www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
19
MARCA
2011
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
.)
Na koncert sprzedano 680 biletów, w tym 306 na miejsca siedz ˛
ace. Jaki procent sprzedanych
biletów stanowiły bilety na miejsca siedz ˛
ace?
A) 63%
B) 45%
C) 33%
D) 22%
R
OZWI ˛
AZANIE
Bilety na miejsca siedz ˛
ace stanowiły
306
680
=
0, 45
=
45%
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
2
(1
PKT
.)
Wynikiem działania
q
50
3
p
4
4
√
16 jest
A) 100
B) 20
C) 10
D) 15
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
r
50
3
q
4
4
√
16
=
r
50
3
q
4
4
√
2
4
=
q
50
3
√
8
=
q
50
3
√
2
3
=
√
100
=
10.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
.)
Przedział
(−
4, 4
)
jest zbiorem liczb spełniaj ˛
acych nierówno´s´c
A)
|
x
| >
4
B)
|
x
| 6
4
C)
|
x
| >
4
D)
|
x
| <
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
|
x
| <
4
s ˛
a liczby spełniaj ˛
ace nierówno´s´c
−
4
<
x
<
4,
czyli liczby z danego przedziału
(−
4, 4
)
.
Odpowied´z: D
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(1
PKT
.)
Liczba log
9
3
+
log
9
27 jest równa
A) 2
B) 1
C) log
9
30
D) log
9
24
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru
log
a
x
+
log
a
y
=
log
a
xy
na sum˛e logarytmów. Liczymy
log
9
3
+
log
9
27
=
log
9
3
·
27
=
log
9
9
2
=
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
5
(1
PKT
.)
K ˛
at α jest ostry i cos α
=
2
5
. Wtedy sin α jest równy
A)
1
5
B)
√
29
5
C)
5
2
D)
√
21
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (z jedynki trygonometrycznej).
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
sin α
=
p
1
−
cos
2
α
=
r
1
−
4
25
=
√
21
5
.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(1
PKT
.)
Kwadrat liczby x
=
3
−
√
2 jest równy
A) 11
+
6
√
2
B) 11
−
6
√
2
C) 7
D) 11
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy korzystaj ˛
ac ze wzoru skróconego mno ˙zenia
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2ab
+
b
2
.
Mamy wi˛ec
(
3
−
√
2
)
2
=
9
−
6
√
2
+ (
√
2
)
2
=
9
−
6
√
2
+
2
=
11
−
6
√
2.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
7
(1
PKT
.)
Wykres funkcji y
= −
3
x
znajduje si˛e w ´cwiartkach
A) I i II
B) II i III
C) III i IV
D) IV i I
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres funkcji y
= −
3
x
powstaje z wykresu funkcji wykładniczej y
=
3
x
przez odbicie
wzgl˛edem osi Ox. Je ˙zeli go naszkicujemy to wida´c, ˙ze znajduje si˛e w III i IV ´cwiartce.
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(1
PKT
.)
Korzystaj ˛
ac z danego wykresu funkcji f , wska ˙z nierówno´s´c prawdziw ˛
a
x
y
1
2 3 4 5 6 7
8 9 10
1
2
3
4
5
6
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
A) f
(−
1
) <
f
(
1
)
B) f
(
1
) <
f
(
3
)
C) f
(−
1
) <
f
(
3
)
D) f
(
3
) <
f
(
0
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Odczytujemy z wykresu:
f
(−
1
) =
f
(
0
) =
f
(
1
) =
1
f
(
3
) = −
2.
Zatem f
(
3
) <
f
(
0
)
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
9
(1
PKT
.)
Zbiorem warto´sci funkcji f
(
x
) =
1
3
(
x
+
4
)
2
−
6 jest
A)
h−
6,
+
∞
)
B)
(−
∞,
−
6
)
C)
(−
∞, 6
i
D)
h
6,
+
∞
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykresem funkcji kwadratowej
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
jest parabola o ramionach skierowanych w gór˛e je ˙zeli a
>
0, w dół je ˙zeli a
<
0 oraz wierz-
chołku w punkcie
(
x
w
, y
w
)
.
