(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJ
CEGO
MMA-P1G1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ARKUSZ I
POZIOM PODSTAWOWY
MAJ
Arkusz I
ROK 2003
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
Za rozwiÄ…zanie
z kalkulatora graficznego.
wszystkich zadań
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
można otrzymać
którą wypełnia egzaminator.
łącznie 40 punktów
Życzymy powodzenia!
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 1. (4 pkt )
Lewa strona równania 1+ x2 + x4 + x6 + ... + x2n + ... = 3 jest sumą nieskończonego ciągu
geometrycznego o ilorazie x2 . Z warunku zbieżności mamy x2 < 1. Zatem dziedziną
równania jest przedział (-1,1).
Równanie można zapisać w postaci 1+ x2(1+ x2 + x4 + ...) = 3 . Stąd 1+ 3x2 = 3.
6 6
Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: x1 = - , x2 = należące do dziedziny.
3 3
6 6
Odpowiedz
: Rozwiązaniami równania są liczby x1 = - , x2 = .
3 3
Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie : 1+ x + x2 + x3 + ... + xn + ... = 2 .
 Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz I
Zadanie 2. (4 pkt )
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f .
a) Podaj miejsca zerowe funkcji f. y
b) Podaj rozwiązania nierówności
5
f (x) d" 0 .
4
c) Podaj rozwiązania równania
3
f (x) = 3 .
2
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
Odp. a) Miejsca zerowe funkcji f : ........................................................................................
b) Rozwiązania nierówności : ......................................................................................
c) Rozwiązania równania : ..........................................................................................
Zadanie 3. (4 pkt )
Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie.
a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B
(podaj wynik dokładny).
5
b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost
4
wyższy od średniego?
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
wzrost w cm
Odp. a) Średni wzrost chłopców z klasy II B jest równy ..............................................
b) Wzrost powyżej średniego ma ................................ chłopców.
liczba ch
Å‚
opców
164
165
166
167
168
169
170
171
172
4 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 4. (3 pkt )
Liczby 102, 105, 108, 111,... sÄ… kolejnymi, poczÄ…tkowymi wyrazami pewnego ciÄ…gu
arytmetycznego (an). Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz a81.
Odp. Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu ma postać ................................ a81= ............
Zadanie 5. (5 pkt )
Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm
wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu 70 .
Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm.
Odp. Długość podjazdu jest w przybliżeniu równa
......................................................
 Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz I
Zadanie 6. (3 pkt )
Ciąg (an) określony jest wzorem
Å„Å‚
a1 = 1
ôÅ‚
a2 = 2
òÅ‚
ôÅ‚a = 2n-1 + an + an+1 dla n " N \{0}
n+2
ół
Wyznacz czwarty wyraz tego ciÄ…gu.
Odp. a4 = .....................
Zadanie 7. (5 pkt )
y
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji
3
liniowej f. Wykres funkcji g jest obrazem wykresu
2
funkcji f otrzymanym za pomocą przesunięcia
1
x
o wektor u = 2,1 . Wyznacz miejsce zerowe
[ ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
funkcji g.
-1
Odp. Miejsce zerowe funkcji g jest równe ..................................................
6 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 8. (3 pkt )
Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru składek
na ubezpieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest
równa 60% przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie
zdrowotne przyjmując, że przeciętne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zł. Wynik podaj
w zaokrÄ…gleniu do 1 grosza.
Odp. Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa ..........................................................
Zadanie 9. (3 pkt )
Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan
D
przedstawiony jest na rysunku. Zakładamy,
że kąty ABC i ECD są kątami prostymi.
4m
E
C
10m
8m
A B
16m
Odp. Pole działki jest równe .....................................
 Egzamin maturalny z matematyki 7
Arkusz I
Zadanie 10. (2 pkt )
Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych
lub jedną z 10 nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo
1
wygrania nagrody książkowej jest równe . Oblicz, ile jest losów pustych.
7
Odp. Losów pustych jest ...................................
Zadanie 11. (4 pkt )
Podstawą prostopadłościanu ABCDA1B1C1D1
jest prostokąt o bokach długości : AD = 3
i AB = 6 . Wysokość prostopadłościanu ma
długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą
rachunków, że trójkąt BAD1 jest prostokątny.
Egzamin maturalny z matematyki 1
Arkusz egzaminacyjny I
Schematy punktowania zadań do Arkusza I
Zadanie 1.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wyznaczenie dziedziny równania.
Odp. (-1,1).
1. 1
Dopuszczamy zapis x < 1
Zapisanie równania w postaci :
2. 1
1+ x(1+ x + x2 + ...) = 2 .
3. Zapisanie równania w postaci : 1+ 2x = 2 . 1
Wyznaczenie rozwiązania równania.
4. 1
Odp. x = 0,5 .
Zadanie 2.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie polecenia a).
1. 1
Odp. x = -1, x = 5.
