(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJ
CEGO
MMA-R1A1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II ARKUSZ II
(dla poziomu rozszerzonego)
MAJ
Czas pracy 150 minut
ROK 2005
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z załączonego zestawu
wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie
można korzystać z kalkulatora graficznego.
Za rozwiÄ…zanie
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
wszystkich zadań
którą wypełnia egzaminator.
można otrzymać
łącznie 50 punktów
Życzymy powodzenia!
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
51
Zadanie 12. (2 pkt)
ax -1
Powyższy rysunek przedstawia wykres funkcji f należącej do rodziny funkcji F(x) = .
bx + c
Wyznacz wartości a, b, c .
52
Zadanie 13. (4 pkt)
Czterech uczniów I, II, III, IV, przygotowujących się do egzaminu maturalnego z matematyki,
podzieliło się rozwiązywaniem 2000 zadań. Każdy z uczniów przygotował oddzielny zeszyt
z rozwiązaniami zadań. Liczby rozwiązanych zadań w zeszytach uczniów I, II, III, IV oraz
dane dotyczące liczby błędnych rozwiązań ilustrują podane niżej diagramy 1 i 2.
Diagram 1
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
zeszyt I zeszyt II zeszyt III zeszyt IV
Diagram 2
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
zeszyt I zeszyt II zeszyt III zeszyt IV
Nauczyciel zamierza wylosować jeden zeszyt z rozwiązaniami, a następnie z tego zeszytu
sprawdzić rozwiązanie jednego losowo wybranego zadania. Oblicz prawdopodobieństwo, że
w wybranym rozwiązaniu nie będzie błędu.
53
liczba rozwiązanych zadań
liczba błędnie rozwiązanych zadań
Zadanie 14. (5 pkt)
Wykaż, że dla wszystkich a " 0;1 i dla wszystkich b " 1;" jest spełniona nierówność
( ) ( )
loga b + logb a d" -2 .
54
Zadanie 15. (4 pkt)
Przekrój sześcianu PQRSP Q R S pewną płaszczyzną (patrz rysunek poniżej) jest
sześciokątem ABCDEF, którego wierzchołki są środkami odpowiednich krawędzi sześcianu.
Odwołując się do definicji wielokąta foremnego uzasadnij, że sześciokąt ABCDEF jest
sześciokątem foremnym.
55
Zadanie 16. (7 pkt)
Producent zamierza rozlewać sok do pudełek, w kształcie prostopadłościanu, o pojemności
1,8 litra. Dobierz wymiary pudełka, tak aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej
materiału przyjmując, że stosunek długości sąsiednich krawędzi podstawy pudełka jest równy
2:3 (wykonując obliczenia zaniedbaj ilość materiału potrzebnego na sklejenia, złożenia itp.).
56
Zadanie 17. (5 pkt)
Udowodnij twierdzenie:  Jeżeli w czterocyfrowej liczbie naturalnej suma cyfr tysięcy
i dziesiątek jest równa sumie cyfr setek i jedności, to liczba ta jest podzielna przez
jedenaście .
57
Zadanie 18. (5 pkt)
Dane są figury f1 i f2 określone warunkami:
f1 = x, y : x " R, y " R '" x2 - 4x + y2 d" 0 ,
( )
{}
f2 = x, y : x " R, y " R '" y - x - 2 e" 0 .
( )
{}
a) W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyz
nie narysuj figury f1 i f2 oraz
zaznacz figurÄ™ f = f1 )" f2 .
b) Oblicz pole figury f .
58
Zadanie 19. (5 pkt)
Na załączonym schemacie wierzchołki trójkąta PRS wyznaczają położenie osiedli
mieszkaniowych Potok, Ruczaj i Struga.
R
S P
a) Oblicz odległość pomiędzy osiedlami Ruczaj i Potok.
b) Postanowiono wybudować centrum telekomunikacyjne w miejscu, znajdującym się
w takiej samej odległości od każdego z osiedli. Oblicz odległość centrum
telekomunikacyjnego od osiedla Struga.
59
Zadanie 20. (9 pkt)
W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę 2ą wpisano kulę.
a) Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.
b) Wyznacz cosą , jeżeli stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy 9:4.
60
61
Zadanie 21. (4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których granicą ciągu an o wyrazie
( )
3 + k Å" n 1
ogólnym an = jest liczba .
6 + k2 Å"n 2
62
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA
ARKUSZA II
Liczba
Numer
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania
punktów
Zapisanie układu równań pozwalającego wyznaczyć a , b , c :
a
Å„Å‚
=1
ôÅ‚
b
ôÅ‚
ôÅ‚- c
1
np. = -1 (1)
òÅ‚
12
b
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ôÅ‚- c = -1
ół
Rozwiązanie układu (1): a = b = c =1. 1
Obliczenie prawdopodobieństw wybrania odpowiednio zeszytu:
1 1 1 1
1
I, II, III, IV: , , , .
4 4 4 4
Obliczenie prawdopodobieństw wybrania błędnie rozwiązanego
2 1 1 3
1
zadania z zeszytu: I, II, III, IV: , , , .
10 10 10 10
13
Wykorzystanie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
i obliczenie prawdopodobieństwa wybrania błędnie rozwiązanego 1
zadania: 0,175.
Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa i obliczenie
prawdopodobieństwa wybrania bezbłędnie rozwiązanego 1
zadania: 0,825.
Zastosowanie wzoru na zamianÄ™ podstawy logarytmu i zapisanie
nierówności w postaci równoważnej:
1
loga a
loga b ++ 2 d" 0 .
loga b
2
loga b + 1
()
Przekształcenie nierówności do postaci: d" 0 . 2
loga b
14
Uzasadnienie warunków:
2
1
loga b + 1 e" 0 oraz loga b < 0 .
()
'"'" '"'"
0 < a < 1 b > 1 0 < a < 1 b > 1
2
loga b + 1
()
Uzasadnienie, że d" 0 . 1
'"'"
loga b
0 < a < 1 b > 1
Powołanie się na definicję wielokąta foremnego. 1
Wykazanie, że boki sześciokąta mają równą długość. 1
15
Wykazanie, że kąty sześciokąta mają równą miarę (w tym za
2
metodÄ™ 1p.).
65
Analiza zadania i wprowadzenie oznaczeń: np. 2x, 3x - długości
1
krawędzi podstawy; h  długość wysokości ( x , h  wyrażone
w decymetrach).
Wykorzystanie wzoru na objętość prostopadłościanu do
V
wyznaczenia x lub h : np. h = , gdzie V  objętość
1
6x2
prostopadłościanu.
Wyznaczenie pola powierzchni prostopadłościanu jako funkcji
3
1
16
jednej zmiennej i podanie jej dziedziny: P x = +12x2 , x " R+ .
( )
x
24x3 - 3
Obliczenie pochodnej funkcji P : P ' x = . 1
( )
x2
Rozwiązanie równania P ' x = 0 : x = 0,5.
( ) 1
Komentarz związany z istnieniem najmniejszej wartości
1
funkcji P .
Wyznaczenie wymiarów pudeÅ‚ka: 1 dm×1,5 dm×1,2 dm .
1
Zapisanie dowolnej liczby naturalnej czterocyfrowej w postaci:
1
L =1000x +100y +10z + t , gdzie x " N -{ }
0 ; y, z, t " N .
Zapisanie założenia twierdzenia: x + z = y + t .
1
Wykorzystanie założenia twierdzenia do zapisu liczby L:
1
17
L =1000x +100y +10z + x - y + z .
Redukcja wyrazów podobnych i zapisanie liczby L w postaci
1
iloczynu: L = 11 91x + 9y + z .
()
Komentarz związany z podzielnością iloczynu dwóch liczb
1
naturalnych.
Odczytanie współrzędnych środka: 0, 2 i długości promienia
( )
1
okręgu: r = 2 .
Narysowanie figury f1.
1
18 Narysowanie figury f2 .
1
Zaznaczenie figury f .
1
Obliczenie pola figury f : Pf = Ä„ .
1
Zapisanie warunku pozwalającego obliczyć odległość x
pomiędzy osiedlami Ruczaj i Potok: np.
1
x2 = 52 + 82 - 2Å"5Å"8Å"cos 60° .
19
Obliczenie odległości pomiędzy osiedlami Ruczaj i Potok:
1
x = 7 km .
Zauważenie, że centrum telekomunikacyjne powinno znajdować
1
się w środku okręgu opisanego na trójkącie PRS.
66
Zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć promień R okręgu
x
1
opisanego na trójkącie PRS: np. 2R = .
sin 60
19
Obliczenie odległości centrum telekomunikacyjnego od osiedla
7 3 1
Struga: R = km .
3
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnie
1
opisanych oznaczeń.
VS
Zapisanie stosunku i doprowadzenie do postaci:
VK
1
2
VS 1 r H
ëÅ‚ öÅ‚
=Å" .
ìÅ‚ ÷Å‚
VK 4 R R
íÅ‚ Å‚Å‚
r H r H
Obliczenie oraz : = ctgÄ… , = ctgÄ… Å" tg2Ä… .
1
R R R R
2
VS 1 r H
ëÅ‚ öÅ‚
Zapisanie wzoru =Å" w postaci:
ìÅ‚ ÷Å‚
VK 4 R R
íÅ‚ Å‚Å‚
1
VS 1
= ctg3Ä… Å" tg2Ä… .
20 VK 4
9 1
Zapisanie równania: = ctg3Ä… Å" tg2Ä… .
1
4 4
Przekształcenie równania trygonometrycznego do postaci:
1
2cos4 Ä… = 9 1- cos2 Ä… Å" 2cos2 Ä… -1 .
() ( )
1
Podstawienie: cos2 ą = t i zapisanie równania za pomocą t .
33
Rozwiązanie równania: t = (" t = .
1
54
Ä„
öÅ‚
Obliczenie cosÄ… z uwzglÄ™dnieniem warunku, że Ä… "ëÅ‚0; :
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
15 3
cosÄ… = lub cosÄ… = .
52
1
Obliczenie granicy ciÄ…gu: lim an = i k `" 0 .
1
n"
k
1
21 Wyznaczenie wartości k : k = 2 .
Rozważenie przypadku k = 0 . 1
Zapisanie odpowiedzi: k = 0 lub k = 2 . 1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem)
od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
67