MAT URA STOA
ECZNA
ZADANIA I ROZWI
ZANIA Z MATEMATYKI  PROFIL OGÓLNY
íÅ‚
(2n + 5) (2n + 4) (2n + 3)
Pytania
=
Część wspólna II
6
9 3 17 9 + 3 17
m ; {0
Zadanie 1. A  zdarzenie polegajÄ…ce na wylosowaniu trzech
2 2
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla któ- liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą.
rych dziedziną funkcji Dla m =  2 równanie ma postać A2  zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech
4=0 liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
3x2 4x + 5
f (x) =
zatem dla m =  2 nie ma rozwiÄ…zania
ëÅ‚n + 3 (n + 3) ! (n + 3) (n + 2) (n +1)
(m + 2)Å" x4 + 6Å"(m + 2)Å" x2 + m2
2
A = ìÅ‚ = =
ìÅ‚
3 n ! Å"3! 6
íÅ‚
jest zbiór liczb rzeczywistych. Odp. Warunki zadania spełnione są dla
m 2+ ) {
0
2
Zadanie 2. P ( A) = 1 P ( A )
Zaznacz na płaszczyz
nie zbiory A, B oraz A )" B,
(n + 3) (n + 2) (n +1)Å"6
gdy: Zadanie 2. P ( A) = 1 =
(2n + 5) 2 (n + 2) (2n + 3) 6
A={(x, y):x "R'"y "R'" y e" x2 2x +1},
ćł ćł
B={(x, y):x "R'"y "R'" y d" 2+ x  1 }. Zbiór A
ćł ćł
(n + 3) (n +1) 7n2 + 28n + 27
= 1 =
2 (2n + 5) (2n + 3) 2 (2n + 5) (2n + 3)
Zadanie 3.
Dany jest prostokąt o obwodzie 4p. Każdy bok pro- b) Moc &! nie ulega zmianie
stokąta jest średnicą półokręgu leżącego na zewnątrz Analogicznie wykazujemy, że " BOS a""COS B  zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech
tego prostokąta. Wyznacz długości boków prostoką- czyli również " AOS a""COS. liczb, których suma jest liczbą parzystą.
ta tak, aby pole figury ograniczonej krzywą złożoną Z przystawania wynika, że AO = BO = CO Suma trzech liczb jest parzysta, jeśli wylosujemy
| | | | | |,
z tych czterech półokręgów było najmniejsze. czyli O jest środkiem okręgu opisanego na pod- trzy liczby parzyste lub jedną parzystą i dwie nie-
stawie, a zatem w przypadku trójkąta prostokątne- parzyste.
Zadanie 4, go leży w połowie przeciwprostokątnej
n + 2 n + 3
ëÅ‚n + 2 ëÅ‚ ëÅ‚
a
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny
B = ìÅ‚ + ìÅ‚ ìÅ‚ =
AO = BO = CO
| | | | | | =
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
3 1 2
prostokątny, którego przeciwprostokątna ma dłu- 2
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
gość ą. Wszystkie krawędzie boczne są nachylone Również z przystawania wynika, że
n (n +1) (n + 2) (n + 2)2 (n + 3)
do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod katem ą. AS = BS = CS
| | | | | |. = + ;
6 2
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Pole ściany bocznej ACS.
Zbiór B
(n + 2) (4n2 +16n +18)
P (B) = =
Zadanie 5a.
(2n + 5) (2n + 4) (2n + 3)
Ze zbioru liczb {1,2,3,...,2n+5} losujemy trzy ra-
zy po jednej liczbie bez zwracania. 2n2 + 8n + 9
=
a) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech
(2n + 5) (2n + 3)
liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą,
b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech
liczb, których suma jest liczbą parzystą. Zadanie 5*.
Zadanie 5b. W tym zadaniu korzystamy z zadania 5a
Ze zbioru liczb {1,2,3,...,2n + 5} losujemy trzy ra-
ëÅ‚2n + 5 (2n + 5) (2n + 4) (2n + 3)
&! = ìÅ‚ =
zy po jednej liczbie bez zwracania. Przyjmijmy, że
ìÅ‚
3 6
íÅ‚
An oznacza zdarzenie: otrzymamy trzy liczby, któ-
rych suma jest liczbÄ… parzystÄ…, zaÅ› Bn oznacza zda- An  zdarzenie opisane tak jak zdarzenie B w
rzenie: otrzymamy trzy liczby, których iloczyn jest zadaniu 5a
liczbÄ… parzystÄ…. Bn  zdarzenie opisane tak jak zdarzenie A w za-
Oblicz lim P ( An / Bn ) A )" B (część wspólna zbiorów) daniu 5a
n
SO a
= tg SO = tg P ( An )" Bn )
a
P ( An / Bn ) =
2
P (Bn )
2
RozwiÄ…zania
7n2 + 28n + 27
1 a2
P (Bn ) = P (A) =
P"ACS = a SO = tg
Zadanie 1.
