www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
+
19
MARCA
2011
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
.)
Wska ˙z nierówno´s´c, która opisuje sum˛e przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.
-43
x
31
A)
|
6
−
x
| >
37
B)
|
6
+
x
| >
37
C)
|
6
−
x
| >
74
D)
|
12
+
x
| >
74
R
OZWI ˛
AZANIE
Skorzystamy z interpretacji geometrycznej zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci:
|
x
−
a
| >
b.
Zbiór ten składa si˛e z liczb, które s ˛
a odległe (na osi liczbowej) od liczby a o nie mniej ni ˙z b.
´Srodkiem przedziału o ko ´ncach -43 i 31 jest x
=
−
43
+
31
2
= −
6 i punkt ten jest odległy
od -43 (oraz od 31) o 37. Zatem zaznaczony zbiór to zbiór liczb, które s ˛
a odległe od -6 o co
najmniej 37.
-43
x
31
-6
Zbiór ten jest wi˛ec rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
|
x
+
6
| >
37,
która jest równowa ˙zna nierówno´sci
|
6
+
x
| >
37.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
2
(1
PKT
.)
Zmieszano 15 g 20% roztworu z 25 g 12% roztworu. St˛e ˙zenie procentowe otrzymanego roz-
tworu jest równe
A) 15%
B) 14%
C) 16%
D) 18%
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
15
·
20%
+
25
·
12%
15
+
25
=
15
·
20
100
+
25
·
12
100
40
=
3
+
3
40
=
15%.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
3
(1
PKT
.)
Ró ˙znica log
√
3
17
−
log
√
3
51 jest równa
A) -2
B)
1
2
C) 2
D)
−
1
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy ze wzoru na logarytm ilorazu.
log
√
3
17
−
log
√
3
51
=
log
√
3
17
51
=
log
√
3
1
3
=
=
log
√
3
3
−
1
=
log
√
3
(
√
3
)
−
2
= −
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
4
(1
PKT
.)
Połowa liczby 4
111
to
A) 2
111
B) 2
55,5
C) 4
55,5
D) 2
221
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
4
111
2
=
2
222
2
=
2
222
−
1
=
2
221
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
5
(1
PKT
.)
Wyra ˙zenie 27x
6
+
8x
9
mo ˙zna zapisa´c w postaci
A)
(
3x
2
−
2x
3
)(
9x
4
+
6x
5
+
4x
6
)
B)
(
3x
2
+
2x
3
)(
9x
4
−
6x
5
+
4x
6
)
C)
(
3x
2
+
2x
3
)(
9x
4
−
12x
5
+
4x
6
)
D)
(
3x
2
−
2x
3
)(
9x
4
+
12x
5
+
4x
6
)
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru skróconego mno ˙zenia
a
3
+
b
3
= (
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
)
.
Mamy zatem
27x
6
+
8x
9
= (
3x
2
)
3
+ (
2x
3
)
3
=
= (
3x
2
+
2x
3
)
(
3x
2
)
2
− (
3x
2
)(
2x
3
) + (
2x
3
)
2
=
= (
3x
2
+
2x
3
)(
9x
4
−
6x
5
+
4x
6
)
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
6
(1
PKT
.)
Rozwi ˛
azaniem równania
3x
−
1
7x
+
1
=
5
−
3x
2
−
7x
jest
A) x
= −
7
19
B) x
=
3
19
C) x
= −
3
19
D) x
=
3
46
R
OZWI ˛
AZANIE
Oczywi´scie mianowniki musz ˛
a by´c niezerowe, czyli x
6= −
1
7
i x
6=
2
7
.
Przekształcamy równanie
3x
−
1
7x
+
1
=
5
−
3x
2
−
7x
/
· (
7x
+
1
)(
2
−
7x
)
(
3x
−
1
)(
2
−
7x
) = (
5
−
3x
)(
7x
+
1
)
6x
−
21x
2
−
2
+
7x
=
35x
+
5
−
21x
2
−
3x
−
7
=
19x
/ : 19
x
= −
7
19
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
7
(1
PKT
.)
