1
5. Macierze skośnie symetryczne, prędkości w róŜnych układach
współrzędnych
5.1. Macierze skośnie symetryczne
Macierz kwadratowa S stopnia n jest macierzą skośnie symetryczną wtedy i tylko
wtedy, gdy:
0
=
+
T
S
S
(1)
Dla macierzy skośnie symetrycznej stopnia n o elementach s
ij
, i, j = 1, 2, ..., n równanie (1)
moŜna zapisać w postaci
s
ij
+ s
ji
= 0, i, j = 1, 2, ..., n
(2)
Wszystkie elementy głównej przekątnej macierzy skośnie symetrycznej są równe zeru
(s
ii
= 0), a elementy poza przekątną (i ≠ j) spełniają równość s
ij
= – s
ji
, co wynika z (2). Dalej
będziemy rozwaŜać wyłącznie macierze skośnie symetryczne stopnia n = 3, których
wszystkie elementy są liczbami rzeczywistymi. Przykładem takiej macierzy skośnie
symetrycznej jest macierz
−
−
−
=
0
1
2
1
0
5
2
5
0
S
(3)
Macierz skośnie symetryczna stopnia n zawiera n niezaleŜnych elementów. Przykładowa
macierz skośnie symetryczna zdefiniowana wzorem (3) ma trzy niezaleŜne elementy.
Przyjmijmy wektor u = [u
x
, u
y
, u
z
]
T
, wówczas moŜna zdefiniować funkcję skośnie
symetryczną S(u) w następujący sposób
−
−
−
=
0
0
0
)
(
x
y
x
z
y
z
u
u
u
u
u
u
u
S
(4)
2
Funkcja skośnie symetryczna przekształciła wektor R
3
w macierz R
3x3
. Istnieje takŜe funkcja
odwrotna do funkcji S(u) przekształcająca macierz skośnie symetryczną w wektor.
Przekształcenie takie jest zapisywanie jako
3
3x3
R
R
),
(
→
⋅
=
S
u
inv
(5)
Macierzowe funkcje skośnie symetryczne, których argumentami są wersory mają następujące
postacie:
−
=
0
1
0
1
0
0
0
0
0
)
(i
S
,
−
=
0
0
1
0
0
0
1
0
0
)
(j
S
,
−
=
0
0
0
0
0
1
0
1
0
)
(k
S
(6)
WaŜną własnością funkcji skośnie symetrycznych jest liniowość. JeŜeli u,v
∈
R
3
oraz
α
,
β
∈
R to z definicji (4) otrzymuje się
)
(
)
(
)
(
v
S
u
S
v
u
S
β
β
α
+
=
+
α
(7)
Inną waŜną własnością tej funkcji jest relacja
v
u
v
u
S
×
=
)
(
(8)
którą łatwo wykazać z definicji iloczynu wektorowego. Dla dowolnie wybranych macierzy
obrotu R
∈
R
3x3
, RR
T
=
1, det(RR
T
) = 1 i wektorów u,v
∈
R
3
zachodzi związek
)
(
)
(
)
(
Rv
Ru
v
u
R
×
=
×
(9)
Dla kaŜdej macierzy obrotu R
∈
R
3x3
, RR
T
=
1, det(RR
T
) = 1 i kaŜdej funkcji macierzowej
S(u) zachodzi zaleŜność
)
(
)
(
T
Ru
S
R
u
RS
=
(10)
3
ZałóŜmy teraz, Ŝe ortogonalna macierz obrotu R
∈
R
3x3
jest funkcją jednej zmiennej
θ
∈
R, zatem prawdziwa jest równość
1
=
)
(
)
(
T
θ
θ
R
R
(11)
RóŜniczkując obie strony powyŜszej zaleŜności względem zmiennej
θ
, otrzymuje się
0
=
+
θ
θ
θ
θ
d
d
)
(
)
(
d
d
T
T
R
R
R
R
(12)
co na podstawie następujących własności operacji transponowania (A
T
)
T
= A, (AB)
T
=
B
T
A
T
moŜna zapisać jako
0
=
+
T
T
T
)
(
d
d
)
(
d
d
θ
θ
θ
θ
R
R
R
R
(13)
co oznacza (patrz (1)), Ŝe
)
(
d
d
T
θ
θ
R
R
jest macierzą skośnie symetryczną zmiennej
θ
)
(
)
(
d
d
)
(
)
(
d
d
T
θ
θ
θ
θ
θ
θ
R
S
R
S
R
R
=
⇒
=
(14)
Przykład 1. JeŜeli R = R(
X,
θ
) jest podstawową macierzą obrotu to
)
(
0
1
0
1
0
0
0
0
0
)
cos(
)
sin(
0
)
sin(
)
cos(
0
0
0
1
)
sin(
)
cos(
0
)
cos(
)
sin(
0
0
0
0
)
(
d
d
T
i
S
R
R
S
=
−
=
−
−
−
−
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Stąd otrzymujemy
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
X
X
R
S
R
i
=
(15a)
4
W wyniku podobnych obliczeń:
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
Y
Y
R
S
R
j
=
,
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
Z
Z
R
S
R
k
=
(15b)
Niech macierz obrotu R(u,
θ
)
∈
R
3x3
będzie funkcją jednej zmiennej, którą jest kąt obrotu
θ
wokół ustalonej osi, zdefiniowanej przez wektor u, wówczas
)
,
(
)
(
d
)
,
(
d
θ
θ
θ
u
R
u
S
u
R
=
(16)
Na wykładzie wyprowadzono wzory: (7), (8),
v
u
Rv
Ru
o
o
=
)
(
)
(
, (9), (10).
