
napięcie (lub prąd) w dowolnym punkcie linii i w dowolnej chwili czasowej jest sumą tych dwóch fal
u
f x
vt
f x
vt
u
u
=
−
+
+
= +
1
2
(
)
(
)
'
"
,
(9.5)
"
i
'
i
)
vt
x
(
f
Z
1
)
vt
x
(
f
Z
1
i
2
1
+
=
+
−
−
=
,
gdzie:
0
0
C
L
1
v
=
- prędkość rozchodzenia się fali,
0
0
C
L
Z
=
- impedancja falowa linii długiej,
u’, i’ - fale (napięcia i prądu) biegnące w przód, przy czym
Z
'
u
'
i
=
,
u”, i” - fale biegnące wstecz, przy czym
i
u
Z
"
"
= −
.
Znając impedancję falową linii i prędkość rozchodzenia się fali (można te wielkości określić doświad-
czalnie) możemy obliczyć parametry jednostkowe linii korzystając z wzorów
Zv
1
C
0
=
,
v
Z
L
0
=
.
(9.6)
Z drugiej strony, parametry linii można obliczyć wychodząc z wymiarów geometrycznych
i usytuowania przewodów. W tabeli 1 zestawiono wzory dla podstawowych układów linii bez-
stratnych.
Podstawiając do wzoru na prędkość fali parametry jednostkowe linii z tabeli 1, możemy pręd-
kość fali wyrazić następująco:
'
'
c
1
C
L
1
v
0
0
0
0
ε
µ
=
ε
µ
=
=
3
gdzie: c - prędkość światła, równa 300m/
µ
s,
µ
’,
ε
’ - względna przenikalność magnetyczna i dielektryczna materiału izolacyjnego ota-
czającego przewód.
Przenikalności magnetyczna i dielektryczna próżni wynoszą:
,
m
A
s
V
10
4
7
0
⋅
⋅
⋅
π
=
µ
−
m
V
s
A
10
9
4
1
9
0
⋅
⋅
⋅
⋅
π
=
ε
−
Prędkość fali w linii napowietrznej (
ε
’ = 1,
µ
’ = 1) równa się prędkości światła, zaś w linii
kablowej, w której izolację stanowi np. papier nasycony olejem (
ε
’ = 4,
µ
’ = 1), v
k
= c/2 =150
m/
µ
s.
Tabela 1. Parametry podstawowych układów linii bezstratnych:
h - wysokość zawieszenia
przewodu nad ziemią, a - odległość między przewodami, r - promień przewodu, R - promień elek-
trody zewnętrznej w układzie koncentrycznym,
ε
’ - przenikalność względna ośrodka,
µ
0
= 4
π⋅
10
–7
H/m,
ε
0
= (36
π
)
–1
⋅
10
-9
F/m
Układ
L
0
C
0
Z (
Ω
)
v
przewód
-
ziemia
r
h
2
ln
2
0
π
µ
r
h
2
ln
2
0
πε
r
h
2
ln
60
s
m
300
c
1
0
0
µ
=
=
ε
µ
przewód
koncentryczny
r
R
ln
2
0
π
µ
r
R
ln
'
2
0
ε
πε
r
R
ln
'
60
ε
'
c
'
1
0
0
ε
=
ε
ε
µ
przewód
symetryczny
r
a
ln
2
0
π
µ
r
a
ln
2
0
πε
r
a
ln
60
s
m
300
c
1
0
0
µ
=
=
ε
µ
3. Przejście fali o czole prostokątnym na inną impedancję falową
Rozpatrujemy przypadek, w którym na końcu linii o impedancji Z
1
znajduje się linia nieskończenie
długa o impedancji Z
2
. Punkt połączenia dwóch linii (punkt A na rysunku 2) nazywamy punktem węzło-
wym lub punktem nieciągłości.
Rys. 2. Układ dwóch linii o różnych impedancjach falowych. Fala przepięciowa u
1
’ przesuwa
się w kierunku punktu węzłowego A od strony linii Z
1
Zgodnie z rozwiązaniem równania falowego napięcia i prądy w dowolnych punktach obydwu linii wy-
noszą
dla linii Z
1
u
1
= u
1
’ + u
1
”, dla linii Z
2
u
2
= u
2
’ + u
2
”,
i
1
= i
1
’ + i
1
”,
i
2
= i
2
’ + i
2
”.