Zbiorem rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
(
x
2
+
2
)(
1
−
x
2
) 6
0 jest
A)
h−
2, 1
i
B)
h−
1, 1
i
C)
(−
∞,
−
1
i ∪ h
1,
+
∞
)
D)
(−
∞,
−
2
i ∪ h
1,
+
∞
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Wyra ˙zenie w pierwszym nawiasie jest zawsze dodatnie, wi˛ec wystarczy zajmowa´c si˛e nie-
równo´sci ˛
a
1
−
x
2
6
0
/
· (−
1
)
x
2
−
1
>
0
(
x
−
1
)(
x
+
1
) >
0
x
∈ (−
∞,
−
1
i ∪ h
1,
+
∞
)
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(1
PKT
.)
Proste o równaniach l : 3x
−
2y
=
5 i k :
(
m
−
1
)
x
+
y
=
4 s ˛
a równoległe. Wynika st ˛
ad, ˙ze
A) m
=
5
2
B) m
=
1
2
C) m
= −
1
2
D) m
= −
5
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Przypomnijmy, ˙ze dwie proste y
=
a
1
x
+
b
1
i y
=
a
2
x
+
b
2
s ˛
a równoległe je ˙zeli maj ˛
a równe
współczynniki kierunkowe a
1
=
a
2
.
Przekształ´cmy podane równania prostych tak, aby było wida´c jakie s ˛
a ich współczynniki
kierunkowe.
3x
−
2y
=
5
⇒
y
=
3
2
x
−
5
2
(
m
−
1
)
x
+
y
=
4
⇒
y
= −(
m
−
1
)
x
+
4.
Zatem musi by´c spełniony warunek
3
2
= −(
m
−
1
)
3
2
= −
m
+
1
m
= −
1
2
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
9
(1
PKT
.)
Wierzchołek paraboli o równaniu y
= −
2
((
x
+
2
)
2
+
2
)
ma współrz˛edne
A)
(−
2,
−
2
)
B)
(−
2, 2
)
C)
(
2,
−
2
)
D)
(−
2,
−
4
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy z postaci kanonicznej
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
funkcji kwadratowej. W powy ˙zszym wzorze
(
x
w
, y
w
)
s ˛
a współrz˛ednymi wierzchołka para-
boli. W naszej sytuacji mamy
y
= −
2
(
x
+
2
)
2
−
4
= −
2
(
x
− (−
2
))
2
−
4,
czyli wierzchołek ma współrz˛edne
(−
2,
−
4
)
.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(1
PKT
.)
Na rysunku poni ˙zej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej f .
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Funkcja to mo ˙ze by´c okre´slona wzorem
A) y
=
√
2x
+
1
B) y
= −
√
2x
+
1
C) y
=
1
√
2
x
+
1
D) y
= −
1
√
2
x
+
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Funkcja przedstawiona na wykresie jest malej ˛
aca, wi˛ec musi to by´c y
= −
√
2x
+
1 lub y
=
−
1
√
2
x
+
1. Policzmy np. f
(
2
)
w obu przypadkach.
−
2
√
2
+
1
≈ −
1, 8
−
2
√
2
+
1
≈ −
0, 4.
Teraz patrzymy na wykres i widzimy, ˙ze warto´s´c w 2 jest bliska -2, wi˛ec musi to by´c wykres
y
= −
√
2x
+
1.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
11
(1
PKT
.)
Funkcja
1
f
(
x
)
jest okre´slona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i nie przyjmuje warto´sci
dodatnich. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f ?
+4
+2
-3
-4
-2
+4
+3
+2
-5
-1
-3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
+2
+3
+4
-2
-3
-4
+2
+3
+4
-2
-3
-4
+2
+3
+4
-2
-3
-4
+2
+3
+4
-2
-3
-4
-4
-2
+4
+3
+2
+1
-3
-4
-2
+4
+2
-3
-4
-2
+1
+1
+1
A)
B)
C)
D)
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze funkcje z wykresów B) i C) maj ˛
a dwa miejsca zerowe, wi˛ec w tych przypad-
kach dziedzin ˛
a funkcji
1
f
(
x
)
nie b˛edzie
R (do dziedziny nie nale˙z ˛a miejsca zerowe mianow-
nika).