5.2. Prędkości w róŜnych układach współrzędnych
Dotychczas analizowaliśmy jedynie sytuacje statyczne, tzn. przyjmowaliśmy
załoŜenie, Ŝe wzajemne połoŜenia i orientacje kolejnych układów współrzędnych nie
zmieniają się w czasie. Obecnie zajmiemy się analizą prędkości poszczególnych punktów
opisanych w róŜnych układach współrzędnych. RozwaŜmy sytuację w której bieŜący układ
współrzędnych wykonuje obrót z prędkością kątową
ω
= d
θ
/dt dookoła osi wyznaczonej
przez wektor u. Wówczas pochodna macierzy obrotu R(u,
θ
(t)) względem czasu przyjmuje
postać
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
d
d
d
)
,
(
d
d
))
(
,
(
d
θ
ω
ω
θ
θ
θ
θ
θ
u
R
u
S
u
R
u
S
u
R
u
R
=
=
=
t
t
t
(17)
gdzie:
Ω
u
S
=
−
−
−
=
−
−
−
=
0
0
0
0
0
0
)
(
x
y
x
z
y
z
x
y
x
z
y
z
u
u
u
u
u
u
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(18)
Ω
Ω
Ω
Ω
jest interpretowana jako skośnie symetryczna macierz prędkości kątowej ruchu
obrotowego układu bieŜącego względem układu stałego. Macierz ta (jednoznacznie)
odpowiada prędkości kątowej
ω
ωω
ω
5
=
=
=
z
y
x
z
y
x
u
u
u
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Ω
S
)
(
inv
(19)
Z powyŜszego zapisu wynika, Ŝe kierunek wektora prędkości kątowej
ω
ωω
ω
pokrywa się z
kierunkiem osi obrotu, wyznaczonej przez wektor u (
ω
ωω
ω
=
ω
u). Na podstawie (17) i (18)
macierz prędkości kątowej
Ω
Ω
Ω
Ω
moŜna zapisać jako
))
(
,
(
d
))
(
,
(
d
1
t
t
t
θ
θ
u
R
u
R
Ω
−
=
(20)
PoniewaŜ kaŜdą macierz obrotu moŜna zapisać w reprezentacji oś-kąt, to macierz prędkości
kątowej ruchu obrotowego moŜna zdefiniować w następujący sposób
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
d
)
(
d
T
1
1
t
t
t
t
t
t
t
R
R
R
R
R
R
Ω
&
&
=
=
=
−
−
(21)
Na wykładzie przeprowadzono takŜe analizę ruchu ciała sztywnego,
wyznaczając m.in.: macierz prędkości ruchu w układzie przestrzeni, prędkość liniową
punktu A związanego z ciałem (
0
v
0,A
i
1
v
0,A
) oraz prawo składania prędkości liniowych
i kątowych, patrz np. [2] str. 57 – 62.
Literatura:
[1] Craig J. J.: Wprowadzenie do robotyki. Mechanika i sterowanie, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 1995
[2] Jezierski E.: Dynamika robotów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006
[3] Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, 1997
Informacja o prawach autorskich
O ile nie zaznaczono inaczej, rysunki i teksty pochodzą z pozycji podanych w literaturze.
Niniejsze opracowanie stanowi pomoc do wykładu „Podstawy Robotyki”.