6. Analiza zwarć symetrycznych wg IEC 60 909 z 1998 r

Pełny opis w języku polskim obliczania zwarć metodą IEC można znaleźć w podręczniku akademickim wydanym przez WNT

Kacejko P., Machowski J., Zwarcia w systemach elektroenergetycznych, WNT Warszawa 2002.

W wykładzie podano najczęściej stosowane wzory oraz ich zastosowanie do obliczania prądów charakteryzujących zwarcie symetryczne w sieci elektroenergetycznej.

6.1. Prąd zwarciowy początkowy

Norma IEC 60909 dotyczy wyznaczania prądów zwarcia w sieciach niskiego, średniego i wysokiego napięcia z wykorzystaniem jednostek mianowanych. Podstawowym wzorem do wyznaczania początkowego prądu zwarcia 3-fazowego wzór wynikający z uproszczeń stosowanych w analizach zwarciowych

gdzie

Z₁, Z_kk - symbole impedancji pozornej widzianej z miejsca zwarcia,

U_Nk - napięcie znamionowe w miejscu zwarcia,

c - współczynnik o wartości dobieranej w zależności od tego, czy wartość prądu ma być maksymalna, czy minimalna.

Wartość współczynnika c

Napięcie U_Nk Maksymalny prąd Minimalny prąd

230/400 V 1.00 0.95

inne napięcie od 100V do 1000V 1.05 1.00

SN od 1 kV do 35 kV 1.10 1.00

WN od 35 kV do 400 kV 1.10 1.00

Impedancja zwarciowa widziana z miejsca zwarcia

Impedancja zwarciowa zastępcza wyznaczana jest metodą przekształcania obwodu do oczka elementarnego wynikającego z twierdzenia Thevenina.

Impedancja zastępcza może być również wyznaczona jako impedancja zwarciowej własna węzła k w jednostkach względnych, a następnie przeliczona na jednostki mianowane.

Norma IEC 60909 dopuszcza stosowanie innych metod obliczeniowych oprócz metody jednostek mianowanych, o ile wyniki nie będą prowadzić do większych błędów niż błędy związane z normą IEC.

6.2. Wyznaczanie indywidualnych prądów źródeł zasilających zwarcie

Rys. 6.1. Zwarcie w sieci promieniowej zasilane z trzech niezależnych źródeł .

Metoda IEC zaleca, aby prąd zwarcia w sieciach promieniowych wyznaczać indywidualnie dla każdego możliwego źródła prądu

gdzie

- prąd zwarciowy początkowy pochodzący od sieci zewnętrznej,

- prąd zwarciowy początkowy pochodzący od generatora,

- prąd zwarciowy początkowy pochodzący od silnika,

... - prądy innych źródeł.

Z definicji prądu zwarciowego w miejscu k wynika, że prąd ten można przedstawić jako sumę prądów zwarciowych pochodzących od niezależnych źródeł, pod warunkiem, że zwarcie jest zasilane poprzez niezależne tory prądowe

gdzie

Z_Qk - impedancja zespolona toru łączącego system zewnętrzny Q z miejscem k,

Z_Gk - impedancja zespolona toru łączącego generator z miejscem k,

Z_Mk - impedancja zespolona toru łączącego silnik z miejscem k,

... - inne niezależne źródła prądu zwarciowego.

Prąd zwarciowy początkowy w miejscu k jest definiowany jako wartość skuteczna prądu, czyli

lub

gdzie

- prąd zwarciowy początkowy pochodzący od systemu zewnętrznego,

- prąd zwarciowy początkowy w miejscu k pochodzący od generatora,

- prąd zwarciowy początkowy w miejscu k pochodzący od silnika.

Warunkiem sumowania się prądów zwarciowych początkowych pochodzących od pojedynczych niezależnych źródeł jest występowanie małej rezystancji w poszczególnych torach prądowych.

Norma IEC nie daje wskazówek jak postępować w sytuacji, gdy prąd dopływa do miejsca zwarcia z wielu źródeł torami prądowymi, które nie mogą być traktowane jako niezależne.

W takim przypadku do wyznaczenia indywidualnych prądów źródeł zasilających zwarcie w miejscu k, można - po wyznaczeniu zwarciowej macierzy impedancyjnej - posłużyć się udziałami prądowymi

c_ik = Z_ik/z_Gi

gdzie

Z_ik - moduł impedancji zwarciowej wzajemnej węzła i oraz węzła k,

z_Gi - moduł impedancji zwarciowej i-tego źródła.