Fale biegnące wprzód (od lewej do prawej) w linii Z
1
nazywać będziemy falami padającymi. Są to fale
u
1
’ i i
1
’. Fale biegnące wstecz (u
1
”, i
1
”) to fale odbite od punktu nieciągłości A. W linii Z
2
fale biegnące w
przód u
2
’ i i
2
’ będziemy nazywać falami przepuszczonymi napięcia i prądu.
u
1
’
A
Z
1
Z
2
4
Punkt węzłowy A jest punktem wspólnym dla obu linii. Dla tego punktu zachodzi więc relacja dla na-
pięć
u
1
= u
2
,
czyli
u
1
’ + u
1
” = u
2
’ + u
2
”.
Ponieważ linia Z
2
posiada nieskończoną długość, więc u
2
” = 0 (brak fali odbitej). Otrzymamy więc za-
leżność pomiędzy falą padającą, odbitą i przepuszczoną
u
1
’ + u
1
” = u
2
’ dla napięć,
(9.7)
i
1
’ + i
1
” = i
2
’ dla prądów.
Pomiędzy prądami i napięciami zachodzą następujące zależności
u
1
’ = i
1
’Z
1
, u
1
” =
−
i
1
”Z
1
, u
2
’ = i
2
’Z
2
.
(
9.8)
W celu obliczenia fali przepuszczonej przedstawmy zależność (9.7) dla napięć w postaci
u
2
’ = u
1
’ – i
1
”Z
1
= u
1
’ – (i
2
’ – i
1
’)Z
1
= u
1
’ – i
2
’Z
1
+ u
1
’ = 2u
1
’ – i
2
’Z
1
.
(9.9)
Podstawiając i
2
’ = u
2
’/Z
2
otrzymamy ostatecznie wzór na falę przepuszczoną
'
u
Z
Z
Z
2
'
u
1
2
1
2
2
⋅
+
=
(9.10)
Oznaczmy stosunek fali przepuszczonej do fali padającej przez
α
i nazwijmy współczynnikiem prze-
puszczania fali:
'
u
'
u
1
2
=
α
.
A więc w rozpatrywanym przypadku przejścia fali na inną impedancję falową współczynnik ten zgod-
nie z wzorem 9.10 może być przedstawiony zależnością
1
2
2
Z
Z
Z
2
+
=
α
(9.11)
i nazwany współczynnikiem przepuszczania fali napięciowej z linii Z
1
na linię Z
2
.
Jeżeli wprowadzimy analogicznie współczynnik odbicia fali napięciowej
β
jako stosunek fali odbitej do fali
padającej
'
u
''
u
1
1
=
β
,
(9.12)
to równanie 9.7 dla napięć możemy napisać w postaci:
u
1
’ +
β
⋅
u
1
’ =
α
⋅
u
1
’,
otrzymując zależność między współczynnikami odbicia i przepuszczania
1 +
β
=
α
,
Podstawiając za
α
zależność 9.11 możemy wyznaczyć współczynnik
β
dla przypadku przejścia fali z li-
nii Z
1
na linię Z
2
:
1
2
1
2
Z
Z
Z
Z
+
−
=
β
.
(9.13)
Współczynniki
α
i
β
dotyczą fali napięcia, fale prądu należy określać z zależności (9.8).
5
Szczególnymi przypadkami układu z rysunku 2 są: linia rozwarta na końcu (Z
2
=
∞
) oraz linia zwarta
(Z
2
= 0). Na rysunku 3 pokazano rozkłady napięć i prądów wzdłuż linii dla różnych relacji między impe-
dancjami Z
1
i Z
2
oraz zakresy zmienności współczynników odbicia i przepuszczania fali napięciowej.
Dla przypadku linii rozwartej, Z
2
=
∞
, Obliczenia współczynników
α
i
β
można wykonać po prze-
kształceniu wzorów 9.11 i 9.13 do postaci:
2
1
1
2
2
Z
Z
1
2
Z
Z
Z
2
+
=
+
=
α
,
2
1
2
1
1
2
1
2
Z
Z
1
Z
Z
1
Z
Z
Z
Z
+
−
=
+
−
=
β
.