W naszej sytuacji mamy parabol˛e o ramionach skierowanych w gór˛e i wierzchołku w
punkcie
(−
4,
−
6
)
.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Je ˙zeli sobie to naszkicujemy, to wida´c, ˙ze zbiorem warto´sci jest przedział
h−
6,
+
∞
)
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
10
(1
PKT
.)
Rozwi ˛
azaniem równania
x
−
4
x
+
7
=
3
4
jest liczba
A)
5
7
B) 5
C) 37
D)
37
7
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
x
−
4
x
+
7
=
3
4
/
·
4
(
x
+
7
)
4x
−
16
=
3x
+
21
x
=
37.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
11
(1
PKT
.)
Zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
(
x
−
2
)(
x
+
5
) >
0 przedstawiony jest na rysunku
5
x
-2
x
x
x
A)
B)
C)
D)
2
-5
2
-5
5
-2
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
(
x
−
a
)(
x
−
b
) >
0,
gdzie a
<
b jest zbiór
(−
∞, a
) ∪ (
b,
+
∞
)
(bo oba nawiasy z lewej strony nierówno´sci musz ˛
a
by´c dodatnie lub oba musz ˛
a by´c ujemne). W naszej sytuacji mamy
(
x
−
2
)(
x
− (−
5
)) >
0,
czyli rozwi ˛
azaniem jest zbiór
(−
∞,
−
5
) ∪ (
2,
+
∞
)
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
12
(1
PKT
.)
Suma dwudziestu pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego
(
a
n
)
danego wzorem a
n
=
1
2
n
+
5 jest równa
A) 205
B) 410
C) 200
D) 210
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystaj ˛
ac ze wzoru na sum˛e n pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego mamy
S
20
=
a
1
+
a
20
2
·
20
=
10
(
a
1
+
a
20
) =
10
1
2
+
5
+
10
+
5
=
=
5
+
10
·
20
=
205.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
13
(1
PKT
.)
Liczba przek ˛
atnych sze´sciok ˛
ata foremnego jest równa
A) 9
B) 14
C) 18
D) 6
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Rysujemy i liczymy.
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Korzystamy ze wzoru
n
(
n
−
3
)
2
na liczb˛e przek ˛
atnych n-k ˛
ata. Dla n
=
6 mamy
6
·
3
2
=
9.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
14
(1
PKT
.)
Prosta o równaniu y
= −
2x
+
m
−
5 przechodzi przez punkt A
= (−
1, 3
)
. Wtedy
A) m
=
7
B) m
=
10
C) m
=
6
D) m
=
0
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy podane współrz˛edne do wzoru
3
= −
2
· (−
1
) +
m
−
5
3
= −
3
+
m
⇒
m
=
6.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
15
(1
PKT
.)
Proste o równaniach y
=
3x
−
1 oraz y
=
1
3
x
+
1
A) pokrywaj ˛
a si˛e
B) przecinaj ˛
a si˛e pod k ˛
atem innym ni ˙z prosty
C) s ˛
a prostopadłe
D) s ˛
a równoległe i ró ˙zne
R
OZWI ˛
AZANIE
Podane proste maj ˛
a ró ˙zne współczynniki kierunkowe wi˛ec na pewno nie s ˛
a równoległe.
Ponadto iloczyn współczynników kierunkowych nie jest równy -1, wi˛ec proste nie s ˛
a pro-
stopadłe. W takim razie musz ˛
a si˛e przecina´c pod k ˛
atem, który nie jest prosty.
Na koniec obrazek.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=3x-1
y=1/3x+1
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
16
(1
PKT
.)