Zespolone udziały można zastąpić ich modułami

c_ik = Z_ik/z_Gi

Wówczas prąd zwarciowy w węźle k pochodzący od indywidualnego źródła i w przybliżeniu wynosi

Błąd oszacowania prądu zwarciowego początkowego indywidualnego źródła
z wykorzystaniem współczynnika udziału jest tym mniejszy im mniejsze są rezystancje gałęzi tworzących obwód zwarciowy.

Impedancja źródła jest wyrażona w jednostkach względnych i z_Gi może odnosić się do systemu zewnętrznego, generatora synchronicznego lub silnika indukcyjnego.

6.3. Prąd zwarciowy udarowy

Dokładne wyznaczenie prądu udarowego w przypadku zasilania z kilku źródeł jest skomplikowane. Zagadnienie to jest opisane w podręczniku

Kacejko P., Machowski J., Zwarcia w systemach elektroenergetycznych, WNT 2002.

Prąd udarowy definiowany jest jako największa wartość chwilowa prądu zwarciowego. Wartość prądu udarowego oblicza się ją ze wzoru

i_p =

Współczynnik udaru  oblicza się z przybliżonego wzoru

 = 1.02 + 0.98 exp(-3R /X )

gdzie

R - rezystancja toru łączącego źródło prądu z miejscem zwarcia,

X - reaktancja toru łączącego źródło prądu z miejscem zwarcia.

Norma IEC dopuszcza obliczanie prądu udarowego w miejscu zwarcia jako sumę prądów udarowych pochodzących od indywidualnych źródeł prądu

i_p = i_pQ + i_pG + i_pM + ....

W przypadku sieci oczkowych średniego i wysokiego napięcia norma IEC dopuszcza posługiwanie się impedancją zwarciową zastępczą widzianą z miejsca zwarcia k

Z_kk = R_kk + jX_kk

Jednak wyznaczoną wartość współczynnika udaru należy skorygować mnożąc wyznaczoną wartość zwaną teraz _b przez 1.15

 = 1.15_b

Wyznaczona wartość musi spełniać następującą nierówność

1.15 _b < 2.0

W przypadku sieci niskiego napięcia zmodyfikowany współczynnik musi spełniać nierówność

1.15 _b < 1.8

W przypadku zwarć na zaciskach silników asynchronicznych przy obliczaniu prądów udarowych stosuje się następujące wzory:

Silniki wysokiego napięcia PnM/p ≥ 1 MW	RM/XM = 0.1	XM = 0.995ZM	M =1.75
Silniki wysokiego napięcia PnM/p < 1 MW	RM/XM = 0.15	XM = 0.989ZM	M =1.65
Silniki niskiego napięcia zasilane liniami kablowymi	RM/XM = 0.42	XM = 0.922ZM	M =1.30

6.4. Prąd wyłączeniowy symetryczny

Przy wyznaczaniu prądu wyłączeniowego symetrycznego zmniejszanie się składowej okresowej prądu zwarciowego uwzględnia się - w normie IEC 60909 - za pomocą współczynnika  (   Prąd wyłączeniowy zależy od czasu trwania zwarcia i oblicza się go ze wzoru

I_b = 

gdzie współczynnik  zależy od czasu własnego minimalnego t_min .

Czas t_min jest to czas pomiędzy chwilą wystąpienia zwarcia, a momentem rozdzielenia styków wyłącznika. Równa się sumie minimalnego opóźnienia czasowego przekaźnika bezzwłocznego i najmniejszego czasu otwierania wyłącznika.

Współczynnik  zależy także od stosunku wartości początkowej prądu zwarciowego do prądu znamionowego źródła
/I_N , gdzie I_N oznacza znamionowy prąd źródła zasilającego zwarcie.

Miarą odległości zwarcia od generatora jest wartość stosunku
/I_N .

Jeżeli
/I_N > 2, co oznacza zwarcia bliskie generatora, wartość współczynnika oblicza się ze wzorów:

dla t_min < 0.02s

dla t_min= 0.02 s

dla t_min= 0.05 s

dla t_min = 0.10 s

dla t_min ≥ 0.25 s

Jeżeli
/I_N < 2, to zwarcie jest odległe i wtedy   

Uwaga!

W przypadku zwarć na zaciskach silników asynchronicznych, z uwagi na szybkie zanikanie prądu składowej okresowej i nieokresowej prądu zwarcia wprowadza się dodatkowy współczynnik q

_M = μ q

gdzie  oznacza współczynnik zanikania wyliczony wg wzoru.