Z
2
Z
2
Z
2
=
∞
α
= 2
Z
2
< Z
1
u
2
'
u
1
'
u
1
"
b)
Z
1
A
Z
1
A
Z
1
0 < Z
2
< Z
1
A
Z
1
i
1
"
Z
2
= 0
i
2
'
i
1
'
Z
2
= 0
A
Z
1
Z
1
< Z
2
<
∞
Współczynniki
α
i
β
dla fal napięciowych
β
= -1
α
= 0
β
= 1
-1 <
β
< 0
0 <
α
< 1
0 <
β
< 1
1 <
α
< 2
Z
1
Z
2
=
∞
A
u
1
'
u
1
"
Z
2
> Z
1
a)
A
A
i
1
"
u
1
"
c)
i
1
"
i
1
'
u
1
'
i
1
'
i
1
"
A
Z
1
Z
1
i
1
'
u
1
"
u
1
'
d)
i
2
'
u
2
'
Z
2
Z
2
Rys. 3. Rozkłady fal napięciowych i prądowych dla przypadków: a) Z
1
< Z
2
<
∞
, b) 0 < Z
2
< Z
1
,
c) linia rozwarta na końcu, d) linia zwarta na końcu. Rozkład wypadkowy zakreskowano
4. Schemat obliczeniowy Petersena
Weźmy po uwagę zależność (9.9), wyprowadzoną w rozdziale 3, pozwalającą obliczyć falę napięcia
przepuszczoną na linię Z
2
u
2
’ = 2u
1
’ – i
2
’Z
1
.
Wzór ten odpowiada schematowi elektrycznemu przedstawionemu na rysunku 4. Ze źródła o sile elek-
tromotorycznej równej podwojonej wartości fali padającej (2u
1
’), po zamknięciu wyłącznika W, płynie
prąd odpowiadający fali prądu przepuszczonej poza punkt węzłowy (i
2
’). Impedancjom falowym linii od-
powiadają w tym schemacie elementy Z
1
i Z
2
, które w przypadku linii bezstratnych odpowiadają rezysto-
rom (impedancja falowa w liniach bezstratnych jest liczbą rzeczywistą).
6
u
2
'
Z
2
Z
1
A
W
2u
1
'
i
2
'
Rys. 4. Obwód obliczeniowy Petersena dla układu dwóch linii połączo-
nych w punkcie węzłowym A
Jak łatwo sprawdzić, falę przepuszczoną napięcia, czyli napięcie u
2
’, można obliczyć z wzoru
2
1
1
2
2
2
2
Z
Z
'
u
2
Z
'
i
Z
'
u
+
⋅
=
=
.
Przedstawiony schemat nosi nazwę obwodu obliczeniowego Petersena i jak sama nazwa wskazuje jest
schematem obliczeniowym, stanowiącym swego rodzaju model matematyczny pozwalający na obliczenie
fal przepuszczonych. Nie odzwierciedla on fal odbitych (u
1
”, i
1
”), które można obliczać ze znanych zależ-
ności (np. 9.7). Zastosowanie obwodu ograniczone jest do tych przypadków układów, w których poza
punktem węzłowym nie ma fal odbitych. Mimo braku interpretacji fizycznej obwód obliczeniowy Peterse-
na pozwala na uproszczenie obliczeń w bardziej złożonych układach, np. gdy w punkcie węzłowym spoty-
ka się kilka linii i są włączone elementy skupione RLC.
W analizie zjawisk falowych wykorzystuje się zwykle fale padające o czole prostokątnym. Wtedy fala
ta określona jest przez amplitudę (u
1
’ = U
1
’), a obliczenia przy pomocy schematu zastępczego wykonuje
się rozpatrując załączenie napięcia stałego na układ elementów skupionych.
Fale padające o innych kształtach można przedstawić przy pomocy sumy fal prostokątnych przesunię-
tych w fazie korzystając z zasady superpozycji (rys. 5).