Ponadto liczby
1
f
(
x
)
i f
(
x
)
zawsze maj ˛
a ten sam znak, wi˛ec warto´sci funkcji f
(
x
)
musz ˛
a
by´c ujemne.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
12
(1
PKT
.)
Wyrazami ci ˛
agu
(
a
n
)
danego wzorem a
n
= (−
10
)
n
(
n
+
2
)
A) s ˛
a zawsze liczby mniejsze od 1
B) s ˛
a zawsze liczby dodatnie
C) s ˛
a zawsze liczby ujemne
D) s ˛
a zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
a
1
= (−
10
)
3
= −
1000
a
2
= (−
10
)
8
=
10
8
.
Wida´c zatem, ˙ze wyrazami ci ˛
agu mog ˛
a by´c zarówno liczby ujemne jak i dodatnie.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
13
(1
PKT
.)
Liczba n jest liczb ˛
a naturaln ˛
a wi˛eksz ˛
a od 2 i
n
+
2
n
−
2
jest liczb ˛
a naturaln ˛
a. Z tego wynika, ˙ze
liczb ˛
a naturaln ˛
a jest równie ˙z liczba
A)
12
n
B)
6
n
+
1
C)
2
n
+
3
D)
10
n
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy podany iloraz
n
+
2
n
−
2
=
n
−
2
+
4
n
−
2
=
1
+
4
n
−
2
.
Poniewa ˙z
n
+
2
n
−
2
jest liczb ˛
a naturaln ˛
a, wi˛ec n
−
2 musi dzieli´c 4. Jedynymi dodatnimi dzielni-
kami 4 s ˛
a 1, 2 i 4, wi˛ec
n
−
2
=
1
lub
n
−
2
=
2
lub
n
−
2
=
4
n
=
3
lub
n
=
4
lub
n
=
6.
Wszystkie otrzymane liczby to dzielniki 12, wi˛ec naturalna b˛edzie liczba
12
n
.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
14
(1
PKT
.)
Wybieramy liczb˛e a ze zbioru A
= {
2, 3, 4, 5, 6
}
oraz liczb˛e b ze zbioru B
= {
1, 2, 3
}
. Ile jest
takich par
(
a, b
)
, ˙ze iloczyn a
·
b jest liczb ˛
a parzyst ˛
a?
A) 11
B) 21
C) 5
D) 9
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli iloczyn ma by´c liczb ˛
a parzyst ˛
a to przynajmniej jedna z wylosowanych liczb musi by´c
parzysta.
Z pierwszego zbioru mo ˙zemy wybra´c liczb˛e parzyst ˛
a na 3 sposoby i wtedy liczba z dru-
giego zbioru jest dowolna. Jest wi˛ec
3
·
3
=
9
takich par.
Je ˙zeli natomiast z pierwszego zbioru wybierzemy liczb˛e nieparzyst ˛
a (mo ˙zemy to zrobi´c
na 2 sposoby), to z drugiego zbioru musimy wybra´c liczb˛e parzyst ˛
a, czyli 2. S ˛
a wi˛ec 2 takie
pary.
W sumie jest wi˛ec
9
+
2
=
11
takich par.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
15
(1
PKT
.)
Boki AB, BC, CD, DA czworok ˛
ata ABCD s ˛
a odpowiednio zawarte w prostych o równaniach
3x
−
2y
+
2
=
0, 2x
+
5y
=
3, y
=
x
+
5, 5y
= −
2x
+
2. Wtedy czworok ˛
at ABCD
A) jest równoległobokiem, który nie jest rombem
B) jest rombem
C) jest trapezem, który nie jest równoległobokiem
D) nie jest trapezem
R
OZWI ˛
AZANIE
Współczynniki kierunkowe kolejnych boków czworok ˛
ata to
3
2
,
−
2
5
, 1,
−
2
5
. To oznacza, ˙ze bo-
ki BC i DA s ˛
a równoległe, a boki AB i CD nie s ˛
a równoległe. Jest to wi˛ec trapez, który nie
jest równoległobokiem.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
16
(1
PKT
.)
