(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJ
CEGO
MMA-R2G1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ARKUSZ II
POZIOM ROZSZERZONY
MAJ
Arkusz II
ROK 2003
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 10 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
Za rozwiÄ…zanie
z kalkulatora graficznego.
wszystkich zadań
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
można otrzymać
którą wypełnia egzaminator.
łącznie 60 punktów
Życzymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 12. (5 pkt )
Sprawdz
, czy funkcja f określona wzorem
x(x
Å„Å‚ -1)(x - 2)
dla x `" 1 i x `" 2
ôÅ‚
x2 - 3x + 2
ôÅ‚
f (x) = 1 dla x = 1
òÅ‚
ôÅ‚
3 dla x = 2
ôÅ‚
ół
jest ciągła w punktach x = 1 i x = 2 . Sformułuj odpowiedz
.
Odpowiedz
. ...........................................................................................................................
Zadanie 13. (3 pkt )
Niech &! bÄ™dzie zbiorem wszystkich zdarzeÅ„ elementarnych i A ‚" &! , B ‚" &! . Oblicz
5 1 3
2
P(A)" B) wiedząc, że P( A*" B) = , P(A) = , P(B ) = . Sprawdz
, czy zdarzenia A i B sÄ…
8 2 4
zdarzeniami niezależnymi ?
Odpowiedz
. P(A)" B) =.................... Zdarzenia A i B .................................................
 Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz II
Zadanie 14. (4 pkt )
Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k < 0. Wiedząc, że
A(-2,0) , B(0,- 2) , C(3,4) , D(7,0) wyznacz:
a) równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności,
b) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności,
c) współrzędne środka tej jednokładności.
Odpowiedz
. a) Równania prostych mają postać ......................................................................
b) Środek jednokładności ma współrzędne .........................................................
Zadanie 15. (5 pkt )
Dane są funkcje f, g i h określone wzorami : f (x) = 2x , g(x) = -x , h(x) = x - 2 , x"R.
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji f g .
c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h f g .
y y y
5 5 5
4 4 4
3 3 3
2 2 2
1 1 1
x x x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1 -1 -1
-2 -2 -2
-3 -3 -3
-4 -4 -4
-5 -5 -5
-6 -6 -6
Wykres funkcji f. Wykres funkcji f g . Wykres funkcji h f g .
4 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 16. (5 pkt )
Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze  Expres-Lotek zakreślamy
5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród
5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrÄ…gleniu do 0,00001.
Odpowiedz
. Prawdopodobieństwo jest równe ..................................................
Zadanie 17. (5 pkt )
Rozwiąż równanie 2cos2 x + 5sin x - 4 = 0.
Odpowiedz
. ................................................................................................................................
 Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz II
Zadanie 18. (5 pkt )
W tabeli podane są wartości funkcji f : (- 3,4) ! dla trzech argumentów.
x -2 0 3
5 5
f (x)
3
-1
8 8
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu
funkcji f w punkcie o odciętej x = 0 .
b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj
argument, dla którego funkcja f osiąga
ekstremum.
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.
Odpowiedz
. a) Równanie stycznej ma postać ............................................................................
b) Funkcja f osiąga ............................. równe ...................... dla ..........................
c) Najmniejsza wartość funkcji f jest równa ..........................................................
6 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 19. (4 pkt )
Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania f (x - 1) = m
w zależności od wartości parametru m. Odpowiedz
uzasadnij.
Zadanie 20. (6 pkt )
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego,
3 1
dodatniego n zachodzi równość: 2 + 5 + 8 + ... + (3n -1) = n2 + n .
2 2
 Egzamin maturalny z matematyki 7
Arkusz II
Zadanie 21. (8 pkt )
W trójkącie ABC dane są : AC = 8 , BC = 3 , "ACB = 600 . Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC .
8 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 22. (10 pkt )
Rozwiąż równanie log3(log9 x)= log9(log3 x).
Egzamin maturalny z matematyki 1
Arkusz egzaminacyjny II
Schematy punktowania zadań do Arkusza II
Zadanie 12.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
x(x -1)(x - 2)
Zapisanie wyrażenia w prostszej
x2 - 3x + 2
1. 1
postaci.