W przypadku fal prostokątnych o skończonym czasie trwania (tzw. fal samotnych) można rozpatrywać
dwie fale o przeciwnych biegunowościach i przesunięte w fazie względem siebie (rys. 6). Czas trwania fali
samotnej
∆
t związany jest z jej długością
∆
x i prędkością v przez zależność
∆
x = v
⋅
∆
t.
t
u
1
'
linia długa
u
1
'
Rys. 5. Podział fali o dowolnym kształcie na fale prostokątne oraz przebieg czasowy tej fali
∆
x
∆
t
U
1
'
-U
1
'
t
∆
x = v
⋅∆
t
-U
1
'
U
1
'
u
1
'
∆
x
Rys. 6. Fala samotna jako efekt sumowania dwóch fal o przeciwnych biegunowościach oraz prze-
bieg czasowy tych fal
7
5. Przejście fali przez węzeł z pojemnością równoległą
Na rysunku 7 przedstawiono układ dwóch linii o impedancjach Z
1
i Z
2
z pojemnością skupioną dołą-
czoną równolegle w punkcie węzłowym A oraz odpowiadający temu układowi obwód obliczeniowy Peter-
sena. Dla fal prostokątnych fala padająca określona jest jej amplitudą u
1
’ = U
1
’ i przypadek ten można
traktować jako załączenie napięcia stałego na układ elementów skupionych Z
1
, Z
2
i C.
U
2
'(s)
A
C
Z
2
Z
1
Z
1
A
Z
2
1
sC
I
2
'(s)
s
2U
1
'
W
U
1
'
Rys. 7. Układ dwóch linii z kondensatorem równoległym oraz obwód obliczeniowy Petersena dla
tego przypadku
Obliczenia fali przepuszczonej najłatwiej dokonać przy wykorzystaniu przekształcenia Laplace’a.
Transformata fali przepuszczonej napięcia wynosi
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
Z
sC
1
Z
sC
1
Z
sC
1
Z
sC
1
Z
s
'
U
2
Z
sC
1
Z
sC
1
)
s
(
'
I
)
s
(
'
U
+
⋅
⋅
+
⋅
+
=
+
⋅
⋅
=
.
(9.12)
Po uproszczeniu transformata napięcia U
2
’ wynosi
)
s
1
(
s
1
'
U
Z
Z
Z
Z
sC
1
s
1
Z
Z
Z
2
'
U
)
s
(
'
U
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
τ
+
⋅
α
=
+
+
⋅
+
⋅
=
∞
,
(9.13)
gdzie:
2
1
2
1
Z
Z
Z
Z
C
+
=
τ
-
stała czasowa ładowania pojemności C,
2
1
2
Z
Z
Z
2
+
=
α
∞
- współczynnik przepuszczania dla t
→
∞
.
Po obliczeniu transformaty odwrotnej przechodzimy do przebiegu w funkcji czasu
−
⋅
α
=
τ
−
∞
t
1
2
e
1
'
U
)
t
(
'
u
.
(9.14)
Falę odbitą napięcia możemy obliczyć z zależności (9.7)
α
−
β
=
−
=
τ
−
∞
∞
t
1
1
2
1
e
'
U
'
U
'
u
)
t
(
"
u
,
(9.15)
gdzie:
1
2
1
2
Z
Z
Z
Z
+
−
=
β
∞
.
8
Prądy w układzie można obliczyć z następujących wzorów:
−
prąd płynący przez kondensator
τ
−
⋅
=
=
t
1
1
2
'
C
2
e
CZ
'
U
2
dt
'
du
C
i
,
−
fala prądu przepuszczona na linię Z
2
2
2
'
Z
2
Z
'
u
i
2
=
,
−
fala prądu odbita od punktu A
1
1
1
Z
"
u
"
i
−
=
.
∆
x
Z
1
Z
2
c)
u
1
"
U
1
'
u
2
'
C
t
-u
2
'
-u
1
"
u
1
"
α
∞
U
1
'
u
2
'
C
t
α
∞
U
1
'
β
∞
U
1
'
u
1
"
u
b)
U
1
'
-U
1
'
∆
t
u
1
"
a)
u
U
1
'
Z
1
Z
2
d)
-U
1
'
Rys. 8. Przebiegi i rozkłady napięć w układzie z rysunku 7: a) przebieg napięcia w punkcie A dla przypadku Z
1
= Z
2
,
b) przebieg napięcia w punkcie A przy Z
2
> Z
1
i fali samotnej, c) rozkład napięcia wzdłuż linii dla pewnej chwili
czasowej przy Z
1
= Z
2
, d) rozkład napięcia wzdłuż linii dla pewnej chwili czasowej przy Z
2
> Z
1
dla przypadku tra-
fienia w węzeł samotnej fali prostokątnej. Przebiegi i rozkłady wypadkowe zakreskowano
Na rysunkach 8a i 8b przedstawiono przebiegi czasowe napięć w węźle A dla przypadku Z
1
= Z
2
oraz
dla przypadku Z
2
> Z
1
i fali samotnej.