Wybieramy jedn ˛
a liczb˛e ze zbioru
{
4, 5, 6
}
i jedn ˛
a liczb˛e ze zbioru
{
2, 3
}
. Na ile sposobów
mo ˙zna wybra´c te liczby tak, aby ich suma była liczb ˛
a nieparzyst ˛
a?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
R
OZWI ˛
AZANIE
Wybrane liczby musz ˛
a by´c ró ˙znej parzysto´sci, tzn jedna z nich musi by´c parzysta, a druga
nieparzysta – łatwo wypisa´c wszystkie mo ˙zliwo´sci.
4
+
3
5
+
2
6
+
3.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
17
(1
PKT
.)
Punkty A
= (
1,
−
3
)
i C
= (−
5, 5
)
s ˛
a przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole
tego kwadratu jest równe
A) 10
B) 25
C) 50
D) 100
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli narysujemy (lub przynajmniej wyobrazimy) sobie kwadrat ABCD to wida´c, ˙ze mamy
dane ko ´nce przek ˛
atnej kwadratu.
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
C
D
a
a 2
Jej długo´s´c jest wi˛ec równa
AC
=
q
(−
5
−
1
)
2
+ (
5
− (−
3
))
2
=
√
36
+
64
=
√
100
=
10.
Poniewa ˙z przek ˛
atna kwadratu o boku a ma długo´s´c a
√
2, w naszej sytuacji mamy
a
=
10
√
2
=
5
√
2.
Pole jest wi˛ec równe
a
2
=
25
·
2
=
50.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
18
(1
PKT
.)
Dane s ˛
a punkty S
= (−
2, 1
)
, M
= (
1,
−
3
)
. Równanie okr˛egu o ´srodku S i przechodz ˛
acego
przez punkt M ma posta´c
A)
(
x
−
2
)
2
+ (
y
+
1
)
2
=
5
B)
(
x
−
2
)
2
+ (
y
+
1
)
2
=
25
C)
(
x
+
2
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
5
D)
(
x
+
2
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
25
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
-5
-1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
S
M
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Obliczmy promie ´n szukanego okr˛egu
r
=
SM
=
q
(
1
+
2
)
2
+ (−
3
−
1
)
2
=
√
9
+
16
=
√
25
=
5.
Zatem interesuj ˛
acy nas okr ˛
ag ma równanie
(
x
+
2
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
5
2
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
19
(1
PKT
.)
Pole powierzchni całkowitej prostopadło´scianu o wymiarach 4
×
3
×
6 jest równe
A) 94
B) 54
C) 108
D) 72
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy prostopadło´scian
4
3
6
Pola powierzchni trzech ró ˙znych ´scian prostopadło´scianu s ˛
a równe
4
·
3
=
12
4
·
6
=
24
3
·
6
=
18.
Suma tych pól to 12
+
24
+
18
=
54. Pole powierzchni prostopadło´scianu jest dwa razy
wi˛eksze (bo ka ˙zda ´sciana wyst˛epuje dwukrotnie), czyli jest równe
2
·
54
=
108.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
20
(1
PKT
.)
Na loterii jest 20 losów, z których 8 jest wygrywaj ˛
acych. Kupujemy jeden los. Prawdopodo-
bie ´nstwo zdarzenia, ˙ze nie wygramy nagrody jest równe
A)
5
6
B)
3
5
C)
1
6
D)
2
3
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Z podanych informacji wiemy, ˙ze jest 12 losów przegrywaj ˛
acych, wi˛ec szukane prawdopo-
dobie ´nstwo wynosi
12
20
=
3
5
.
Odpowied´z: B
Zadania otwarte
Z
ADANIE
21
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c x
2
−
6x
−
7
>
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
x
2
−
6x
−
7
>
0
∆
=
36
+
28
=
64
=
8
2
x
1
=
6
−
8
2
= −
1,
x
2
=
6
+
8
2
=
7
x
∈ (−
∞,
−
1
i ∪ h
7,
+
∞
)
.
Odpowied´z:
(−
∞,
−
1
i ∪ h
7,
+
∞
)
Z
ADANIE
22
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
3
−
3x
2
−
5x
+
15
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze mo ˙zemy wył ˛
aczy´c
(
x
−
3
)
przed nawias.