K ˛
at α jest ostry oraz cos α
=
4
+
2
√
2
6
+
3
√
2
. Wtedy sin α jest równy
A)
√
5
3
B)
√
3
5
C)
√
13
3
D)
√
2
+
2
3
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze
cos α
=
4
+
2
√
2
6
+
3
√
2
=
2
(
2
+
√
2
)
3
(
2
+
√
2
)
=
2
3
.
Zatem (z jedynki trygonometrycznej)
sin α
=
p
1
−
cos
2
α
=
r
1
−
4
9
=
r
5
9
=
√
5
3
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
17
(1
PKT
.)
Punkty A, B i C le ˙z ˛
a na okr˛egu o ´srodku S (zobacz rysunek).
110
o
A
B
C
S
Miara zaznaczonego k ˛
ata wpisanego ACB jest równa
A) 125
◦
B) 110
◦
C) 55
◦
D) 70
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Korzystamy z faktu, ˙ze k ˛
at ´srodkowy jest dwa razy wi˛ekszy od k ˛
ata wpisanego opartego na
tym samym łuku (na danym obrazku jest to łuk AMB).
250
o
A
B
C
S
M
110
o
A
B
C
S
D
55
o
Zatem
]
ACB
=
1
2
]
ASB
=
1
2
(
360
◦
−
110
◦
) =
1
2
·
250
◦
=
125
◦
.
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Je ˙zeli nie chcemy posługiwa´c si˛e k ˛
atami wkl˛esłymi to dorysujmy punkt D na na okr˛egu.
Wtedy
]
ADB
=
1
2
]
ASB
=
1
2
·
110
◦
=
55
◦
.
Zatem
]
ACB
=
180
◦
− ]
ADB
=
180
◦
−
55
◦
=
125
◦
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
18
(1
PKT
.)
Przek ˛
atne trapezu ABCD przecinaj ˛
a si˛e w punkcie P w ten sposób, ˙ze
|
AP
| =
12,
|
CP
| =
8,
|
DP
| =
6. Długo´s´c odcinka BP jest równa
A) 18
B) 16
C) 9
D) 8
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy oczywi´scie od szkicowego rysunku.
A
B
C
P
D
12
6
8
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
aty ABP i CDP s ˛
a podobne (bo maj ˛
a równe k ˛
aty). Zatem
AP
BP
=
CP
DP
12
BP
=
8
6
=
4
3
BP
=
12
·
3
4
=
9.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
19
(1
PKT
.)
Suma długo´sci wszystkich kraw˛edzi i wszystkich przek ˛
atnych ´scian sze´scianu jest równa
24
+
24
√
2. Jaka jest obj˛eto´s´c tego sze´scianu?
A) 8
B) 27
C) 64
D) 96
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli naszkicujemy sze´scian to widzimy, ˙ze ma on 12 kraw˛edzi oraz 12 przek ˛
atnych ´scian
(po dwie na ka ˙zdej ´scianie).
Je ˙zeli wi˛ec oznaczymy przez a długo´s´c kraw˛edzi sze´scianu to mamy równanie
12a
+
12a
√
2
=
24
+
24
√
2
⇒
a
=
2.
Zatem obj˛eto´s´c sze´scianu jest równa
a
3
=
8.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
20
(1
PKT
.)