Szybkość zanikania prądu jest tym większa, im moc przypadająca na parę biegunów jest mniejsza. Współczynnik q zależy od mocy silnika przypadającej na parę biegunów i od minimalny czasu własnego

q = 1.03 + 0.12ln(m) dla t_min = 0.02s

q = 0.79 + 0.12ln(m) dla t_min = 0.05s

q = 0.57 + 0.12ln(m) dla t_min = 0.10s

q = 0.26 + 0.10ln(m) dla t_min ≥ 0.25s

gdzie m = P_nM/p oznacza moc znamionową silnika w MW przypadająca na jedną parę biegunów.

W przypadku sieci promieniowych norma IEC 60909 zaleca sumowanie prądów wyłączeniowych pochodzących od poszczególnych źródeł

I_b = I_bQ + I_bG + I_bM + ....

W przypadku sieci zamkniętych przyjmuje się wartość    Wartość    przyjmuje się również w przypadku zwarć odległych od generatora.

6.5. Składowa nieokresowa, prąd wyłączeniowy niesymetryczny, prąd zwarciowy ustalony

Składową nieokresową (stałoprądową) wyznacza się ze wzoru

i_DC =

exp[-(R/L)T_k ] =

exp[-(R/X)T_k ]

gdzie T_k oznacza czas trwania zwarcia.

Stosunek R/X należy wziąć ten sam, co przy obliczaniu prądu udarowego i_p .

Prąd wyłączeniowy niesymetryczny można wobec tego obliczyć ze wzoru

I_basym =

Ustalony prąd zwarcia zależy od warunków nasycania obwodów magnetycznych generatora. W przypadku zwarć w pobliżu generatora obliczanie prądu ustalonego jest skomplikowane. W przypadku zwarć odległych od generatorów oraz w sieciach zamkniętych przyjmuje się, że

I_k =

Przy obliczaniu prądu ustalonego pomija się wpływ silników asynchronicznych, gdyż prądy zwarciowe w tych silnikach bardzo szybko zanikają

I_kM = 0

6.6. Zastępczy cieplny prąd zwarciowy

Zastępczy prąd cieplny zwarciowy I_th jest definiowany jako taki prąd przemienny, który daje taki sam efekt cieplny, jak rzeczywisty prąd zwarcia w czasie trwania zwarcia. Zastępczy prąd cieplny jest obliczany ze wzoru

I_th =

gdzie

m - współczynnik uwzględniający wpływ cieplny składowej nieokresowej prądu zwarciowego,

n - współczynnik uwzględniający wpływ cieplny wywołany zanikającą składową podprzejściową i przejściową prądu zwarciowego.

Współczynnik n można wyznaczyć z wykresu w funkcji czasu trwania zwarcia T_k lub z przybliżonych wzorów, zależnie od stosunku
/I_k

W przypadku
/I_k = 1 mamy n=1.

W przypadku
/I_k ≥ 1.25 mamy

gdzie

Pesymistycznie można przyjąć, że n = 1. Odpowiada to sytuacji, gdy analizowana sieć ma złożoną strukturę.

Wartość współczynnika m jest wyznaczana z następującego wzoru

gdzie

T_k - czas trwania zwarcia

f = 50 Hz - częstotliwość.

Przy doborze przewodów oraz aparatury wykorzystuje się r-sekundowy prąd zastępczy cieplny wyliczony z następującego wzoru

gdzie

T_k - czas trwania zwarcia, od wystąpienia do wyłączenia,

r - wymagany czas wytrzymałości cieplnej.

W praktyce inżynierskiej przyjmuje się, że dla zwarć trwających krócej niż 1 sekunda wytrzymałość cieplna powinna być równa zastępczemu prądowi cieplnemu

I_thr = I_th dla T_k < 1s

Wyznaczony prąd zastępczy cieplny jest wykorzystywany przy doborze aparatury. Wytrzymałość aparatów i przewodów na cieplne działanie prądów zwarciowych jest określona cieplnym r - sekundowym prądem znamionowym wytrzymywanym, najczęściej 1- lub 3-sekundowym (I_thn1s, I_thn3s ). Znamionowy r-sekundowy prąd zastępczy cieplny powinien być większy od prądu r-sekundowego wyliczonego w oparciu o prąd początkowy zwarcia

6.7. Parametry zastępcze sieci wg IEC

Sieć zasilająca

Sieć zasilającą traktuje się jako źródło prądu zwarciowego. W obliczeniach sieć zasilającą odwzorowuje się jako impedancję zgodną włączoną między węzeł odniesienia o potencjale zerowym i węzeł zasilany przez tę sieć. Jeżeli znana jest moc zwarciowa początkowa
sieci zasilającej w miejscu przyłączenia sieci, to impedancję zgodną Z_Q wyznacza się ze wzoru

Z_Q =

gdzie U_NQ oznacza napięcie znamionowe sieci zasilającej w węźle Q .