Rysunki 8c i 8d przedstawiają rozkłady napięcia wzdłuż linii dla tych dwóch przypadków przy pew-
nych chwilach czasowych. Dla t = 0 napięcie u
2
’ = 0, natomiast dla t
→
∞
fala przepuszczona u
2
’ =
α
∞
⋅
U
1
’
(
α
∞
= 1 przy Z
1
= Z
2
). Odpowiednio fala odbita napięcia u
1
” = –U
1
’ dla t = 0 oraz u
1
” =
β
∞
⋅
U
1
’ (
β
∞
= 0 przy
Z
1
= Z
2
) dla t
→
∞
. Przy prostokątnej fali samotnej przebiegi uzyskuje się metodą superpozycji zgodnie z
rysunkiem 6 oraz rysunkami 8b i 8d.
Jak wynika z przedstawionych rozkładów, pojemność równoległa łagodzi stromość czoła fali wę-
drownej. Przy falach o krótkim czasie trwania możliwe jest również zmniejszenie ich wartości szczyto-
wej.
6. Trafienie fali na indukcyjność szeregową
W układzie z indukcyjnością skupioną wstawioną pomiędzy dwie linie o impedancjach falowych Z
1
i Z
2
występują dwa punkty węzłowe A i B (rys. 9). Brak punktu wspólnego obydwu linii zmienia relację
pomiędzy falą padającą, odbitą i przepuszczoną. Napięcie w punkcie A będzie sumą fali padającej i odbitej
u
A
= U
1
’ + u
1
”.
9
Z drugiej strony napięcie w punkcie A będzie sumą fali przepuszczonej (czyli napięcia w punkcie B) i
napięcia na indukcyjności L
u
A
= u
2
’+ u
L
,
zatem możemy napisać
U
1
’ + u
1
” = u
2
’ + u
L
.
(9.16)
Napięcia opisane małą literą są zmienne w czasie w przeciwieństwie do fali padającej mającej stałą
wartość (fala o czole prostokątnym).
s
2U
1
'
Z
2
L
B
A
Z
1
Z
2
U
1
'
U
2
'(s)
B
Z
1
I
2
'(s)
W
sL
A
Rys. 9. Układ dwóch linii z indukcyjnością szeregową oraz obwód obliczeniowy Petersena dla tego przypadku
Korzystając ze schematu obliczeniowego możemy napisać następującą zależność na transformatę fali
przepuszczonej napięcia
)
s
1
(
s
1
'
U
Z
)
sL
Z
Z
(
s
'
U
2
Z
)
s
(
'
I
)
s
(
'
U
1
2
2
1
1
2
2
2
τ
+
⋅
α
=
⋅
+
+
=
⋅
=
∞
,
(9.17)
gdzie:
2
1
Z
Z
L
+
=
τ
- stała czasowa,
2
1
2
Z
Z
Z
2
+
=
α
∞
- współczynnik przepuszczania dla stanu ustalonego.
Przebieg czasowy fali przepuszczonej ma taką samą postać jak w przypadku kondensatora
−
⋅
α
=
τ
−
∞
t
1
2
e
1
'
U
)
t
(
'
u
.
(9.18)
Transformata odwrotna prądu wynosi
−
⋅
+
=
τ
−
t
2
1
1
2
e
1
Z
Z
'
U
2
)
t
(
'
i
.
(9.19)
Napięcie na indukcyjności można obliczyć z wzoru
τ
−
⋅
=
=
t
1
2
L
e
'
U
2
dt
'
di
L
u
.
(9.20)
Falę odbitą napięcia możemy obliczyć korzystając z zależności (9.16)
⋅
−
α
+
β
=
−
+
=
−
=
τ
−
∞
∞
t
1
1
L
2
1
A
1
e
)
2
(
'
U
'
U
u
'
u
'
U
u
"
u
.
(9.21)
10
W chwili trafienia fali prostokątnej na indukcyjność przedstawia ona opór nieskończenie wielki. Toteż
przepuszczona fala napięcia ma w pierwszej chwili wartość równą zeru, zaś fala odbita wartość równą fali
nadchodzącej.
