id6865484 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 2. Równania macierzowe
...........................................................................................
PRZYK£AD
1
2
3
5
Rozwi¹zaã równanie macierzowe X
.
3
4
5 9
Rozwi¹zanie
Powy¿sze równanie mo¿na zapisaã w postaci AX B ,
1
2
3
5
gdzie A
, B
.
3
4
5 9
Je¿eli macierz A jest macierz¹ nieosobliw¹, tzn. det A 0 , to korzystaj¹c z wùasnoœci macierzy przeksztaùcamy równanie nastêpuj¹co: AX B
1
1
A AX A B
1
1
X
I
A B X A B
Zatem znalezienie rozwi¹zania rozwa¿anego równania wymaga obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy A , a nastêpnie pomno¿enia jej prawostronnie przez macierz B .
Obliczamy wyznacznik det A 2
2
1
3
5
1
Mamy A
oraz
st
B
¹d
3
1
5 9
2
2
2
1
3 5
1
1
1
A B
3
1
5 9
2
3
2
2
1
1
Czyli X
.
2
3
..........................................................................................
PRZYK£AD
Rozwi
T
¹zaã równanie macierzowe X 3 C
T
B A B , gdzie
1
1
3
1
1
1
2
1
0
A 2
1
2 ,
B 1
2
4 ,
C 4
2
2 .
1
0
0
2
1
1
3
0
1
Rozwi¹zanie
Po sprawdzeniu, ¿e macierz B nie jest macierz¹ osobliw¹ i korzystaj¹c z wùasnoœci macierzy przeksztaùcamy równanie w nastêpuj¹cy sposób:
T
X 3 C B A B
X 3 C
1
T
T
1
BB
A B B
X 3 C
T
T
1
I
A B B
T
T
1
T
T
1
X 3 C A B B
X 3
C A B B
Zatem znalezienie rozwi¹zania rozwa¿anego równania wymaga obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy B , nastêpnie pomno¿enia jej lewostronnie przez iloczyn macierzy transponowanej T
A i macierzy transponowanej T
B oraz dodania do wyniku macierzy C pomno¿onej uprzednio przez 3.
1
1
1
1
2
1
1
1
2
6
3
0
6
6
2
Mamy 1
7
1
1
T
T
B
, A 1
1
0 , B 1
2
1 , 3 C 12
6
6
12
12
4
1
1
1
3
2
0
1
4
1
9
0
3
4
4
4
Obliczamy
1
1
1
6
3 0 1
2
1 1
1
1 6
6
2
T
T
1
7
1
1
3 C A B B 12 6 6 1
1
0 1
2
4
12
12
4
9
0
3
3
2
0 2
1
1 1
1
1
4
4
4
1
1
1
2
1
1
6
3 0 4 1
1 6
6
2
6
3 0
3
6
2
7
1
1
1
3
12
6
6 0
3
3
12
12
4
12
6
6 0
4
4
9
0
3
1
7
8 1
1
1
4
4
4
9
0
3
1
7
4
4
2
20
17
1
3
6
2
25
27
12
4
4
37
7
4
4
1
20
17
1
3
6
2
Czyli
25
27
X 12
.
4
4
37
7
1
4
4
..........................................................................................