Odp. x .
Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x = 1.
2. 1
Odp. 1.
Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x = 2 .
3. 1
Odp. 2
Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Funkcja f jest ciągła w punkcie x = 1; funkcja f
4. 2
nie jest ciągła w punkcie x = 2 .
Za każdą część odpowiedzi  1 punkt.
Zadanie 13.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Obliczenie P(B) .
1. 1 1
Odp. P(B) = .
4
Obliczenie P(A)" B) .
P(A*" B) = P( A) + P(B) - P(A)" B)
2. 1
1
Odp. P(A)" B) = .
8
Porównanie liczb P(A)" B) oraz P(A)Å" P(B) i
3. 1
zapisanie odpowiedzi, że zdarzenia A i B są
niezależne.
Zadanie 14.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Ustalenie, że punkt D jest obrazem punktu A oraz
punkt C jest obrazem punktu B.
1. 1
Fakt ten może być opisany słownie, przedstawiony
rysunkiem lub wykorzystany podczas rozwiÄ…zania.
Wyznaczenie równania prostej AD.
2. 1
Odp. y = 0 .
Wyznaczenie równania prostej BC.
3. 1
Odp. y = 2x - 2 .
Wyznaczenie współrzędnych środka jednokładności.
4. 1
Odp. (1,0) .
Egzamin maturalny z matematyki 2
Arkusz egzaminacyjny II
Zadanie 15.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Naszkicowanie wykresu funkcji f.
1. 1
Odp.
Wyznaczenie wzoru funkcji f g .
2. 1
Odp. ( f g) (x) = 2- x .
Naszkicowanie wykresu funkcji f g .
3. 1
Odp.
Wyznaczenie wzoru funkcji h f g .
4. 1
Odp. (h f g)(x) = 2- x - 2 .
Naszkicowanie wykresu funkcji h f g .
5. 1
Odp.
Zadanie 16.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Zapisanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych
za pomocÄ… symbolu Newtona.
1. 1
42
ëÅ‚ öÅ‚
Odp. ìÅ‚ ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
2. 1
Odp. 850668.
Zapisanie liczby zdarzeń sprzyjających trafieniu co
najmniej 4 spośród 5 liczb z wykorzystaniem symbolu
Newtona.
3. 1
5 37
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Odp. ìÅ‚ ÷Å‚ +1.
ìÅ‚4÷Å‚ìÅ‚ 1 ÷Å‚
÷Å‚ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz egzaminacyjny II
Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
4. 1
Odp. 186.
Obliczenie prawdopodobieństwa trafienia co najmniej
4 spośród 5 liczb.
186
5. 1
H" 0,0002186
850668
Odp. 0,00022.
Zadanie 17.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
1. 1
Zapisanie równania w postaci 2sin2 x - 5sin x + 2 = 0 .
Zapisanie równania z niewiadomą t = sin x .
2. 1
Odp. 2t2 - 5t + 2 = 0.
Wyznaczenie rozwiązań równania 2t2 - 5t + 2 = 0.
3. 1 1
Odp. t = 2 , t = .
2
4. Zapisanie, że równanie sin x = 2 nie ma rozwiązań. 1
Zapisanie rozwiązań równania
2cos2 x + 5sin x - 4 = 0.
Ä„ 5
Odp. x = + 2kĄ ,k "C lub x = Ą + 2kĄ , k "C .
5. 1
6 6
(Uznajemy też wynik zapisany w postaci.
x = 300 + k Å"3600 , gdzie k "C lub x = 1500 + k Å"3600 ,
gdzie k "C ).
Zadanie 18.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie polecenia a).
5
Odp. y = .
8
1. 2
Za podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub
wartości pochodnej funkcji f dla x=0 przyznajemy 1
punkt.
Podanie argumentu, dla którego funkcja f osiąga
2. minimum. 1
Odp. x = 3.
Podanie minimum funkcji f.
3. 1
Odp. fmin(3) = -1 .
Wykonanie polecenia c).