W przypadku sieci zasilających o napięciach znamionowych wyższych od 35 kV, złożonych z linii napowietrznych, można impedancję zastąpić reaktancją

Z_Q = 0 + jX_Q

W pozostałych przypadkach, jeżeli nieznana jest rezystancja sieci, można przyjąć

X_Q = 0.995 Z_Q

R_Q = 0.1 X_Q

Generator bezpośrednio przyłączony do sieci

Dokładniejszą wartość prądu zwarciowego generatora można obliczyć biorąc pod uwagę fakt, że o w obwodzie zastępczym występuje sem podprzejściowa generatora

gdzie

- reaktancja podprzejściowa generatora odniesiona do znamionowego napięcia generatora U_NG i znamionowej mocy generatora S_NG ,

sinϕ_NG =

cosϕ_NG - znamionowy współczynnik mocy generatora.

W związku z tym norma IEC wprowadza się korekcję impedancji zastępczej generatora

Z_GK = K_G(R_G + j
)

gdzie

K_G - współczynnik korekcyjny,

- reaktancja podprzejściowa generatora.

Wartość współczynnika korekcyjnego K_G wyliczana jest z następującego wzoru

K_G =

gdzie

U_Nk - napięcie znamionowe sieci,

U_NG - napięcie znamionowe generatora,

_NG - znamionowe przesunięcie fazowe między prądem i napięciem generatora.

- reaktancja podprzejściowa generatora w jednostkach względnych odniesionych do impedancji znamionowej generatora.

Za wartość rezystancji generatora można przyjąć

R_G = 0.05
dla generatorów z U_NG > 1 kV oraz S_NG > 100 MVA

R_G = 0.07
dla generatorów z U_NG > 1 kV oraz S_NG < 100 MVA

R_G = 0.15
dla generatorów z U_NG < 1 kV

Przy określaniu wartości R_G pominięto wpływ rezystancji uzwojeń stojana, jako mało istotny oraz wpływ temperatury na rezystancję uzwojeń.

W przypadku, gdy zwarcie zasilane jest z generatora za pośrednictwem transformatora, stosuje się inne wzory.

Kompensatory, silniki synchroniczne i asynchroniczne

Kompensator i silnik synchroniczny jest zastępowany dokładnie tak samo jak generator synchroniczny.

Silniki asynchroniczne wysokiego i niskiego napięcia wpływają na prąd zwarciowy początkowy
, prąd udarowy i_p oraz prąd wyłączeniowy symetryczny I_b . W przypadku zwarć niesymetrycznych silniki te wpływają również na ustalony prąd zwarciowy I_k .

Impedancje silników uwzględnia się, jeśli suma prądów znamionowych tych silników jest większa od 1% prądu zwarciowego początkowego.

W programie komputerowym silnik indukcyjny modeluje się zwykle w postaci rzeczywistego źródła napięcia o impedancji dla składowej zgodnej wyznaczonej na podstawie parametrów rozruchowych i mocy znamionowej ze wzoru

gdzie:

U_NM - napięcie znamionowe silnika,

I_NM - prąd znamionowy silnika,

- moc znamionowa pozorna silnika,

η - sprawność znamionowa silnika,

cosϕ - znamionowy współczynnik mocy,

k_LR = I_LR/I_NM - krotność prądu rozruchowego, zwykle wartość z przedziału 4 ÷ 8, przy czym w przypadku silników indukcyjnych klatkowych należy przyjąć k_LR = 8.

Na podstawie wyliczonej impedancji pozornej można przyjąć dla silników o mocy odniesionej do pary biegunów:

X_M = 0.995Z_M R_M = 0.1X_M przy P_NM /p ≥ 1 MW

X_M = 0.989Z_M R_M = 0.15X_M przy P_NM /p < 1 MW

X_M = 0.922Z_M R_M = 0.42X_M dla grupy silników niskiego napięcia z liniami kablowymi, gdzie p oznacza liczbę par biegunów.

Uwaga!

Zwykle silniki asynchroniczne traktowane są w programie komputerowym jako równoprawne z generatorami, toteż nie jest w obliczeniach komputerowych sprawdzane kryterium możliwości pominięcia silników indukcyjnych w obliczeniach zwarciowych. Silniki indukcyjne są modelowane w postaci źródeł siły elektromotorycznej i są traktowane tak samo jak inne źródła prądu zwarciowego w sieci. Może to powodować zawyżenie wartości prądów zwarciowych w stosunku do rzeczywistych wartości. Postępowanie takie jest dopuszczalne przez metodę IEC. Ułatwia to znacznie obliczenia komputerowe.

