Egzamin z Algebry Abstrakcyjnej

(do wykładu Prof. dr hab. Adama Pawła Wojdy)

termin 1

23 czerwca 2006r.

Zadanie 1 Ala i Bob zakodowali na własne potrzeby wybrane litery alfabetu

A

L

O

E

P

I

E

S

B

K

0

1

3

8

5

2

7

2

4

9

Bob wybiera liczby pierwsze p = 11, q = 19 i przesyła Alicji ich iloczyn (209). Alicja koduje
informację metodą Rabina, otrzymuje liczbę 163(mod209) i przesyła ją Bobowi. Co jest celem
następnej wyprawy Alicji i Boba? (Oczywiście trzeba rozkodować przekaz Alicji, a nie zgadnąć
korzystając z faktu, że przy tak ograniczonym alfabecie możliwości jest niewiele).
Jakie słowa da się przy ograniczeniach przyjętych przez Boba i Alicję zakodować?

Zadanie 2 Znajdź dzomknięcie normalne K rozszerzenia Q(

3

√

2) : Q.

Wskaż grupy Galois rozszerzeń Q(

3

√

2) : Q oraz K : Q.

Zadanie 3 Znaleźć, z dokładnością do izomorfizmu, wszystkie podgrupy grupy D

4

(grupy izome-

trii własnych kwadratu). Czy grupa D

4

jest przemienna? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 4 Wykaż, że dla pierścienia P i jego podpierścienia D, 1

D

i 1

P

(jeśli istnieją) są równe

jeżeli P jest pierścieniem bez dzielników zera (1

D

i 1

P

oznaczają odpowiednio jedynki pierścieni

D i P ). Na przykładzie pokaż, że założenie o dzielnikach zera jest istotne.

Zadanie 5 Wykaż, że

(a) jeśli w pierścieniu całkowitym I

a

∩ I

b

jest ideałem głównym, to istnieje N W W (a, b) oraz

I

a

∩ I

b

= I

N W W (a,b)

,

(b) jeśli suma dwóch ideałów głównych I

a

+ I

b

jest ideałem głównym, to istnieje N W D(a, b)

oraz I

a

+ I

b

= I

N W D(a,b)

.

Skład komputerowy w systemie L

A

TEX

Mateusz Zakrzewski