I kolokwium   14.04.2008

1. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią  x

2

 y

2

z

2



4

=



x

2 

y

2 

−z

2 



3 

.

2. Obliczyć  

∫

K

1  

x

arctg

y
x

dx+

2

y

arctg

x

y

dy

, gdzie K jest częścią położonej w I ćwiartce 

krzywej zamkniętej zorientowanej ujemnie i złożonej z łuków okręgów 

x

2

y

2

=1

,

x

2

 y

2

=4

, odcinków prostych  y=x , y=



3  x bez odcinka prostej

y=



3  x

.

3. Sprawdzić, że całka 

∫



1,­2,­1





­1,3,0





x

2 

−2yz 



dx+



y

2 

−2xz



dy



z

2 

−2xy



dz

 nie zależy od drogi 

całkowania i obliczyć ją.

4. Obliczyć 

∬

S

xyz dy dzz dx dy , gdzie S jest zewnętrzną stroną części paraboloidy 

z=x

2

y

2

, z1, y0

.

5. Obliczyć 

∬

S

x

3 

dy dzy

3

dz dx3zdx dy , gdzie S jest wewnętrzną stroną powierzchni 

zamkniętej utworzonej przez paraboloidę 

z=2 −x

2 

−y

2

i płaszczyznę

z=0

.