W przypadku zasilania silnika przez przekształtniki statyczne przyjmuje się:

a) za U_NM napięcie znamionowe transformatora przekształtnika statycznego po stronie sieci lub napięcie znamionowe przekształtnika statycznego, jeżeli silnik jest zasilany bezpośrednio,

b) za I_NM prąd znamionowy transformatora przekształtnika,

c) k_LR = I_LR/I_nM = 3 X_M = 0.995 Z_M R_M = 0.1X_M

Przy obliczaniu prądów zwarciowych można pominąć te silniki wysokiego napięcia lub niskiego napięcia, które nie pracują jednocześnie.

Silniki wysokiego i niskiego napięcia przyłączone do sieci dotkniętej zwarciem za pośrednictwem transformatorów 2-uzwojeniowych można pominąć w analizie zwarciowej, jeśli

gdzie

ΣP_NM - suma znamionowych mocy czynnych silników niskiego i wysokiego napięcia,

ΣS_NT - suma znamionowych mocy pozornych transformatorów bezpośrednio zasilających silniki,

- moc zwarciowa obliczeniowa w miejscu zasilania bez udziału silników.

Zależności powyższa nie stosuje się w przypadku transformatorów trójuzwojeniowych.

Silniki niskiego napięcia można zastąpić silnikiem równoważnym o następujących parametrach:

- impedancja Z_M

- prąd I_NM równy sumie prądów znamionowych wszystkich silników w grupie,

- stosunkiem prądów k_LR = I_LR/I_nM = 5 ,

- stosunkiem R_M/X_M = 0.42 , co odpowiada κ = 1.3 ,

- współczynnikiem m = 0.05 przy braku danych.

Wpływ grupy silników niskiego napięcia nie może być pominięty, jeżeli

I_nM < 0.01

Transformatory sieciowe 2-uzwojeniowe

Norma IEC 60909 postuluje korekcję impedancji Z_T transformatorów sieciowych poprzez pomnożenie przez współczynnik korygujący

Z_TK = K_T Z_T = K_T (R_T + jX_T)

gdzie

- reaktancja transformatora w pu odniesiona do znamionowej mocy i znamionowego napięcia transformatora, czyli napięcie zwarcia na reaktancji u_X .

Transformatory sieciowe 3-uzwojeniowe

Podobnie należy postępować w przypadku transformatorów 3-uzwojeniowych

Należy tu dodać, że norma IEC stosuje symbole A,B,C do uzwojeń oznaczanych w języku polskim jako G,S,D oraz H,T,L w języku angielskim.

Po skorygowaniu wartości impedancji dla par uzwojeń

Z_ABK = K_TAB Z_AB

Z_ACK = K_TAC Z_AC

Z_BCK = K_TBC Z_BC

oblicza się skorygowane wartości impedancji dla poszczególnych uzwojeń

Z_AK = 0.5 ( Z_ABK + Z_ACK - Z_BCK )

Z_BK = 0.5 ( Z_ABK + Z_BCK - Z_ACK )

Z_CK = 0.5 ( Z_ACK + Z_BCK - Z_ABK )

Korekcja dotyczy nie tylko impedancji dla składowej symetrycznej zgodnej, ale także dla składowej przeciwnej i zerowej.

Nie należy natomiast stosować korekcji dla impedancji łączącej punkt neutralny gwiazdy z ziemią.

Ideą stosowania współczynników korekcji jest uwzględnienie w obliczeniach zwarciowych możliwości zmniejszenia się impedancji zwarciowej w rzeczywistym obwodzie zwarciowym. Z tego powodu współczynnik korekcji K_T powinien mieć wartość mniejszą od 1.

6.8. Przykład analizy zwarć symetrycznych wg IEC metodą indywidualnych źródeł

Przeprowadzić analizę zwarć symetrycznych w sieci elektroenergetycznej pokazanej na rys. 6.2, dla czasu trwania zwarcia t_k = 0.24 s.

Dane systemu 110 kV

Sieć zasilająca

S_kQ''=1726 MVA U_NQ=110 kV

Generator

S_NG=11 MVA U_NG=10.5 kV

cosϕ_NG=0.8
=0.18

Transformator 2-uzwojeniowy

S_N = 2000 kVA U_NH = 10 kV U_NL = 6 kV

u_k = 6% P_cu = 17 kW

Transformator 3-uzwojeniowy

S_NG = 16 MVA S_NS = 10 MVA S_ND = 10 MVA

U_NG = 110 kV U_NS = 22 kV U_ND = 11 kV

Napięcia zwarcia odniesione są do mocy znamionowej S_N = 16 MVA

u_kGS = 11.51% u_kGD = 18.67% u_kSD = 6.3%

Straty obciążeniowe doniesione są do mocy przepustowych

P_cuGS = 48.74 kW P_cuGD = 49.435 kW P_cuSD = 48.88 kW

Straty w miedzi odniesione do mocy znamionowej są równe iloczynowi pomierzonych strat razy kwadrat moc znamionowej i podzielone przez kwadrat mocy przepustowej

