(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJ
CEGO
MMA-P1A1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ARKUSZ I
Arkusz I
MAJ
ROK 2005
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
Za rozwiÄ…zanie
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
wszystkich zadań
9. Podczas egzaminu można korzystać z załączonego zestawu
można otrzymać
wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
łącznie 50 punktów
Nie można korzystać z kalkulatora graficznego.
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
którą wypełnia egzaminator.
Życzymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
33
Zadanie 1. (3 pkt)
Gracz rzuca dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę wyrzuconych
oczek. Jeśli suma ta jest jedną z liczb: 6, 7 lub 8, to gracz wygrywa. W pozostałych
przypadkach przegrywa.
a) Uzupełnij tabelę, tak aby przedstawiała wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia
losowego.
SUMA WYRZUCONYCH OCZEK
I rzut
II 1 2 3 4 5 6
rzut
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4
3 4 5
4 5
5
6
b) Podaj liczbę wyników sprzyjających wygranej gracza i oblicz prawdopodobieństwo
wygranej.
34
Zadanie 2. (3 pkt)
Średnia miesięczna płaca netto w pewnym zakładzie zatrudniającym 30 pracowników
wynosiła 2500 złotych. Po zatrudnieniu nowego, wysoko wykwalifikowanego pracownika
średnia miesięczna płaca netto w zakładzie wzrosła o 0,4%. Oblicz płacę netto nowego
pracownika.
35
Zadanie 3. (5 pkt)
Prawdą jest, że:  Jeżeli w czterocyfrowej liczbie naturalnej suma cyfr tysięcy i dziesiątek jest
równa sumie cyfr setek i jedności, to liczba ta jest podzielna przez jedenaście .
Ponieważ 4 + 6 = 8 + 2 , to liczba 4862 jest podzielna przez 11.
a) Wykorzystując podaną cechę podzielności sprawdz
, czy liczba 5764 jest podzielna
przez 11.
b) Podaj, jaką cyfrą można zastąpić , aby liczba 95 8 była podzielna przez 11.
Uzasadnij stwierdzenie, że czterocyfrowa liczba, w której cyfry: tysięcy, setek i dziesiątek są
jednakowe, a cyfra jedności inna, nie jest podzielna przez 11.
36
Zadanie 4. (4 pkt)
5
ëÅ‚ öÅ‚
-5
ìÅ‚3÷Å‚
2-2 Å" 0,5
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
Dane sÄ… liczby: m = i n = .
1
5
646
3
a) Sprawdz
, wykonując odpowiednie obliczenia, czy liczby m i n są całkowite.
b) Wyznacz liczbę k tak, by liczby m, n, k były odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim
wyrazem ciÄ…gu geometrycznego.
37
Zadanie 5. (4 pkt)
Wiedząc, że tgą =- 2 i ą " 0;Ą oblicz, bez użycia tablic i kalkulatora, wartości
( )
pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ą .
38
Zadanie 6. (5 pkt)
Wszystkie pary liczb naturalnych (x, y) spełniające równanie xy - 4y = 7 można wyznaczyć
stosując następującą metodę:
" zapisać lewą stronę równania w postaci iloczynu x - 4 y = 7 ;
( )
" stwierdzić, że zarówno x - 4 jak i y muszą być liczbami naturalnymi;
" zauważyć, że liczbę 7 daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych
tylko na jeden sposób, a korzystając z przemienności mnożenia mamy dwie
możliwoÅ›ci: 7 Å"1 lub 1Å" 7 ;
" rozpatrzyć dwa przypadki
x
Å„Å‚ - 4 = 1 x
Å„Å‚ - 4 = 7
lub
òÅ‚ òÅ‚
y = 7 y = 1;
ół ół
" wyznaczyć wszystkie pary liczb spełniające te warunki
x = 5 x =11
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚y = 7 lub òÅ‚y =1.
ół ół
Stosując przedstawioną wyżej metodę wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych (x, y)
spełniające równanie xy - y = 4 .