0
=
x
3
−
3x
2
−
5x
+
15
=
x
2
(
x
−
3
) −
5
(
x
−
3
) =
= (
x
−
3
)(
x
2
−
5
) = (
x
−
3
)(
x
−
√
5
)(
x
+
√
5
)
.
Odpowied´z: x
∈
n
−
√
5,
√
5, 3
o
Z
ADANIE
23
(2
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze dla ka ˙zdego m ci ˛
ag
m
+
1
3
,
m
+
2
5
,
m
+
7
15
jest arytmetyczny.
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Trzy liczby
(
a, b, c
)
s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy
2b
=
a
+
c. Sprawd´zmy czy tak jest w naszej sytuacji.
a
+
c
=
m
+
1
3
+
m
+
7
15
=
5
(
m
+
1
) +
m
+
7
15
=
=
6m
+
12
15
=
2m
+
4
5
=
2
·
m
+
2
5
.
Zatem istotnie podane liczby tworz ˛
a ci ˛
ag arytmetyczny.
Sposób II
Wystarczy sprawdzi´c, ˙ze ró ˙znice mi˛edzy kolejnymi wyrazami s ˛
a równe. Liczymy
m
+
2
5
−
m
+
1
3
=
m
+
7
15
−
m
+
2
5
3
(
m
+
2
) −
5
(
m
+
1
)
15
=
m
+
7
−
3
(
m
+
2
)
15
−
2m
+
1
15
=
−
2m
+
1
15
.
Otrzymana równo´s´c jest oczywi´scie prawdziwa, co dowodzi, ˙ze dane liczby tworz ˛
a ci ˛
ag
arytmetyczny.
Z
ADANIE
24
(2
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnych liczb dodatnich a i b spełniona jest równo´s´c
a
−
b
b
+
2a
·
a
b
+
a
=
a
2
(
a
+
b
)
2
−
b
2
(
a
+
b
)
2
−
a
−
b
b
+
2a
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy praw ˛
a stron˛e równo´sci
P
=
a
2
(
a
+
b
)
2
−
b
2
(
a
+
b
)
2
−
a
−
b
b
+
2a
=
a
2
−
b
2
(
a
+
b
)
2
−
a
−
b
b
+
2a
=
=
(
a
−
b
)(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
2
−
a
−
b
b
+
2a
=
a
−
b
a
+
b
−
a
−
b
b
+
2a
=
=
(
a
−
b
)(
b
+
2a
) − (
a
−
b
)(
a
+
b
)
(
a
+
b
)(
b
+
2a
)
=
=
(
a
−
b
)[
b
+
2a
− (
a
+
b
)]
(
a
+
b
)(
b
+
2a
)
=
(
a
−
b
)
a
(
a
+
b
)(
b
+
2a
)
=
L.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
25
(2
PKT
.)
Dany jest równoległobok ABCD. Okr˛egi o ´srednicach AB i BC przecinaj ˛
a si˛e w punktach B
i E.
A
B
C
D
E
Wyka ˙z, ˙ze punkty A, E i C le ˙z ˛
a na jednej prostej.
R
OZWI ˛
AZANIE
Poł ˛
aczmy punkt E z punktami A, B i C.
A
B
C
D
E
Zauwa ˙zmy, ˙ze oba k ˛
aty
]
AEB i
]
BEC s ˛
a oparte na ´srednicach, czyli
]
AEB
= ]
BEC
=
90
◦
.
To jednak oznacza, ˙ze
]
AEB
+ ]
BEC
=
180
◦
,
czyli punkt E le ˙zy na prostej AC.
Z
ADANIE
26
(2
PKT
.)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest licz-
b ˛
a podzieln ˛
a przez 3, a pozostałe s ˛
a parzyste.