c = (S_N\S_p)² = (S_N\S_p)² = (16/10)² = 2.56

P_cuGS = 48.74c c = 124.77 kW

P_cuGD = 49.435 c = 126.55 kW

P_cuSD = 48.88 c = 125.13 kW

Rys. 6.2. Schemat ideowy i zastępczy przykładowej sieci

Silnik M 2 silniki asynchroniczne - 2 pary biegunów

P_NM= 0.6 MW U_NM=6 kV

cosϕ_N= 0.8 η_N=0.75

Prąd rozruchu silników jest bardzo duży i został oszacowany jako

k_LR = I_LR/I_NM = 8

Kabel generatora K o napięciu znamionowym 10 kV

R_K = 0.038 Ω, X_K = 0.039 Ω,

Linia napowietrzno-kablowa LK o napięciu znamionowym 10 kV

R_LK = 0.58 Ω, X_LK = 0.35 Ω,

Obliczanie parametrów zastępczych

Rys. 6.3. Schemat zastępczy przykładowej sieci z wartościami impedancji gałęzi łączących indywidualne źródła z miejscem zwarcia

Sieć zasilająca

Generator G

Współczynnik korekcji

Skorygowana reaktancja generatora:

R_GK = 0.07 X_GK = 0.07⋅1.702 = 0.119 Ω

Transformator 2-uzwojeniowy

Parametry odniesione do znamionowego napięcia górnego U_NH = 10 kV

= 1.0087

R_TK = K_T R_T = 1.0087⋅0.486 = 0.472 Ω

X_TK = K_T X_T = 1.0087⋅3 = 3.026 Ω

Transformator 3-uzwojeniowy

Wartości parametrów zwarciowych sprowadzone są na stronę dolnego napięcia (U_ND=11 kV).