39
Zadanie 7. (4 pkt)
Na poniższym diagramie zestawiono wyniki ankiety dotyczącej czasu przeznaczanego dziennie
na uprawianie sportu.
14
a) Oblicz średnią liczbę godzin
13
przeznaczonÄ… dziennie na
12
uprawianie sportu w badanej 11
10
grupie.
9
8
7
b) Oblicz wariancjÄ™ i odchylenie
6
standardowe czasu
5
4
przeznaczanego dziennie na
3
uprawianie sportu.
2
Wynik podaj z dokładnością
1
0
do 0,01.
012
czas [godz.]
40
liczba osób
Zadanie 8. (4 pkt)
Funkcja f określona na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych przyporządkowuje każdej
liczbie n resztÄ™ z dzielenia tej liczby przez 4.
a) Określ zbiór wartości funkcji f .
b) Podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f .
c) Narysuj wykres funkcji f dla n d" 10 .
41
Zadanie 9. (6 pkt)
Maszyna wycina z krążków kwadraty w ten sposób, że wykorzystuje materiał maksymalnie.
Gdyby promień danego krążka zwiększono o 1, to pole wyciętego kwadratu zwiększyło by się
czterokrotnie. Oblicz pole danego krążka.
42
Zadanie 10. (7 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem: f x = 2x2 - 7x + c dla x " R .
( )
a) Wyznacz wszystkie wartości współczynnika c, dla których funkcja f ma dwa różne
miejsca zerowe.
b) Wyznacz wszystkie wartości współczynnika c, dla których miejscami zerowymi funkcji
1
f sÄ… liczby 1 i 2 .
2
c) Wyznacz wszystkie wartości współczynnika c, tak aby wierzchołek paraboli, która jest
wykresem funkcji f , należał do prostej o równaniu y = x .
43
Zadanie 11. (5 pkt)
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm , jest
równa 9 3 cm3 . Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny
jego podstawy. SporzÄ…dz
rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Zapisz obliczenia.
44
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA
ARKUSZA I
Numer
Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania
punktów
Uzupełnienie tabeli (punkt przyznajemy również w przypadku
1
jednego błędu nieuwagi).
Podanie liczby wyników sprzyjających wygranej gracza: 16. 1
1
4
Obliczenie prawdopodobieństwa wygranej: .
1
9
Obliczenie średniej płacy netto w zakładzie po przyjęciu nowego
1
pracownika: 2510 zł.
Zapisanie równania pozwalającego obliczyć płacę netto nowego
2
30 Å" 2500 + x
1
pracownika: np. = 2510 .
31
Obliczenie płacy netto nowego pracownika: 2810 zł. 1
Stwierdzenie, że liczba 5764 jest podzielna przez 11, ponieważ
1
5 + 6 = 7 + 4 .
Zapisanie warunku 9 + = 5 + 8 i wyznaczenie = 4 . 1
Zapisanie liczby czterocyfrowej w postaci np.
1000A +100A +10A + X , gdzie A "{1,2,3,4,5,6,7,8,9},
1
3
X "{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Zapisanie powyższej liczby w postaci sumy składników, z których
1
jeden jest liczbÄ… podzielnÄ… przez 11, np. 1100A + (10A + X ) .
Uzasadnienie, że suma pozostałych składników (10A + X ) nie jest
1
liczbą podzielną przez 11, gdy A `" X i sformułowanie wniosku.
Obliczenie liczby m : m = 6 . 1
Obliczenie liczby n : n = 4 . 1
Zapisanie warunku na to by m, n, k były kolejnymi wyrazami
4
n k 1
ciÄ…gu geometrycznego: np. = .
m n
2
Obliczenie liczby k : k = 2 .
1
3
1
Obliczenie wartości cotangensa kąta ą : ctgą =- .
1
2
5
Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć sinus i cosinus
1
danego kÄ…ta.
