(Wpisuje zdajÄ…cy przed
rozpoczęciem pracy)
Miejsce
na naklejkÄ™
z kodem
KOD ZDAJ
CEGO
MMA-R2D1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ARKUSZ II
POZIOM ROZSZERZONY
STYCZEC

Arkusz II
ROK 2003
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron.
Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu
nadzorujÄ…cego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać
ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania
prowadzÄ…cy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać
Za rozwiÄ…zanie
z kalkulatora graficznego.
wszystkich zadań
10. Do ostatniej kartki arkusza dołączona jest karta odpowiedzi,
można otrzymać
którą wypełnia egzaminator.
łącznie 60 punktów
Życzymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 11. (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f : R R , określonej wzorem:
f (x) = (x -1)Å"(5 - x), w przedziale 0;7 .
Odpowiedz
: ...........................................................................................................
Zadanie 12. (4 pkt)
Dane jest równanie postaci a2 Å" x - 1 = x + a , w którym niewiadomÄ… jest x .
Zbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru a .
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki 3
Arkusz II
Zadanie 13. (4 pkt)
Wyznacz te wartości parametrów a oraz b , przy których funkcja g : R R , określona
Å„Å‚
x2 + a
dla x `" 2
ôÅ‚
x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
wzorem g(x) = jest ciągła w punkcie x = 2 .
òÅ‚
ôÅ‚
b dla x = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Zadanie 14. (5 pkt)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an ), jest obliczana według wzoru
+
Sn = n2 + 3n , (n " N ) . Wyznacz an . Wykaż, że ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym.
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
4 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 15. (5 pkt)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10 . Oblicz iloczyn dziewiętnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 16. (4 pkt)
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
polegającego na tym, że  jedynka wypadnie co najmniej cztery razy.
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki 5
Arkusz II
Zadanie 17. (5 pkt)
W układzie współrzędnych są dane punkty: A( - 9, - 2) oraz B ( 4, 2) . Wyznacz współrzędne
punktu C, leżącego na osi OY, tak że kąt ACB jest kątem prostym.
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Zadanie 18. (4 pkt)
Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządz

odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
6 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 19. (5 pkt)
Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm , jest opisany na okręgu. Wiedząc, że
przekątna trapezu ma długość 41 cm , oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Egzamin maturalny z matematyki 7
Arkusz II
Zadanie 20. (10 pkt)
Funkcja h jest określona wzorem h(x) = log2 (x2 - 4) - log2 (x - 5) . Wyznacz wszystkie
wartości parametru k, dla których równanie h(x) - log2 k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
8 Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Odpowiedz
: .............................................................................................................................
Zadanie 21. (10 pkt)
Na kuli o promieniu R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu r i wysokości H . Spośród
wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość.
Oblicz promień i wysokość znalezionego stożka.
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz II  Poziom rozszerzony  styczeń 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAC

ARKUSZ II  POZIOM ROZSZERZONY
Maksymalna
Nr liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
zadania
dany etap
1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: W (3,4) .
1p.
2. Obliczenie wartości f (0) = -5 .
1p.
11.
3. Obliczenie wartości f (7) = -12 .
1p.
(4 pkt)
4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja f w przedziale 0;7 osiąga największą
1p.
wartość równą 4 , zaś najmniejszą równą (-12) .
5. Przekształcenie danego równania do postaci np.
1p.
równania: x(a -1)(a +1) = a +1
6. Zapisanie, że dla a = 1 dane równanie nie ma żadnego rozwiązania. 1p.
12.
7. Zapisanie, że dla a = -1 dane równanie ma nieskończenie wiele
(4 pkt)
1p.
rozwiązań.
8. Zapisanie, że dla a `" 1 i a `" -1dane równanie ma dokładnie jedno
1p.
rozwiÄ…zanie.
9. Zapisanie, że warunkiem koniecznym ciągłości danej funkcji w punkcie
x = 2 jest istnienie skończonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, że
dwumian (x - 2) jest podzielnikiem dwumianu (x2 + a) , zatem parametr a 2p.
przyjmuje wartość: a = -4. (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi
a =-4 bez uzasadnienia)
13.
x2 - 4
(4 pkt)
10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie x = 2 : lim = 4 . 1p.
x2
x - 2
11. Porównanie obliczonej granicy z wartością funkcji g w punkcie x = 2 :
lim g(x) = 4 = g(2) =b oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja g jest ciągła w
1p.
x2
punkcie x = 2 gdy a = -4 oraz b = 4 .
12. Zapisanie, że an+1 = Sn+1 - Sn = 2n + 4
2p.
13. Obliczenie n - tego wyrazu ciÄ…gu: an = 2n + 2 .
1p.
14.
14. Zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:
(5 pkt)
1p.
r = an+1 - an
15. Obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny. 1p.
16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciÄ…gu, np. przez a1 oraz ilorazu, np.
1p.
przez q i zapisanie, że a1 Å" q9 = 10 .
17. Doprowadzenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
wyrazów danego ciÄ…gu do postaci a119 Å" q1+2+...+18 .
15.
18. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
(5 pkt)
wyrazów danego ciÄ…gu do postaci a119 Å" q19Å"9 .
19. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
wyrazów danego ciÄ…gu do postaci (a1 Å" q9 )19
20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
wyrazów tego ciągu jest równy 1019 .
Strona 1 z 3
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz II  Poziom rozszerzony  styczeń 2003 r.
21. Zauważenie i zapisanie, że dane doświadczenie losowe można opisać
1
schematem Bernoullego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu p = ,
6
1p.
5
prawdopodobieństwo porażki q = , liczba prób N = 5 , liczba sukcesów
6
k e" 4 .
22. Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci:
16.
1p.
P5 (k e" 4) = P5 (k = 4) + P5 (k = 5) .
(4 pkt)
23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego
4 5 0
5 5
ëÅ‚ öÅ‚ 1 5 ëÅ‚ öÅ‚ 1 5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 1p.
zdarzenia w postaci: P5 (k e" 4) = ìÅ‚ Å" Å" + ìÅ‚ Å" Å" .
ìÅ‚4÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚ ìÅ‚5÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
24. Poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:
25 1 26 13
1p.
P5 (k e" 4) = + = = H" 0,00334 .
7776 7776 7776 3888