Para uzwojeń G-S

R_GSK = K_T R_GS = 0.9775⋅0.059 = 0.0576 Ω

X_GSK = K_T X_GS = 0.9775⋅0.8705 = 0.8509 Ω

Para uzwojeń G-D

R_GDK = K_T R_GD = 0.9397⋅0.0598 = 0.0562 Ω

X_GDK = K_T X_GD = 0.9397⋅1.412 = 1.3269 Ω

Para uzwojeń S-D

R_SDK = K_T R_SD = 1.0069⋅0.0591 = 0.0595 Ω

X_SDK = K_T X_SD = 1.0069⋅0.476 = 0.473 Ω

Skorygowane impedancje poszczególnych uzwojeń

R_GK = 0.5 (R_GSK + R_GDK - R_SDK ) = 0.5 (0.0576+0.0562-0.0595) = 0.0272 Ω

X_GK = 0.5 (X_GSK + X_GDK - X_SDK ) = 0.5 (0.8509+1.3269-0.4730) = 0.8524 Ω

R_SK = 0.5 (R_GSK + R_SDK - R_GDK ) = 0.5 (0.0576+0.0595-0.0562) = 0.0305 Ω

X_SK = 0.5 (X_GSK + X_SDK - X_GDK ) = 0.5 (0.8509+0.4730-1.3269) = -0.0015 Ω

R_DK = 0.5 (R_GDK + R_SDK - R_GSK ) = 0.5 (0.0562+0.0595-0.0576) = 0.0291 Ω

X_DK = 0.5 (X_GDK + X_SDK - X_GSK ) = 0.5 (1.3269+0.4730-0.8509) = 0.4745 Ω

Silnik asynchroniczny M o mocy 0.6+0.6 = 1.2 MW

= 2 MVA

= 6.2565 Ω

Moc pojedynczego silnika odniesiona do pary biegunów wynosi

P_NM /p = 0.6/2 = 0.3 < 1 MW

czyli

X_M = 0.989Z_M R_M = 0.15X_M

X_M =0.989Z_M = 0.989⋅6.2565 = 6.1877 Ω

R_M=0.15X_M = 0.15⋅6.1877 = 0.9282 Ω

Kabel generatora K o napięciu znamionowym 10 kV

R_K = 0.038 Ω, X_K = 0.039 Ω,

Linia napowietrzno-kablowa LK o napięciu znamionowym 10 kV

R_LK = 0.58 Ω, X_LK = 0.35 Ω

Obliczanie prądów zwarciowych

Zasilanie zwarcia z SEE Q

Z_Qk = Z_Q + Z_GDK + Z_LK =

= j0.0771 + 0.0562+j1.3269 + 0.58 +j0.35 = (0.6362+j1.754) Ω

1.8658 Ω

Prąd początkowy

3.4038 kA

Prąd udarowy i_p

R_Qk/X_Qk = 0.6362/1.754 = 0.3627

 = 1.02 + 0.98 exp(-3R_Qk /X_Qk ) = 1.02 + 0.98 exp(-3⋅0.3627) = 1.3501

i_pQk =
=
= 6.499 kA

Prąd wyłączeniowy symetryczny I_b dla czasu zwarcia t_k = 0.24 s

Miarą odległości zwarcia od generatora jest wartość stosunku
/I_N . W przypadku zewnętrznego SEE mamy
/I_NQ = 1, czyli μ = 1

I_bQk =
= 3.4038 kA

Spadki napięcia wzdłuż toru zasilającego zwarcie

Rys. 6.4. Schemat zastępczy do wyznaczania rozkładu napięć wzdłuż toru zasilającego zwarcie 3-fazowe

Zespolony prąd zwarcia 3-fazowego

Spadek napięcia na impedancji zastępczej systemu

V_Q =
Z_Q I_kQ =
(0.000+j0.0771)(1.1606-j3.1998)=(0.4273+j0.1550) kV

V_Q = 0.4545 kV

Napięcie międzyfazowe na szynach systemu zewnętrznego

U_Q = E - V_Q = 11 - (0.4273+j0.1550) = (10.5727 - j0.1550) kV

U_Q = 10.5738 kV

U_Q110kV = U_Q t_N = 10.5738 (110/11) = 105.738 kV

Spadek napięcia na impedancji transformatora

V_GDk =
Z_GDk I_kQ =
(0.0562+j1.3269)(1.1606-j3.1998)=(7.467+j2.3559) kV

V_GDk = 7.8298 kV

Napięcie międzyfazowe na szynach systemu zewnętrznego

U_T = E - V_Q - V_GDk= 11 - (0.4273+j0.1550) - (7.467+j2.3559)= (3.1057 - j2.5109) kV

U_Q = 3.9938 kV

Spadek napięcia na impedancji linii napowietrzno-kablowej

V_LK =
Z_LK I_kQ =
(0.58+j0.35)(1.1606-j3.1998)=(3.1057-j2.5109) kV

V_LK = 3.9938 kV

Napięcie międzyfazowe w miejscu zwarcia

U_zw = E - V_Q - V_GDk - V_LK= 11 - (0.4273+j0.1550) - (7.467+j2.3559) - (3.1057-j2.5109) = 0 kV

U_zw = 0 kV

Rys. 6.5. Rozkład napięć wzdłuż toru zasilającego zwarcie 3-fazowe

Zasilanie zwarcia z generatora G

Z_Gk = (0.157 + j1.741) Ω

1.7481 Ω

Prąd początkowy

3.6331 kA

Prąd udarowy i_p

R_Gk/X_Gk = 0.157/1.741 = 0.0902

 = 1.02 + 0.98 exp(-3R_Qk /X_Qk ) = 1.02 + 0.98 exp(-3⋅0.0902) = 1.7677

i_pGk =
=
= 9.0825 kA

Prąd wyłączeniowy symetryczny I_b dla czasu zwarcia t_k = 0.24 s

Prąd znamionowy generatora odniesiony do napięcia w miejscu zwarcia wynosi

= 0.6048 kA

wobec tego

/I_NG = 3.6331/0.6048 = 6

Wartość
/I_NG = 6 > 2, co oznacza zwarcia bliskie generatora.

Wartość współczynnika dla czasu trwania zwarcia t_k = 0.24 s może być wyznaczona ze wzoru dla najbliższego minimalnego czasu trwania zwarcia, czyli dla t_min ≥ 0.25 s

= 0.56 + 0.94exp(-0.38⋅6) = 0.6561

I_bGk =
= 0.6561⋅3.6331 = 2.3837 kA

Zasilanie zwarcia z silnika M1

Z_Mk = Z_TK + Z_M = 0.472 + j3.026 + 0.9282 + j6.1877 =

= (1.4002+j9.3195) Ω

9.4241 Ω

Prąd początkowy

0.6739 kA

Prąd udarowy i_p

R_Mk/X_Mk = 1.4002/9.3195 = 0.1502

 = 1.02 + 0.98 exp(-3R_Mk /X_Mk ) = 1.02 + 0.98 exp(-3⋅0.1502) = 1.6445

i_pMk =
=
= 1.5673 kA

Prąd wyłączeniowy symetryczny I_b

Prąd znamionowy silnika odniesiony do napięcia w miejscu zwarcia wynosi

= 0.1155 kA

wobec tego

/I_NM = 0.6739/0.1155 = 5.83

Wartość
/I_NM = 5.83 > 2, co oznacza zwarcia bliskie źródła.

