(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJ
CEGO
MMA-P1D1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ARKUSZ I
POZIOM PODSTAWOWY
STYCZEC

Arkusz I
ROK 2003
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
Za rozwiÄ…zanie
z kalkulatora graficznego.
wszystkich zadań
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
można otrzymać
którą wypełnia egzaminator.
łącznie 40 punktów
Życzymy powodzenia!
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 1. (3 pkt)
Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540 m2 . Oblicz wymiary tej
działki wiedząc, że różnią się one o 9 m .
Odpowiedz
: ..................................................................................................................................
Zadanie 2. (4 pkt)
Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych,
razem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość
tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa
Kowalskich, miesięcznych wydatków.
inne
(5%)
KorzystajÄ…c z tych danych:
ubrania
(12%)
a) Oblicz, ile procent danej kwoty
stanowią miesięczne wydatki
państwa Kowalskich na
wyżywienie.
gaz i energia
(14%)
b) Oblicz, ile pieniędzy wydają
wyżywienie
państwo Kowalscy w ciągu
miesiÄ…ca Å‚Ä…cznie, na gaz i energiÄ™
oraz czynsz.
czynsz
(400 zł)
Odpowiedz
: a) .............................................................................................................................
b)..............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz I
Zadanie 3. (3 pkt)
UpraszczajÄ…c pierwiastek kwadratowy z liczby 27 +10 2 , zapiszemy jÄ… w postaci kwadratu
sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
2 2
2
27 +10 2 = 25 +10 2 + 2 = (5) + 2 Å" 5 Å" 2 +( 2) = (5 + 2) = 5 + 2
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość
11+ 6 2 .
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Zadanie 4. (4 pkt)
5 160
Równanie postaci C = Å" F - , ustala zależność miÄ™dzy temperaturÄ…, wyrażonÄ…
9 9
w stopniach Celsjusza (C) oraz Fahrenheita (F).
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrzÄ…ca w temperaturze 100 C woda.
b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa
liczbie stopni w skali Fahrenheita.
Odpowiedz
: a) ............................................................................................................................
b) ............................................................................................................................
4 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 5. (4 pkt)
Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi
bokami ma miarę 120 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Odpowiedz
: ..................................................................................................................................
Zadanie 6. (5 pkt)
Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0,25 litra płynu. Mamy do
wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach:
pierwsza  o średnicy 6 cm i wysokości 10 cm , druga  o średnicy 5,8 cm i wysokości
9,5 cm oraz trzecia  o średnicy 6 cm i wysokości 9 cm .
Której szklanki objętość jest najbliższa 0,25 litra? Odpowiedz
uzasadnij.
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz I
Zadanie 7. (6 pkt)
Funkcja f : R R jest określona wzorem: f (x) = x2 - 6x +12 .
a) Rozwiąż nierówność f (x) -19 > 0 .
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji f , w symetrii względem prostej o równaniu
2
x = 6, nie jest parabola, określona równaniem y = (x - 9) + 6 .
Odpowiedz
: a) ............................................................................................................................
6 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 8. (3 pkt)
Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki
trójkąta równobocznego.
Odpowiedz
: .................................................................................................................................
Zadanie 9. (3 pkt)
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów
wewnętrznych równa się 2.
Egzamin maturalny z matematyki 7
Arkusz I
Zadanie 10. (5 pkt)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 sÄ… kolejnymi wyrazami pewnego
ciÄ…gu rosnÄ…cego.
a) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedz
: a) ............................................................................................................................
b) ............................................................................................................................
c) ............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz I  Poziom podstawowy  styczeń 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAC

ARKUSZ I  POZIOM PODSTAWOWY
Maksymalna
Nr
liczba punktów
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania
za dany etap
1. Zapisanie równania, wynikającego z treści zadania,
1p.
np.: x Å" (x + 9) = 1540 , gdzie x i x + 9 sÄ… dÅ‚ugoÅ›ciami boków prostokÄ…ta.
2. Przekształcenie równania do postaci x2 + 9x -1540 = 0 i rozwiązanie
1. 1p.
tego równania.
(3 pkt)
3. Wybranie rozwiązania spełniającego warunki zadania i podanie
wymiarów działki: 35m oraz 44m .
1p.
4. Obliczenie, ile procent kwoty 3200 złotych stanowi kwota
1p.
przeznaczona na czynsz  400 złotych: 12,5% .
5. Obliczenie, ile procent kwoty 3200 złotych stanowi kwota
1p.
2.
przeznaczona na wyżywienie: 56,5% .
(4 pkt)
6. Obliczenie kwoty pieniędzy, jaką państwo Kowalscy wydają
1p.
miesięcznie na gaz i energię: 448 złotych.