Prawdopodobie ´nstwo zdarzenia A jest o 0,1 wi˛eksze od połowy prawdopodobie ´nstwa zda-
rzenia przeciwnego do A. Zatem P
(
A
)
jest równe
A) 0,6
B)
4
15
C) 0,4
D)
11
15
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli oznaczymy szukane prawdopodobie ´nstwo przez p to mamy równanie
p
=
1
−
p
2
+
0, 1
/
·
2
2p
=
1
−
p
+
0, 2
3p
=
1, 2
⇒
p
=
0, 4.
Odpowied´z: C
Zadania otwarte
Z
ADANIE
21
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c
(
x
2
−
7x
)(
1
−
x
) >
77
−
11x
−
x
3
+
7x
2
.
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształcamy dan ˛
a nierówno´s´c
(
x
2
−
7x
)(
1
−
x
) >
77
−
11x
−
x
3
+
7x
2
x
2
−
7x
−
x
3
+
7x
2
>
77
−
11x
−
x
3
+
7x
2
x
2
−
7x
+
11x
−
77
>
0
x
(
x
−
7
) +
11
(
x
−
7
) >
0
(
x
+
11
)(
x
−
7
) >
0
x
∈ (−
∞,
−
11
i ∪ h
7,
+
∞
)
.
Oczywi´scie mogli´smy te ˙z liczy´c z
∆-y.
Odpowied´z: x
∈ (−
∞,
−
11
i ∪ h
7,
+
∞
)
Z
ADANIE
22
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
5
−
4x
3
−
8x
2
+
32
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze mo ˙zna wył ˛
aczy´c
(
x
2
−
4
)
przed nawias.
x
5
−
4x
3
−
8x
2
+
32
=
x
3
(
x
2
−
4
) −
8
(
x
2
−
4
) = (
x
2
−
4
)(
x
3
−
8
) =
= (
x
−
2
)(
x
+
2
)(
x
−
2
)(
x
2
+
2x
+
4
)
.
Wida´c teraz, ˙ze równanie ma 2 rozwi ˛
azania: x
= −
2 i x
=
2 (trójmian w ostatnim nawiasie
nie ma pierwiastków).
Odpowied´z: x
∈ {−
2, 2
}
Z
ADANIE
23
(2
PKT
.)
K ˛
ata α jest ostry oraz 12 sin α
−
5 cos α
=
0. Oblicz
cos α
1
+
cos α
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Przekształ´cmy dan ˛
a równo´s´c korzystaj ˛
ac z jedynki trygonometrycznej.
12 sin α
−
5 cos α
=
0
12 sin α
=
5 cos α
/
()
2
144 sin
2
α
=
25 cos
2
α
144
(
1
−
cos
2
α
) =
25 cos
2
α
144
−
144 cos
2
α
=
25 cos
2
α
144
=
169 cos
2
α
/ : 169
cos
2
α
=
144
169
cos α
= ±
12
13
.
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Poniewa ˙z α jest k ˛
atem ostrym mamy st ˛
ad cos α
=
12
13
. Zatem
cos α
1
+
cos α
=
12
13
1
+
12
13
=
12
13
25
13
=
12
25
.
Sposób II
Zauwa ˙zmy, ˙ze dan ˛
a równo´s´c mo ˙zemy zapisa´c w postaci
12 sin α
=
5 cos α
sin α
cos α
=
5
12
tg α
=
5
12
.
Aby obliczy´c cos α rysujemy trójk ˛
at prostok ˛
atny o przyprostok ˛
atnych długo´sci 5 i 12 i obli-
czamy z twierdzenia Pitagorasa długo´s´c przeciwprostok ˛
atnej.
5
12
A
B
C
α
Liczymy
BC
=
p
AB
2
+
AC
2
=
√
144
+
25
=
√
169
=
13.
Zatem cos α
=
AB
BC
=
12
13
i
cos α
1
+
cos α
=
12
13
1
+
12
13
=
12
13
25
13
=
12
25
.
Odpowied´z:
12
25
Z
ADANIE
24
(2
PKT
.)