47
Å„Å‚ Å„Å‚
2 5 2 5
ôÅ‚sinÄ… =- 5 ôÅ‚sinÄ… = 5
ôÅ‚ ôÅ‚
Rozwiązanie układu równań: lub
1
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚cosÄ… = 5 ôÅ‚cosÄ… =- 5
ôÅ‚ ôÅ‚
ół 5 ół 5
5
Å„Å‚
2 5
ôÅ‚sinÄ… = 5
ôÅ‚
Wybranie odpowiedzi uwzględniającej założenia:
1
òÅ‚
ôÅ‚cosÄ… =- 5
ôÅ‚
ół 5
Przekształcenie równania do postaci iloczynu: (x -1)y = 4 .
1
Rozpatrzenie wszystkich przypadków (za każdy przypadek
x
Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚ -1 = 4 x -1 = 1 x -1 = 2
3
przyznajemy 1 p.): lub lub
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
y = 1 y = 4 y = 2
6 ół ół ół
Wyznaczenie rozwiązań otrzymanych układów równań:
x = 5 x = 2 x = 3
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ 1
òÅ‚y =1 lub òÅ‚y = 4 lub òÅ‚y = 2
ół ół ół
Obliczenie średniej liczby godzin: 0,8 .
1
Obliczenie wariancji (w tym 1 p. za metodÄ™ oraz 1 p. za
7
2
obliczenia): 0,63.
Obliczenie odchylenia standardowego: 0,79 .
1
Określenie zbioru wartości funkcji f : 0,1, 2,3 .
{ } 1
Podanie zbioru miejsc zerowych funkcji: np.{x : x = 4k '" k " N}
8 lub słownie np.  zbiór wielokrotności liczby 4 (za wymienienie
2
co najmniej trzech miejsc zerowych przyznajemy 1 punkt).
Narysowanie wykresu funkcji f dla n d" 10 .
1
Wykonanie rysunku wraz z oznaczeniami lub wprowadzenie
1
dokładnie opisanych oznaczeń.
Zapisanie pola mniejszego kwadratu w zależności od promienia
1
krążka, z którego jest wycięty: P1 = 2r2 .
Zapisanie pola większego kwadratu w zależności od promienia
1
2
mniejszego krążka: P2 = 2(r +1) .
9
Zapisanie związku pomiędzy polami mniejszego i większego
1
2
2
kwadratu: 4r = (r +1) .
1
Rozwiązanie otrzymanego równania: r = 1 lub r =- .
1
3
Wybór rozwiązania spełniającego warunek r " R+ i obliczenie
1
pola danego krążka: PK = Ą .
48
Zapisanie warunku na to, by funkcja f miała dwa różne miejsca
1
zerowe: 49 -8c > 0 .
Wyznaczenie zbioru wartości współczynników c , dla których
1
1
funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe: c < 6 .
8
Zapisanie funkcji f w postaci iloczynowej:
1
öÅ‚ 1
f (x) = 2(x -1)ëÅ‚ x - 2 .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Przekształcenie wzoru funkcji f do postaci ogólnej:
1
f (x) = 2x2 - 7x + 5.
10
Podanie wartości współczynnika c , dla której miejsca zerowe
1
1
funkcji f są równe 1 i 2 : c = 5 .
2
Zapisanie warunku na to, by wierzchołek paraboli, która jest
7 8c - 49
1
wykresem funkcji f należał do prostej y = x : np. = .
4 8
Obliczenie wartości współczynnika c, dla której wierzchołek
paraboli, która jest wykresem funkcji f należy do prostej y = x :
1
7
c = 7 .
8
SporzÄ…dzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kÄ…ta. 1
Obliczenie długości wysokości ostrosłupa: H = 3 cm .
1
Obliczenie trzeciej części długości wysokości podstawy: 3cm. 1
11
1
Obliczenie tangensa szukanego kÄ…ta: 3 .
1
Podanie miary kÄ…ta szukanego: 60 .
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie
przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
49