Wykonanie polecenia b).
1
2.
Odp. x "(- ",-1 *" 5,+ ").
Wykonanie polecenia c).
2
3. Odp. x = 0 lub x = 4 .
Za każde z rozwiązań równania  1 punkt.
Zadanie 3.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wyznaczenie liczby chłopców z klasy II B.
1. 1
Odp. 15.
Obliczenie średniego wzrostu.
2Å"164 + 4 Å"166 + 2 Å"167 + 3Å"168 +169 + 2Å"170 +172
1
15
2.
1
Odp. 167,4 cm.
1 punkt za poprawne odczytanie danych;
1 punkt za wyznaczenie średniej arytmetycznej.
Podanie liczby chłopców z klasy II B, którzy mają
3. wzrost wyższy od średniej. 1
Odp. 7.
Zadanie 4.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Zapisanie wzoru na wyraz ogólny ciągu (an).
1. 2
an = 102 + 3 - 1) = 3n + 99 , n " N \{0}.
(n
Podanie wyrazu pierwszego i różnicy ciągu - 1 punkt.
Obliczenie wyrazu a81 .
2. 1
Odp. a81 = 342.
Zadanie 5.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń.
1. Jeżeli uczeń nie wykona rysunku, ale wprowadzi 1
czytelne oznaczenia przyznajemy punkt.
Egzamin maturalny z matematyki 2
Arkusz egzaminacyjny I
Obliczenie długości odcinka BC .
2. 1
Odp. 120 cm.
Odczytanie z tablic wartości sinusa kąta o mierze 70 .
3. 1
Odp. sin70 = 0,1219 .
Obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie
odpowiedzi.
Odp. 980 cm.
4. 2
BC
Za zapisanie zależności sin "CAB = - 1 punkt.
AC
Za wyznaczenie długości odcinka AB bez wskazanego zaokrąglenia
przyznajemy w sumie 4 pkt.
Przyjęcie innej wartości ( poprawnego przybliżenia) sinusa nie może
stanowić przesłanki do odjęcia punktu.
Zadanie 6.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wyznaczenie wyrazu a3 .
Odp. a3 = 4 .
1. 2
Za zapisanie zależności a3 = 20 + a1 + a2
przyznajemy 1 punkt.
Wyznaczenie wyrazu a4 .
2. 1
Odp. a4 = 8 .
Zadanie 7.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
2 4
Wyznaczenie wzoru funkcji f : f (x) = x +
5 5
lub
Wyznaczenie współrzędnych obrazów punktów

1. 2
(-2,0) i (3,2) w przesunięciu o wektor u .
Odp. (0,1) , (5,3) .
Po 1 punkcie za wyznaczenie współrzędnych każdego
z obrazów.
Å„Å‚ - 2
ôÅ‚x = x'
Zapisanie układu równań i wyznaczenie
òÅ‚
ôÅ‚ -1
óły = y'
wzoru funkcji g
lub
Wyznaczenie wzoru funkcji g, której wykres
2. 2
przechodzi przez punkty (0,1) i (5,3)
2
Odp. g(x) = x +1.
5
Za zapisanie odpowiedniego układu równań
przyznajemy 1 punkt.
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz egzaminacyjny I
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji g.
3. 1
Odp. x = -2,5 .
Zadanie 8.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Obliczenie wysokości podstawy wymiaru składek.
Odp. 60% Å"1869,76 =1121,856 .
1. 1
Punkt przyznajemy także za odpowiedz
1121,86 zł .
Obliczenie wysokości składki na ubezpieczenie
zdrowotne.
2. 1
Odp. 7,5% Å"1121,86 = 84,1394.
Podanie wysokości składki na ubezpieczenie
zdrowotne.
Odp. 84 zł 14 gr .
3. 1
W odpowiedzi wymagane jest poprawne
zaokrÄ…glenie.
Zadanie 9.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Obliczenie pola trójkąta CED.
1. 1
Odp. P"CED = 20m2 .
Obliczenie pola trapezu ABCE.
2. 1
Odp. P"ABCE = 104m2 .
Obliczenie pola działki.
3. 1
Odp. 124m2 .
Zadanie 10.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wyznaczenie liczby wszystkich losów.
1. 1
Odp. 70.
Wykonanie polecenia zadania.
2. 1
Odp. 59.
Zadanie 11.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wyznaczenie długości przekątnej AD1 .
1
1.
Odp. AD = 3 5 .
1
Wyznaczenie długości przekątnej BD1 .
2. 1
Odp. BD1 = 9
Uzasadnienie, że trójkąt BAD1 jest prostokątny na
podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia
Pitagorasa .
2
3.
1 punkt przyznajemy za zapisanie równości
2 2 2
AB + AD1 = BD1 i jej sprawdzenie, bez
powołania się na odpowiednie twierdzenie.
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie
punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.