Rzucamy trzy razy kostk ˛
a do gry. Oblicz prawdopodobie ´nstwo zdarzenia polegaj ˛
acego na
tym, ˙ze w trzecim rzucie otrzymamy dwa razy wi˛ecej oczek ni ˙z w pierwszym rzucie.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Przyjmijmy za zdarzenia elementarne uporz ˛
adkowane trójki wylosowanych liczb. Zatem
|
Ω
| =
6
·
6
·
6
=
6
3
.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zauwa ˙zmy, ˙ze liczba oczek na trzeciej kostce jest jednoznacznie wyznaczona przez liczb˛e
oczek na pierwszej kostce, a liczba oczek na drugiej kostce jest zupełnie dowolna. Ponadto
liczba oczek na pierwszej kostce nie mo ˙ze by´c wi˛eksza ni ˙z 3 (bo na trzeciej kostce nie mo ˙ze
by´c 2
·
4
=
8). Zatem jest
6
·
3
zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych i prawdopodobie ´nstwo wynosi
6
·
3
6
3
=
3
6
2
=
1
12
.
Sposób II
Zauwa ˙zmy, ˙ze w ogóle nie interesuje nas wynik otrzymany na drugiej kostce, wi˛ec nie bierz-
my jej pod uwag˛e. Mamy zatem
|
Ω
| =
6
·
6
=
36.
Na pierwszej kostce musi by´c jedna z liczb: 1,2,3. Na trzeciej kostce nie mamy ˙zadnego
wyboru, wi˛ec prawdopodobie ´nstwo wynosi
3
36
=
1
12
.
Odpowied´z:
1
12
Z
ADANIE
25
(2
PKT
.)
Oblicz promie ´n okr˛egu opisanego na trójk ˛
acie o wierzchołkach A
= (
2,
−
1
)
, B
= (
4, 5
)
, C
=
(−
1, 0
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli naszkicujemy podany trójk ˛
at to rzuca si˛e w oczy, ˙ze jest on prostok ˛
atny.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
B
A
C
S
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sprawd´zmy to
AB
2
= (
4
−
2
)
2
+ (
5
+
1
)
2
=
4
+
36
=
40
BC
2
= (−
1
−
4
)
2
+ (
0
−
5
)
2
=
25
+
25
=
50
CA
2
= (
2
+
1
)
2
+ (−
1
−
0
)
2
=
9
+
1
=
10.
Zatem
AB
2
+
CA
2
=
BC
2
,
co oznacza, ˙ze k ˛
at przy wierzchołku A jest prosty. Poniewa ˙z ´srodkiem okr˛egu opisanego na
trójk ˛
acie prostok ˛
atnym jest ´srodek przeciwprostok ˛
atnej, promie ´n tego okr˛egu jest równy
R
=
BC
2
=
√
50
2
=
5
√
2
2
.
Odpowied´z: R
=
5
√
2
2
Z
ADANIE
26
(2
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze liczba 2
9
+
5
9
jest podzielna przez 133.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na sum˛e sze´scianów
a
3
+
b
3
= (
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
)
.
Mamy wi˛ec
2
9
+
5
9
= (
2
3
)
3
+ (
5
3
)
3
=
8
3
+
125
3
=
= (
8
+
125
)(
8
2
−
8
·
125
+
125
2
) =
133
(
8
2
−
8
·
125
+
125
2
)
.
Wida´c, ˙ze jest to liczba podzielna przez 133.
Sposób II
Obie liczby s ˛
a w zasi˛egu kalkulatora:
2
9
+
5
9
=
512
+
1953125
=
1953637
=
133
·
14689.
Z
ADANIE
27
(2
PKT
.)
Przez ´srodek S okr˛egu wpisanego w trójk ˛
at ABC poprowadzono prost ˛
a równoległ ˛
a do boku
AB, która przecina boki CA i CB odpowiednio w punktach E i D.
Wyka ˙z, ˙ze
|
ED
| = |
EA
| + |
DB
|
.
A
B
C
D
E
S
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy odcinki AS i BS.