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwsz ˛
a cyfr˛e liczby, o której mowa w tre´sci zadania musimy wybra´c ze zbioru
{
3, 6, 9
}
,
czyli mo ˙zemy to zrobi´c na 3 sposoby. Ka ˙zd ˛
a kolejn ˛
a cyfr˛e wybieramy ze zbioru
{
0, 2, 4, 6, 8
}
,
czyli mo ˙zemy to zrobi´c na 5 sposobów. Razem daje to nam (zasada mno ˙zenia)
3
·
5
·
5
·
5
=
375
liczb.
Odpowied´z: 375
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
27
(2
PKT
.)
Punkty A
= (−
1,
−
5
)
, B
= (
1, 1
)
, C
= (−
3, 5
)
, D
= (−
7,
−
7
)
s ˛
a wierzchołkami trapezu.
Oblicz długo´s´c krótszej przek ˛
atnej tego trapezu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
-10
-5
-1
+1
x
-10
-5
-1
+1
y
B
D
A
C
Z obrazka nie jest całkiem jasne, która przek ˛
atna jest krótsza, wi˛ec na wszelki wypadek
policzmy długo´sci obu przek ˛
atnych
AC
=
q
(−
3
+
1
)
2
+ (
5
+
5
)
2
=
√
4
+
100
=
√
104
=
2
√
26
≈
10, 2
BD
=
q
(−
7
−
1
)
2
+ (−
7
−
1
)
2
=
√
64
+
64
=
√
128
=
8
√
2
≈
11, 3.
Odpowied´z: 2
√
26
Z
ADANIE
28
(5
PKT
.)
Wyznacz wzór funkcji f
(
x
) =
3x
2
+
bx
+
c w postaci kanonicznej wiedz ˛
ac, ˙ze jej miejsca
zerowe s ˛
a rozwi ˛
azaniami równania
|
x
−
2
| =
3.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Rozwi ˛
a ˙zmy najpierw podane równanie
|
x
−
2
| =
3
x
−
2
= −
3
∨
x
−
2
=
3
x
= −
1
∨
x
=
5.
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zatem szukana funkcja musi mie´c posta´c
f
(
x
) =
3
(
x
+
1
)(
x
−
5
) =
3
(
x
2
−
4x
−
5
)
.
Pozostało wyznaczy´c posta´c kanoniczn ˛
a.
3
(
x
2
−
4x
−
5
) =
3
((
x
2
−
4x
+
4
) −
9
) =
3
(
x
−
2
)
2
−
27.
Sposób II
Podnosimy dane równanie stronami do kwadratu
(
x
−
2
)
2
=
9
Zatem rozwi ˛
azania tego równania s ˛
a miejscami zerowymi funkcji
y
= (
x
−
2
)
2
−
9.
Poniewa ˙z szukamy funkcji ze współczynnikiem 3 przy x
2
, musimy powy ˙zsz ˛
a równo´s´c po-
mno ˙zy´c przez 3, czyli
f
(
x
) =
3
(
x
−
2
)
2
−
27.
Odpowied´z: f
(
x
) =
3
(
x
−
2
)
2
−
27
Z
ADANIE
29
(6
PKT
.)
Samochód przejechał tras˛e długo´sci 84 km. Gdyby jechał ze ´sredni ˛
a pr˛edko´sci ˛
a wi˛eksz ˛
a o 12
km/h, to przejechałby t˛e tras˛e w czasie o 21 minut krótszym. Oblicz, z jak ˛
a ´sredni ˛
a pr˛edko-
´sci ˛
a jechał ten samochód.
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli przez v oznaczymy ´sredni ˛
a pr˛edko´s´c samochodu, a przez t czas w którym przejechał
84 km, to wiemy, ˙ze
vt
=
84,
czyli t
=
84
v
.
Wiemy ponadto, ˙ze je ˙zeli ´srednia pr˛edko´s´c b˛edzie wi˛eksza o 12 km/h, to czas b˛edzie krótszy
o
21
60
=
7
20
godziny. Otrzymujemy st ˛
ad równanie:
(
v
+
12
)
t
−
7
20
=
84.