2 (2n + 5) (2n + 3)
2 4
Żądamy, aby mianownik naszej funkcji był róż- 2n2 + 8n + 9
P ( An )" Bn ) = P (B) =
ny od zera,
(2n + 5) (2n + 3)
(m +2)x4+6(m +2)x2+ m2`" 0
lim P ( An / Bn ) =
Jest to równanie dwukwadratowe dla każdego
n
m `"  2.
a
(2n2 + 8n + 9)Å"2 (2n + 5) (2n + 3)
Równanie to nie ma pierwiastków, gdy równanie
= lim =
2cos
kwadratowe (dokonujemy podstawienia x2=t) nie
n
(2n + 5) (2n + 3) Å" (7n2 + 28n + 27)
ma pierwiastków lub ma pierwiastki ujemne.
4
Zadanie 3.
=
7
Po podstawieniu równanie przyjmuje postać:
(m +2)t2+6(m +2)t+ m2`" 0
PRZYKA
ADOWE ODPOWIEDZI OPRACOWAA
Y
Å„Å‚m + 2 `" 0 BEATA KOWALCZYK-KOZA
OWSKA I ANNA MAKOWSKA,
ôÅ‚" NAUCZYCIELKI MATEMATYKI Z LIV PRYWATNEGO LO SIÓSTR
a 2
ôÅ‚
Å„Å‚m + 2 `" 0 0
NAZARETANEK, EGZAMINATORKI OKE W WARSZAWIE
òÅ‚" 0 òÅ‚t Å"t2 0
2
1
ół ôÅ‚
ôÅ‚t + t2 0
1
ół
2
" =[6(m + 2)]  4m2(m +2)=
Tematy maturalne
= 4(m +2)(m2 9m  18) z twierdzenia Pitagorasa
Szukamy pierwiastków wyrażenia w drugim na- Ú HISTORIA
wiasie. 1. Polska i jej sÄ…siedzi w XIV i XV stuleciu
a2 2a2 a 1 2cos2
SF = =
 Czechy, Węgry, Litwa i zakon krzyżacki.
" = 81 + 72 = 153;
4 2cos
4cos2
Scharakteryzuj stosunki polityczne z tymi sÄ…-
b " 9 3 17
siadami.
m1 = = *"
2. Scharakteryzuj przeobrażenia cywilizacyjne
2a 2
w Europie w XIX stuleciu.
1 a 2 a 1 2cos2
b + " 9 + 3 17
P" = Å" =
3. Z dziejów Polski Ludowej. Zadanie polega-
*" m2 = =
2 2 2cos
2a 2
Przyjmijmy oznaczenia boków prostokąta: 2x i 2y. jące na analizie tekstów z
ródłowych i napisaniu
Na pole figury składa się pole prostokąta i pola krótkiego wypracowania. Temat wypracowania.
dwóch kół Scharakteryzuj jeden z trzech wymienionych
4x +4y =4p Ò! x + y = p Ò! y = p  x; x "(0; p) okresów w dziejach Polski Ludowej:
a2 2 4cos2
=
Przedstawmy pole figury jako funkcjÄ™ zmiennej x a) lata 1948 1956
8cos
P(x)= x2+  (p  x)2+4x (p  x)= b) lata 1956 1970
I. " <0 =(2   4)x2+(4p  2 p) x + p2 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa c) lata 1970 1980
m "( 2; m1) *" (m2; +") Jest to funkcja kwadratowa, a jej dziedzina to Ú BIOLOGIA
II. "e"0 Dp = (0; p). Ponieważ 2   4 > 0, to funkcja kwa- a2 2 4cos2 a2
1. W jaki sposób zależności pomiędzy gatun-
2 Å" + tg =
dratowa przyjmuje wartość najmniejszą (w wierz- kami w przyrodzie sprzyjają ich ewolucji.
9 3 17 9 + 3 17
8cos 4
m ( ; 2 *" ;
chołku) dla 2. Organizacja materiału genetycznego i jego
2 2
ekspresja  u prokariota i eukariota.
b p (2  4) p
x = czyli x = = Dp
a2
t1. t2 >0 3. Zestaw zadań. Budowa, czynności i współ-
2a 2 (2  4) 2 = ( 2 4cos2 + sin )
Korzystamy ze wzorów Viete a działanie narządów organizmu człowieka.
4cos
Zatem prostokÄ…t jest kwadratem o boku  p Ú GEOGRAFIA
c m2
t1 Å"t2 = 0
= m> 2 i m `" 0 Zadanie 5. 1. Planeta Ziemia. Konsekwencje kształtu i ru-
a m + 2
Zadanie 4. a) Podany zbiór posiada 2n + 5 elementów, w tym chów Ziemi.
t1+ t2 <0 AC =a jest n + 2 liczb parzystych i n +3 nieparzystych. 2. Dzieje Ziemi. Dzieje geologiczne Polski.
| |
Korzystamy ze wzorów Viete a " AOS a""BOS 3. Wody śródlądowe Polski, ich zasoby i wyko-
b 6(m + 2) ! SAO = ! SBO = Ä… rzystanie gospodarcze.
t1 + t2 = 0
! AOS = ! BOS = 90° = 4. Procesy industrializacji na Å›wiecie i w Polsce.
2n + 5
ëÅ‚ (2n + 5)!
a (m + 2)
ìÅ‚
&! = = =
Odcinek SO jest wspólnym bokiem " AOS i ìÅ‚ 5. Handel zagraniczny. KOZ
3 (2n + 5 3)!3!
íÅ‚
m R { 2
" BOS.
8 GAZETA WYBORCZA STOA
ECZNA Czwartek 8 maja 2003 www.gazeta.pl/warszawa
1 WAW