L
Z
1
A
B
∆
x
Z
1
∆
x = v·
∆
t
t
c)
u
1
"
U
1
'
u
L
u
2
'
u
2
'
∆
x
A
B
L
α
∞
U
1
'
u
1
"
Z
2
d)
t
-u
1
"
α
∞
U
1
'
-
β
∞
U
1
'
β
∞
U
1
'
-
α
∞
U
1
'
-u
L
-u
A
Z
2
< Z
1
-1 <
β
< 0
0 <
α
< 1
u
1
"
-2U
1
'
u
A
u
L
u
1
"
U
1
'
2U
1
'
u
a)
Z
2
b)
∆
t
U
1
'
-U
1
'
u
L
u
A
u
2U
1
'
u
2
'
=
u
A
−
u
L
u
A
=
u
1
"
+
U
1
'
Rys. 10. Przebiegi i rozkłady napięć w układzie z rysunku 9: a) przebieg napięcia w punktach A i B dla przypadku Z
1
= Z
2
,
b) przebieg napięcia w punktach A i B przy Z
2
< Z
1
i fali samotnej, c) rozkład napięcia wzdłuż linii dla pewnej
chwili czasowej przy Z
1
= Z
2
, d) rozkład napięcia wzdłuż linii dla pewnej chwili czasowej przy Z
2
< Z
1
dla przy-
padku przejścia samotnej fali prostokątnej przez indukcyjność szeregową
Na rysunkach 10a i 10b przedstawiono przebiegi czasowe napięć w węźle A i B dla przypadków
Z
2
= Z
1
oraz Z
2
< Z
1
. W przypadku b pokazano zastosowanie metody superpozycji dla uzyskania przebiegu
czasowego fali samotnej. Przebieg wypadkowy wynika z sumowania zjawisk dla fali dodatniej i przesu-
niętej w czasie o
∆
t fali ujemnej. Zakreskowane części wykresów dotyczą napięcia w punkcie B (napięcie
u
2
’).
Rozkłady napięcia wzdłuż linii pokazują rysunki 10c i 10d, przy czym na rysunku 10c rozkład dotyczy
chwili czasowej, w której trwa jeszcze przebieg nieustalony. Pomiędzy punktami A i B występuje jeszcze
napięcie (napięcie na indukcyjności) malejące w czasie do zera. Rysunek 10d pokazuje rozkład napięć
w liniach w chwili czasowej na tyle długiej, że fala samotna przeszła już przez punkt węzłowy zamieniając
się w całości na fale: odbitą od punktu A i przepuszczoną poza punkt B.
Z przedstawionych rozkładów wynika, że indukcyjność szeregowa łagodzi stromość czoła fali wę-
drownej. Taką funkcję spełniają dławiki przeciwprzepięciowe instalowane na podejściach linii do stacji.
Przy falach o krótkim czasie trwania możliwe jest również zmniejszenie ich wartości szczytowej.
7. Pytania kontrolne
1.
Schemat zastępczy linii długiej
2.
wyprowadzić równanie różniczkowe linii długiej i podać jego rozwiązanie
3.
Narysować dla fal wędrownych napięcia u’ i u” odpowiadające im fale prądu i’ i i”
4.
Omówić przypadek przejścia fali na inną impedancję falową
5.
Omówić przypadek linii zwartej i rozwartej i podać zakresy zmienności współczynników przepusz-
czania i odbicia fali
6.
Omówić trafienie fali na kondensator równoległy
7.
Omówić trafienie fali na indukcyjność szeregową
11
Literatura
1.
Flisowski Z.:
Technika wysokich napięć. WNT, Warszawa 2005
2.
Jakubowski J.L.:
Podstawy teorii przepięć w układach energoelektrycznych. PWN, Warszawa 1968
3.
Jałocha A.:
Technika wysokich napięć. Część II, skrypt Politechniki Łódzkiej, Łódź 1974
II. POMIARY
1. Przejście fali na inną impedancję falową
W ćwiczeniu wykonujemy pomiary wykorzystując model linii długiej złożonej z elementów L i C. Mo-
del ten stanowi linię długą o impedancji Z
1
. Parametry badanego modelu, określane zresztą w czasie ćwi-
czeń, odpowiadają hipotetycznej linii długiej nie mającej odzwierciedlenia w rzeczywistym układzie linii
przesyłowej.