Po podstawieniu za t z poprzedniej równo´sci dostajemy:
(
v
+
12
)
84
v
−
7
20
=
84
/
·
20v
7
(
v
+
12
)(
12
·
20
−
v
) =
12
·
20
·
v
240v
+
2880
−
v
2
−
12v
=
240v
0
=
v
2
+
12v
−
2880
∆
=
144
+
11520
=
11664
=
108
2
v
=
−
12
−
108
2
= −
60
∨
v
=
−
12
+
108
2
=
48.
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Oczywi´scie pierwsze rozwi ˛
azanie odrzucamy.
Odpowied´z: 48 km/h
Z
ADANIE
30
(5
PKT
.)
W trapezie równoramiennym ABCD rami˛e ma długo´s´c 13. Obwód tego trapezu jest równy
52. Wiedz ˛
ac, ˙ze tangens k ˛
ata ostrego w trapezie ABCD jest równy
12
5
, oblicz długo´sci jego
podstaw.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A
B
C
D
13
13
h
h
α
a
a
E
F
Sposób I
Je ˙zeli oznaczymy CD
=
EF
=
a i DE
=
CF
=
h to z podanego tangensa mamy
12
5
=
tg α
=
h
AE
⇒
AE
=
5
12
h.
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójk ˛
acie AED.
AE
2
+
ED
2
=
AD
2
25
144
h
2
+
h
2
=
13
2
169
144
h
2
=
13
2
/
√
13
12
h
=
13
/
·
12
13
h
=
12.
Zatem
AE
=
5
12
h
=
5.
Pozostało teraz skorzysta´c z podanego obwodu trapezu.
52
=
AD
+
DC
+
CB
+
BF
+
FE
+
EA
52
=
13
+
a
+
13
+
5
+
a
+
5
16
=
2a
⇒
a
=
8.
Zatem podstawy maj ˛
a długo´s´c a
=
8 i
AB
=
a
+
2AE
=
8
+
10
=
18.
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Je ˙zeli oznaczymy CD
=
EF
=
a to z podanego obwodu mamy
52
=
AD
+
BC
+
AB
+
CD
52
=
13
+
13
+
a
+
a
+
AE
+
FB
52
=
26
+
2a
+
2AE
⇒
AE
=
26
−
2a
2
=
13
−
a.
Z podanego tangensa mamy
12
5
=
tg α
=
h
13
−
a
⇒
h
=
12
5
(
13
−
a
)
.
Teraz pozostało napisa´c twierdzenie Pitagorasa w trójk ˛
acie AED.
AE
2
+
ED
2
=
AD
2
(
13
−
a
)
2
+
144
25
(
13
−
a
)
2
=
13
2
1
+
144
25
(
13
−
a
)
2
=
13
2
169
25
(
13
−
a
)
2
=
13
2
/
√
13
5
(
13
−
a
) =
13
/
·
5
13
13
−
a
=
5
⇒
a
=
8.
Zatem podstawy maj ˛
a długo´sci a
=
8 i 26
−
a
=
18.
Odpowied´z: 8 i 18
Materiał pobrany z serwisu
17
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
podstawowy + rozwiązanie
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
polski poziom podstawowy rozwia Nieznany
Podstawowe rozwiązania w zakresie publicznego prawa bankowego, FINANSE PUBLICZNE JĘDRZEJEWSKI
GEOGRAFIA MAJ 2007 Podstawowy rozwiązania
podstawowy + rozwiązanie
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
2008 Poziom podstawowy rozwiązania
GEOGRAFIA MAJ 2007 Podstawowy rozwiązania
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
2007 Poziom podstawowy rozwiązania
Rozwiazanie Testu SP, ^ Turystyka i Rekreacja GWSH Katowice, 3 semestr, podstawy przedsiebiorcz
4 egzaminy z rozwiązaniami na podstawie notatek Pytlika, Zawiślińskiej i internetu
Egzamin semestralny z przedmiotu PODSTAWY TURYSTYKI rozwiązania
automatyka i robotyka-rozwiazania, Politechnika Wrocławska - Materiały, podstawy automatyki i roboty
więcej podobnych podstron