4. 1
Odp. Najmniejsza wartość funkcji f jest równa  1.
Zadanie 19.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie polecenia zadania.
Odp. Równanie nie ma rozwiązań dla m "(- ",0 ;
1. 2
równanie ma 1 rozwiązanie dla m "(0,+ ").
Po 1 punkcie za każdy z rozważonych przypadków.
Uzasadnienie odpowiedzi.
Odp. Funkcja g określona wzorem g(x) = f (x -1)
2. 2
jest funkcją różnowartościową. Zbiorem wartości
Egzamin maturalny z matematyki 4
Arkusz egzaminacyjny II
funkcji g jest przedział (0,+ ") .
Po 1 punkcie za każdy element uzasadnienia.
Zadanie 20.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Sprawdzenie, czy dla n = 1 zachodzi dana równość.
Odp. Lewa strona równości jest równa 2. Prawa
1. 1
3 1
strona jest równa + = 2 .
2 2
Zapisanie założenia indukcyjnego.
3 1
Odp. 2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) = k2 + k , gdzie k
2. 1
2 2
jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub
równą 1.
Zapisanie tezy indukcyjnej.
Odp.
3. 1
3 1
2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) + (3k + 2) = (k +1)2 + (k +1)
2 2
Przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.
Odp.
3 1
2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) + (3k + 2) = k2 + k + (3k + 2) =
4. 2
2 2
3 3 1 1 3 1
= k2 + 3k + + k + = (k +1)2 + (k +1)
2 2 2 2 2 2
Sformułowanie odpowiedzi.
Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana
5. 1
równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej,
dodatniej n.
Zadanie 21.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Wykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.
Odp.
1. 1
Zapisanie jaką bryłą jest bryła po obrocie danego
trójkąta.
Odp. Powstała bryła jest stożkiem z wyciętym
2. 1
stożkiem o tej samej podstawie.
Punkt przyznajemy także jeśli zaznaczony jest stożek
na rysunku.
Wyznaczenie długości odcinka AB .
3. 1
Z twierdzenia kosinusów
Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz egzaminacyjny II
2
AB = AC + BC - 2 AC Å" BC cos "ACB .
Odp. AB = 7 .
Wyznaczenie długości odcinka AD .
AD = AC Å"sin "ACB
4. 1
Odp. AD = 4 3 .
Wyznaczenie długości odcinka CD .
CD = AC Å"cos "ACB
5. 1
Odp. CD = 4 .
Obliczenie objętości powstałej bryły.
2 2
1 1
V = Ä„ AD Å" CD - Ä„ AD Å" BD
6. 1
3 3
Odp. 48Ä„ .
Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
P = Ä„ AD Å" AC +Ä„ AD Å" AB
7. 2
Odp. 60 3Ä„ .
Jeśli wyznaczone zostało pole powierzchni bocznej
tylko jednego stożka przyznajemy 1 punkt.
Zadanie 22.
L. p. Wykonana czynność L. punktów
Zapisanie warunku jaki musi spełniać niewiadoma x.
x > 0
Å„Å‚
ôÅ‚log
1. 1
Odp. x > 0
òÅ‚
3
ôÅ‚log9 x > 0
ół
Wyznaczenie dziedziny równania.
2. 1
Odp. x "(1,+ ") .
Zapisanie równania w postaci
2
log9(log9 x) = log9(log3 x).
3. 2
Za zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw 
1 punkt.
2
4. Zapisanie równania w postaci (log9 x) - log3 x = 0 . 1
2
5. Zapisanie równania w postaci (log9 x) - 2log9 x = 0 . 1
Wyznaczenie rozwiązań równania
2
(log9 x) - 2log9 x = 0 .
Odp. x = 1 lub x = 81.
6. 3
Zapisanie w postaci (log9 x - 2)log9 x = 0 - 1 punkt.
Zapisanie alternatywy: log9 x = 0 lub log9 x = 2 -
1 punkt.
Wyznaczenie rozwiązań równania - 1 punkt.
Wyznaczenie rozwiązań równania
log3(log9 x)= log9(log3 x).
7. 1
Odp. x = 81.