A
B
C
D
E
S
Poniewa ˙z S jest ´srodkiem okr˛egu wpisanego w trójk ˛
at ABC, odcinki AS i BS s ˛
a zawarte
w dwusiecznych k ˛
atów A i B. Zatem
]
SAB
= ]
SAE oraz
]
SBA
= ]
SBD. Ponadto, z
równoległo´sci odcinków ED i AB mamy
]
ESA
= ]
SAB
= ]
SAE
]
DSB
= ]
SBA
= ]
SBD.
To oznacza, ˙ze trójk ˛
aty ASE i BDS s ˛
a równoramienne, czyli
EA
=
ES
DB
=
DS.
St ˛
ad
ED
=
ES
+
DS
=
EA
+
DB.
Z
ADANIE
28
(5
PKT
.)
W ostrosłupie prawidłowym trójk ˛
atnym kraw˛ed´z boczna ma długo´s´c 6, a pole ´sciany bocz-
nej jest równe 9
√
3. Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
α
a
a
A
B
C
D
E
6
6
6
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Aby wykorzysta´c podan ˛
a informacj˛e o polu powierzchni ´sciany bocznej piszemy dla
´sciany ABD wzór na pole z sinusem.
9
√
3
=
1
2
·
6
·
6
·
sin α
=
18 sin α
⇒
sin α
=
9
√
3
18
=
√
3
2
.
Zatem α
=
60
◦
, co oznacza, ˙ze ´sciany boczne to trójk ˛
aty równoboczne.
Wysoko´s´c ostrosłupa wyliczymy z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego EBD – zanim jednak to zro-
bimy, wyliczmy długo´s´c odcinka EB. Stanowi on
2
3
wysoko´sci podstawy, wiec ze wzoru na
wysoko´s´c w trójk ˛
acie równobocznym mamy
EB
=
2
3
·
a
√
3
2
=
a
√
3
3
=
2
√
3.
St ˛
ad
DE
=
p
BD
2
−
EB
2
=
√
36
−
12
=
√
24
=
2
√
6.
Obj˛eto´s´c ostrosłupa jet wi˛ec równa
V
=
1
3
P
p
·
DE
=
1
3
·
a
2
√
3
4
·
DE
=
1
3
·
9
√
3
·
2
√
6
=
18
√
2.
Odpowied´z: 18
√
2
Z
ADANIE
29
(5
PKT
.)
Ci ˛
ag
(
15, x, 5
+
y
)
jest arytmetyczny, natomiast ci ˛
ag
(
x, y, 20
)
jest geometryczny. Oblicz x
oraz y i podaj ten ci ˛
ag geometryczny.
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli liczby a, b, c s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego to 2b
=
a
+
c. Je ˙zeli s ˛
a
kolejnymi wyrazami ci ˛
agu geometrycznego to b
2
=
ac. Mamy zatem układ równa ´n
(
2x
=
15
+
5
+
y
=
y
+
20
y
2
=
20x.
Podstawiaj ˛
ac warto´s´c y
=
2x
−
20 z pierwszego równania do drugiego mamy
(
2x
−
20
)
2
=
20x
4x
2
−
80x
+
400
=
20x
/ : 4
x
2
−
25x
+
100
=
0
∆
=
25
2
−
400
=
625
−
400
=
225
=
15
2
x
=
25
−
15
2
=
5
∨
x
=
25
+
15
2
=
20.
Mamy wtedy odpowiednio y
=
2x
−
20
= −
10 i y
=
20, co daje dwa ci ˛
agi
(
x, y, 20
) =
(
5,
−
10, 20
)
i
(
x, y, 20
) = (
20, 20, 20
)
.
Odpowied´z:
(
x, y, 20
) = (
5,
−
10, 20
)
lub
(
x, y, 20
) = (
20, 20, 20
)
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
30
(6
PKT
.)