Dla linii bez strat (o parametrach jednostkowych L i C) impedancja falowa jest liczbą rzeczywistą i
może być zastąpiona przez rezystancję. W ćwiczeniu wykorzystano ten fakt zastępując linię Z
2
rezystorem o
regulowanej wartości rezystancji.
1.1. Schemat układu
Schemat układu do badania przebiegów falowych w liniach długich przedstawiono na rysunku 11.
Os
1
L
C
Z
2
Os
2
G
R
Z
1
Rys. 11. Schemat układu do badania przebiegów falowych: G - generator impulsów pro-
stokątnych, R - rezystor dopasowujący, Z
1
- impedancja falowa modelu linii LC,
Z
2
= R
2
- impedancja (rezystor reprezentujący impedancję falową linii Z
2
), Os
1
, Os
2
-
oscyloskopy
Rezystor regulowany R umożliwia dopasowanie źródła impulsów do impedancji falowej linii Z
1
unie-
możliwiając odbicia fal (biegnących wstecz) od początku linii. Oscyloskop Os
2
pokazuje falę przepusz-
czoną na linię Z
2
, natomiast oscyloskop Os
1
, umieszczony na początku linii Z
1
, pokazuje przebieg wyni-
kający z sumowania się fali padającej i odbitej.
1.2. Przebieg pomiarów
Wysokość fali padającej należy dobrać tak, aby na ekranie oscyloskopu można było zmieścić falę pa-
dającą i odbitą w przypadku otwartego krańca linii (Z
2
=
∞
).
Pomiary rozpoczynamy dla linii zwartej (Z
2
= 0), a następnie kolejno zwiększamy wartość Z
2
aż do nie-
skończoności (kraniec rozwarty). Przy ustawieniu Z
1
= Z
2
występuje tzw. dopasowanie, które oznacza brak
fali odbitej od krańca linii Z
1
. Wówczas na ekranie oscyloskopu Os
2
będzie widoczna na ekranie fala prze-
puszczona równa padającej. Pomiar Z
2
(R
2
) pozwala na wyznaczenie nieznanej impedancji Z
1
.
Należy zwrócić uwagę, że początek fali odbitej jest przesunięty względem początku fali padającej o
czas przebiegu fali po linii tam i z powrotem – rejestruje to oscyloskop Os
1
.
1.3. Wyniki pomiarów i obliczeń
Należy odczytać z oscyloskopu (w mm) amplitudę fali padającej, odbitej i przepuszczonej wiedząc, że
suma fal padającej i odbitej daje falę przepuszczoną
12
U
1
’ + U
1
” = U
2
’.
Należy obliczyć współczynniki odbicia i przepuszczania fali dla różnych wartości impedancji falowych
linii Z
2
ze stosunku amplitud fal odczytanych z ekranu oscyloskopu
'
U
"
U
1
1
=
β
,
'
U
'
U
1
2
=
α
,
oraz z wzorów
1
2
2
Z
Z
Z
2
+
=
α
,
1
2
1
2
Z
Z
Z
Z
+
−
=
β
,
dla Z
2
→
∞
potrzebna jest inna postać wzorów
2
1
Z
Z
1
2
+
=
α
,
2
1
2
1
Z
Z
1
Z
Z
1
+
−
=
β
a wyniki pomiarów i obliczeń przedstawić w tabeli 2.
Tabela 2. Przejście fali na inną impedancję falową – wyniki pomiarów i obliczeń
Lp.
Z
2
Z
1
/Z
2
Fala
padająca, U
1
’
Fala przepusz-
czona, U
2
’
Fala
odbita, U
1
”
Współczynniki
z oscyloskopu
Współczynniki
obliczone
–
Ω
mm
mm
mm
α
β
α
β
1
0
∞
2
3
4
1.4. Opracowanie wyników pomiarów
−
obliczyć impedancję falową linii Z
1
wykorzystując stan dopasowania Z
1
= Z
2
,
−
określić (z oscyloskopu Os
1
) czas przebiegu fali przez linię Z
1
,
−
obliczyć długość linii Z
1
przyjmując prędkość fali v = 300 m/
µ
s,
−
obliczyć parametry jednostkowe L
0
i C
0
linii Z
1
,
−
wykreślić przebieg fali napięciowej na początku linii Z
1
dla przypadku rozwartego jej końca,
−
wykreślić zależności
α
=f(Z
1
/Z
2
) oraz
β
= f(Z
1
/Z
2
) na wspólnym wykresie.