Wartość współczynnika dla czasu trwania zwarcia t_k = 0.24 s może być wyznaczona ze wzoru dla t_min ≥ 0.25 s , czyli

= 0.56 + 0.94exp(-0.38⋅5.83) = 0.6626

Z uwagi na szybkie zanikanie prądu składowej okresowej i nieokresowej prądu zwarcia wyliczono dodatkowy współczynnik q

_M = μ q

Szybkość zanikania prądu jest tym większa, im moc przypadająca na parę biegunów jest mniejsza. Współczynnik q zależy od mocy silnika przypadającej na parę biegunów i od minimalny czasu własnego. W tym przypadku mamy

m = P_NM1/p = 0.6/2 = 0.3

oraz t_min > 0.25 s, czyli

q = 0.26 + 0.10ln(m) = 0.26 + 0.10ln(0.3) = 0.1396

_M = μ q = 0.6626⋅0.1396 = 0.0925

I_bMk =
= 0.0925⋅0.6739 = 0.0623 kA

Prądy sumaryczne

Prąd początkowy

= 3.4038 + 3.6331 +0.6739 = 7.7108 kA

Wyznaczony prąd początkowy można porównać z wartością prądu wyznaczoną dla impedancja zastępcza widziana z miejsca zwarcia wynosi

1/Z_k = 1/Z_Qk + 1/Z_Gk + 1/Z_Mk =

= 1/(0.6362+j1.754) + 1/(0.157+j1.741) + 1/(1.4+j9.3195) =

= 0.2499-j1.1785

Z_k = 1/(0.2499-j1.1785) = (0.1722+j0.812) Ω

Z_k = 0.8301 Ω

= 7.6511 kA

Widać, że prąd początkowy wyznaczony metodą indywidualnych źródeł ma większą wartość. I to jest dodatkowy argument, aby w analizie zwarć posługiwać się - o ile jest to możliwe - indywidualnymi źródłami prądu zwarciowego.

Prąd udarowy

i_p = i_pQk + i_pGk + i_pMk = 6.499 + 9.0825 + 1.5673 = 17.1488 kA

Prąd udarowy można również wyznaczyć w oparciu o impedancję zastępczą

R_k/X_k = 0.1722/0.812 = 0.2121

 = 1.02 + 0.98 exp(-3R_Mk /X_Mk ) = 1.02 + 0.98 exp(-3თ0.2121) = 1.5387

i_p =
=
= 16.6492 kA

Tak wyznaczony prąd udarowy ma mniejszą wartość od sumarycznego prądu indywidualnych źródeł prądu zwarciowego.

Prąd wyłączeniowy symetryczny

I_b = I_bQk + I_bGk + I_bMk = 3.4038 + 2.3837 + 0.0623 = 5.8498 kA

Zwarciowy prąd cieplny I_th

Efekt cieplny prądu zwarciowego zależy od kwadratu prądu i wobec tego nie może być wyznaczony jako suma poszczególnych efektów cieplnych.

Należy zatem wyznaczyć zastępczy współczynnik udaru prądu zwarciowego wynosi

Należy zauważyć, że współczynnik udaru wyznaczony z sumarycznego prądu początkowego i sumarycznego prądu udarowego ma wartość większą

= 1.5724

Zastępczy prąd cieplny zwarciowy I_th obliczany jest ze wzoru

I_th =

gdzie

m - współczynnik uwzględniający wpływ cieplny składowej nieokresowej prądu zwarciowego,

n - współczynnik uwzględniający wpływ cieplny składowej okresowej prądu zwarciowego.

Pesymistycznie przyjęto n =1. Współczynnik m można wyznaczyć ze wzoru

gdzie

T_k = 0.24 s - czas trwania zwarcia, f = 50 Hz - częstotliwość.

W rezultacie zastępczy prąd cieplny wynosi

I_th =

=7.7108
=
7.7108 = 7.99 kA

Obliczenia można powtórzyć wyznaczając najpierw impedancję zastępczą widzianą z miejsca zwarcia dla jednego zastępczego źródła, a następnie obliczając prąd zwarciowy początkowy, prąd udarowy, wyłączeniowy i zastępczy cieplny. Uzyskane wyniki będą prawie takie same jak przy indywidualnych źródłach zasilających zwarcie.

20

Wykład 6 z SEE - Zwarcia symetryczne wg IEC

---