7. Obliczenie łącznej kwoty, jaką państwo Kowalscy wydają miesięcznie
1p.
na gaz i energię oraz czynsz: 848 złotych.
1p.
8. Zapisanie liczby 11+ 6 2 w postaci 9 + 6 2 + 2 .
1p.
3. 9. Zapisanie liczby 9 + 6 2 + 2 w postaci (3)2 + 2 Å" 3Å" 2 + ( 2)2 .
(3 pkt)
10. Zapisanie liczby (3)2 + 2 Å" 3Å" 2 + ( 2)2 w postaci (3 + 2)2 , a w
1p.
konsekwencji w postaci uproszczonej: 3 + 2 .
11. Wstawienie wartości C = 100 do danego równania. 1p.
12. Rozwiązanie równania z niewiadomą F : F = 212. 1p.
4.
5 160
13. Zapisanie równania z jednÄ… niewiadomÄ…, np. F = Å" F - .
(4 pkt) 1p.
9 9
14. Rozwiązanie równania: F = - 40 (lub C = -40).
1p.
15. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów do obliczenia długości trzeciego
ëÅ‚ -1
öÅ‚
1p.
boku danego trójkÄ…ta np. a2 = 122 + 82 - 2 Å"12 Å"8 Å" .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1p.
16. Obliczenie długości trzeciego boku: a = 4 19 cm .
5.
17. Wykorzystanie np. twierdzenia sinusów do obliczenia długości
(4 pkt)
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i zapisanie, że:
1p.
a
= 2R.
sin120
4 57
1p.
18. Obliczenie długości promienia: R = cm .
3
Strona 1 z 2
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz I  Poziom podstawowy  styczeń 2003 r.
19. Obliczenie objÄ™toÅ›ci pierwszej szklanki: V1 =Ä„ Å" 32 Å"10 H" 282,6cm3. 1p.
2
20. Obliczenie objÄ™toÅ›ci drugiej szklanki: V2 = Ä„ Å" 2,9 Å"9,5 H" 250,9 cm3 1p.
( )
6.
21. Obliczenie objÄ™toÅ›ci trzeciej szklanki: V3 =Ä„ Å" 32 Å" 9 H" 254,3cm3 .
1p.
(5 pkt)
22. Zamiana jednostek objętości: np. 0,25l = 250cm3 . 1p.
23. Wskazanie szklanki, której objętość jest najbliższa 0, 25l .
1p.
24. Zapisanie podanej nierówności w postaci: x2 - 6x - 7 > 0 i obliczenie
1p.
wyróżnika trójmianu: " = 64 .
25. Obliczenie pierwiastków trójmianu: x = -1 lub x = 7
1p.
26. Zapisanie zbioru rozwiązań danej nierówności: x "(- ";-1)*" (7;").
1p.
27. Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem
1p.
7.
funkcji f : W (3,3) .
(6 pkt)
2
28. Wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu y = (x - 9) + 6 do
1p.
odczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: W1(9,6) .
29. Zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu y = x2 - 6x +12 nie jest
2
1p.
wykres funkcji y = (x - 9) + 6 ponieważ: np. obrazem punktu W w danej
symetrii jest punkt W '(9,3) .
30. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego
8
ëÅ‚ öÅ‚
1p.
doÅ›wiadczenia: &! = ìÅ‚ = 56.
ìÅ‚3÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
8.
(3 pkt)
31. Podanie liczby zdarzeń sprzyjających: A = 8 . 1p.
1
32. Obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia: P(A) = .
1p.
7
33. Zapisanie sumy kwadratów sinusów miar wszystkich kątów
1p.
2 2 2
wewnÄ™trznych danego trójkÄ…ta np. sin Ä… + sin ² + sin 90 (1).
9. 2
34. Przekształcenie wyrażenia (1) do postaci: sin ą + cos2 ą +1.
1p.
(3 pkt)
2
35. Wykorzystanie równości: sin ą + cos2 ą = 1 do uzyskania tezy
1p.
twierdzenia.
36. Zauważenie, że pierwszy wyraz ciągu jest równy12 , zaś różnica równa
1p.
siÄ™ 6.
37. Zapisanie wzoru na n - ty wyrazu tego ciÄ…gu:
1p.
an = 12 + (n -1) Å" 6 = 6n + 6 .
10.
38. Wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez 6: 96.
1p.
(5 pkt)
39. RozwiÄ…zanie równania liniowego: 6n + 6 = 96 Ò! n = 15 .
1p.
12 + 96
40. Obliczenie sumy: S15 = Å"15 =810 .
1p.
2
Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej
w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Strona 2 z 2