2. Trafienie fali na kondensator równoległy
2.1. Schemat układu
Os
2
C
L
Os
1
Z
2
C
2
R
Z
1
G
Rys. 12. Schemat układu do badania wpływu pojemności równoległej na zjawiska falowe: C
2
- konden-
sator dekadowy (pozostałe oznaczenia jak na rysunku 11)
13
2.2. Przebieg pomiarów
Pomiary wykonujemy przy dopasowaniu impedancji falowych linii, tzn. dla przypadku Z
1
= Z
2
. Do
punktu węzłowego dwóch linii przyłączamy kondensator dekadowy C
2
. Dla różnych wartości pojemności
obserwujemy przebiegi napięcia na oscyloskopach Os
1
i Os
2
.
W ćwiczeniu należy, dla kilku wybranych pojemności, zmierzyć stałą czasową ładowania kondensatora
bezpośrednio na ekranie oscyloskopu. Dla przypomnienia – stałą czasową wyznacza czas potrzebny do
naładowania kondensatora do wartości 0,63
⋅
U
max
.
Dla tych samych pojemności należy obliczyć stałą czasową korzystając z zależności
2
1
2
1
2
Z
Z
Z
Z
C
+
⋅
=
τ
.
Wyniki pomiarów i obliczeń przedstawić w tabeli 3.
Tabela 3. Wyniki pomiarów i obliczeń dla przypadku
trafienia fali na kondensator równoległy
Lp.
C
2
Stała czasowa,
τ
[
µ
s]
–
µ
F
zmierzona
obliczona
1
2
3
4
3. Trafienie fali na indukcyjność szeregową
3.1. Schemat układu
L
2
Os
1
L
C
Os
2
Z
2
G
R
Z
1
Rys. 14. Schemat układu do badania wpływu indukcyjności szeregowej na zjawiska falowe: L
2
- indukcyjność
dekadowa (pozostałe oznaczenia jak na rysunku 11)
3.2. Przebieg pomiarów
Indukcyjność dekadową L
2
włączamy pomiędzy dwie linie Z
1
i Z
2
, przy czym ustawiamy Z
2
= Z
1
(stan
dopasowania).
W ćwiczeniu należy przeprowadzić obserwację wpływu indukcyjności na stromość fali przepuszczonej
(oscyloskop Os
2
). Podobnie jak w punkcie poprzednim należy pomierzyć i obliczyć stałą czasową dla kil-
ku wybranych indukcyjności. Obliczenia przeprowadzić korzystając z wzoru
2
1
Z
Z
L
+
=
τ
.
0,63
t
fala padająca
fala przepuszczona
0
τ
u/U
max
0,5
1,0
Rys. 13. Przebieg sumy fal: padającej i odbitej na początku
linii obciążonej równoległą pojemnością skupio-
ną i linią o impedancji Z
2
= Z
1
14
W celu zmierzenia stałej czasowej należy wyko-
rzystać znaczniki podstawy czasu w oscyloskopie Os
1
.
Wyniki pomiarów i obliczeń przedstawić w tabeli 4.
Tabela 4. Wyniki pomiarów i obliczeń dla przypadku
trafienia fali na indukcyjność szeregową
Lp.
L
2
Stała czasowa,
τ
[
µ
s]
–
H
zmierzona
obliczona
1
2
3
4
4. Wnioski
Wnioski powinny zawierać uwagi oraz własne spostrzeżenia dotyczące przebiegu ćwiczenia i otrzyma-
nych wyników badań. Należy omówić wpływ pojemności równoległej i indukcyjności szeregowej na
przebiegi fali przepuszczonej i odbitej. W przypadku wystąpienia rozbieżności między otrzymanymi wy-
nikami i danymi literaturowymi należy wskazać źródło tych rozbieżności.
Rys. 15. Przebieg sumy fal: padającej i odbitej na początku linii
obciążonej skupioną indukcyjnością szeregową i linią
o impedancji Z
2
= Z
1
1,37
1,0
fala padająca
t
0,5
0
τ
2,0
1,5
u/U
max
fala odbita