1p.
25. Zapisanie warunku (1) CA CB = 0 , gdzie C(0, y) .

1p.
26. Obliczenie współrzędnych wektora CA = [- 9, - 2 - y].

17. 1p.
27. Obliczenie współrzędnych wektora CB = [4, 2 - y].


(5 pkt)
28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów CA i CB :
1p.
-36 - (2 - y)Å"(2 + y)
29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie
1p.
punkty: C(0, 2 10) lub C(0, - 2 10) .
30. SporzÄ…dzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kÄ…ta.
1p.
31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.
3 3 3
a2 = a2 + a2 - 2 Å" a2 Å" cosÄ… , gdzie a - dÅ‚ugość krawÄ™dzi szeÅ›cianu,
2p.
18.
4 4 4
(4 pkt)
zaś ą - miara kąta ostrego między przekątnymi sześcianu
1 1
32. Obliczenie wartoÅ›ci cosinusa kÄ…ta ostrego: cosÄ… = . (Albo: cos ² = -
1p.
3 3
gdzie ² jest katem rozwartym).
33. Wykorzystanie faktu istnienia okręgu wpisanego w dany trapez i
2p.
zapisanie, że suma długości podstaw a i b trapezu jest równa 10 cm .
34. Zauważenie i zapisanie, że wysokość trapezu, opuszczona z wierzchołka
kąta rozwartego, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach:
1p.
19.
a + b a - b
)
oraz .
(5 pkt)
2 2
35. Obliczenie długości wysokości trapezu: h = 4 cm .
1p.
36. Obliczenie pola danego trapezu: P = 20cm2 .
1p.
37. Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania
20.
2p.
h(x) - log2 k = 0 : x > 5 i k > 0 .
(10 pkt)
x2 - 4
38. Przekształcenie równania h(x) - log2 k = 0 do postaci: = k 1p.
x - 5
39. Przekształcenie równania do postaci: x2 - kx + 5k - 4 = 0 .
1p.
Strona 2 z 3
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz II  Poziom rozszerzony  styczeń 2003 r.
" > 0
Å„Å‚
ôÅ‚x
40. Zapisanie układu warunków > 5 , gdzie xw oznacza odciętą
òÅ‚
w
ôÅ‚
f (5) > 0
ół 1p.
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f = x2 - kx + 5k - 4 , przy
pewnej wartości k .
2
41. Obliczenie wyróżnika trójmianu: " = k - 20k +16 .
1p.
42. Rozwiązanie nierówności " > 0 :
1p.
" > 0 Ô! k "(- ";10 - 2 21)*"(10 + 2 21; ").
43. Rozwiązanie nierówności xw > 5 : k "(10;").
1p.
44. Sprawdzenie, że warunek f (5) > 0 zachodzi dla każdej rzeczywistej
1p.
wartości parametru k .
44. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu
nierówności z p.40 oraz warunku k > 0 : Dla wszystkich k "(10 + 2 21; ")
1p.
równanie h(x) - log2 k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
R r
45. Zapisanie zależności między zmiennymi: = .
1p.
2 2
H - R
H + r
16H
2
46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np. r = .
1p.
H - 8
47. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:
2
Ä„ 16H 1p.
V (H ) = Å" .
3 H - 8
48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V (H ) : DV = (8;").
1p.
16Ä„ H (H -16)
49. Obliczenie pochodnej funkcji objÄ™toÅ›ci: V '(H ) = Å" ,
2
3
(H - 8)
1p.
DV ' = DV .
21.
50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości: H = 16 .
1p.
(10 pkt)
51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objÄ™toÅ›ci: V '(H ) > 0 Ô! H " (16;")
1p.
oraz V '(H ) < 0 Ô! H " (8;16) .
52. Stwierdzenie i zapisanie, że dla H = 16 funkcja V osiąga lokalne
512Ä„
1p.
minimum równe V (16) = .
3
53. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest
wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:
1p.
lim V (H ) = +" oraz lim V (H ) = +" .
H "
H 8+
54. Podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o
promieniu R = 4cm : wysokość stożka, H = 16cm , promień podstawy
1p.
stożka r = 4 2 cm .
Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od
przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Strona 3 z 3