Boki trójk ˛
ata ABC s ˛
a zawarte w prostych o równaniach AB : y
=
x
+
2, BC : y
= −
1
3
x
+
26
3
i CA : y
=
2x
+
11. Wyznacz współrz˛edne ´srodka okr˛egu opisanego na trójk ˛
acie ABC.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
-10
-2
+2
+10
x
-10
-2
+2
+10
y
C
B
A
S
D
E
Aby wyznaczy´c ´srodek okr˛egu opisanego napiszemy równania dwóch symetralnych bo-
ków trójk ˛
ata ABC i znajdziemy ich punkt wspólny.
Zanim to jednak zrobimy wyznaczmy punkty wspólne podanych prostych.
(
y
=
x
+
2
y
= −
1
3
x
+
26
3
Odejmuj ˛
ac od pierwszego równania drugie mamy
0
=
x
+
1
3
x
+
2
−
26
3
/
·
3
0
=
4x
−
20
⇒
x
=
5.
Zatem y
=
x
+
2
=
7 i B
= (
5, 7
)
.
Kolejne dwie proste
(
y
=
x
+
2
y
=
2x
+
11.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
0
=
x
+
9
⇒
x
= −
9.
Zatem y
=
x
+
2
= −
7 i A
= (−
9,
−
7
)
.
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Jeszcze współrz˛edne punktu C.
(
y
= −
1
3
x
+
26
3
y
=
2x
+
11.
Odejmujemy do drugiego równania pierwsze.
0
=
2x
+
1
3
x
+
11
−
26
3
/
·
3
0
=
6x
+
x
+
33
−
26
7x
= −
7
⇒
x
= −
1.
St ˛
ad y
=
2x
+
11
=
9 i C
= (−
1, 9
)
.
´Srodki boków AB i AC trójk ˛ata ABC maj ˛a współrz˛edne
D
=
−
9
+
5
2
,
−
7
+
7
2
= (−
2, 0
)
E
=
−
9
−
1
2
,
−
7
+
9
2
= (−
5, 1
)
.
Chcemy teraz napisa´c równanie prostej prostopadłej do AB i przechodz ˛
acej przez D. Wiemy,
˙ze prosta AB ma współczynnik kierunkowy 1, wi˛ec prosta SD musi by´c postaci y
= −
x
+
b.
Współczynnik b wyznaczamy podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu D.
0
=
2
+
b
⇒
b
= −
2.
Zatem prosta SD ma równanie y
= −
x
−
2.
Analogicznie wyznaczamy równanie symetralnej SE boku AC. Ma ona posta´c y
= −
1
2
x
+
b i b wyliczamy podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu E.
1
=
5
2
+
b
⇒
b
= −
3
2
.
Zatem prosta SE ma równanie y
= −
1
2
x
−
3
2
.
Szukamy teraz punktu wspólnego dwóch symetralnych, czyli współrz˛ednych punktu S.
(
y
= −
x
−
2
y
= −
1
2
x
−
3
2
.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
0
=
1
2
x
−
1
2
⇒
x
= −
1.
Zatem y
= −
x
−
2
= −
1 i S
= (−
1,
−
1
)
.
Odpowied´z:
(−
1,
−
1
)
Materiał pobrany z serwisu
18
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
polski poziom podstawowy rozwia Nieznany
Podstawowe rozwiązania w zakresie publicznego prawa bankowego, FINANSE PUBLICZNE JĘDRZEJEWSKI
GEOGRAFIA MAJ 2007 Podstawowy rozwiązania
podstawowy rozwiązanie
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
2008 Poziom podstawowy rozwiązania
GEOGRAFIA MAJ 2007 Podstawowy rozwiązania
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
2007 Poziom podstawowy rozwiązania
Rozwiazanie Testu SP, ^ Turystyka i Rekreacja GWSH Katowice, 3 semestr, podstawy przedsiebiorcz
4 egzaminy z rozwiązaniami na podstawie notatek Pytlika, Zawiślińskiej i internetu
Egzamin semestralny z przedmiotu PODSTAWY TURYSTYKI rozwiązania
automatyka i robotyka-rozwiazania, Politechnika Wrocławska - Materiały, podstawy automatyki i roboty
więcej podobnych podstron