Niech A=[a_ij]_mxn :

Wówczas układ równań postaci (1) można zapisać w równoważnej postaci następująco: A X=B (2), nazywamy postacią macierzowa układu równań linowych; przy czym :

A jest macierzą współczynników, X jest macierzą niewiadomych (wektorem niewiadomych), B jest macierzą wyrazów wolnych (wektorem wyrazów wolnych).

Jeśli macierz A zapiszemy w postaci:

,gdzie dla

jest wektorem kolumnowym macierzy A, to układ (1) można zapisać w równoważnej postaci następująco:

x₁A₁+x₂A₂+... x_na_n=B (3), którą nazywa się postacią wektową układu równań liniowych.

Df. Zbiorem rozwiązań układu (1) nazywamy zbiór wszystkich wektorów x=(x₁,x₂,...,x_n), które są rozwiązaniami tego układu równań.

• Dla dowolnego układu równań postaci (1) zachodzi tylko jedna z trzech możliwości:

1. albo układ (1) jest sprzeczny, gdy jego zbiór rozwiązań jest pusty;

2. albo układ (1) jest oznaczony, gdy jego zbiór rozwiązań jest zbiorem jednoelementowym;

3. albo układ (1) jest nieoznaczony, gdy jego zbiór rozwiązań jest zbiorem nieskończonym.

1. Badanie rozwiązań układu n równań liniowych o n niewiadomych.

• Rozważmy układ równań postaci (1), gdy n=m.

Niech układ (1) będzie dany w postaci macierzowej:

A·X=B. Jeśli det A ≠ 0, to istnieje macierz A^-1. Wówczas otrzymujemy równość: A^-1·AX=A^-1·B, a stąd : E_n·X= A^-1·B

Czyli X=A^-1·B - ten wzór określa wektor rozwiązań układu (1), gdy n=m i jego macierz współczynników A jest nieosobliwa. Taki układ równań (1) nazywamy układem Cramera (układem cramerowskim).

• Rozwiązanie układu równań (1) w postaci X= A^-1.B można uzyskać inną metodą, przez zastosowanie poniższego twierdzenia.

• Tw. Cramera: Jeżeli wyznacznik macierzy A układu n równań liniowych o n niewiadomych jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami (wzorami Cramera) :

dla ; gdzie DetA_j jest

wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Uwaga!

• Jeśli m=n i DetA≠0, to układ (1) nazywamy układem Cramera.

• Jeśli macierz B jest zerowa, to układ (1) nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku nazywamy układem niejednorodnym.

• Jeśli układ (1) jest układem Cramera i jest jednorodnym, to ma dokładnie jedno rozwiązanie zerowe.

II. Badanie układu m równań liniowych o n niewiadomych

Rozważmy dla układu równań postaci (1) dwie macierze:

- macierz współczynników (macierz główną),

oraz macierz rozszerzoną (macierz uzupełnioną) A_u, którą oznacza się także U, postaci:

Stąd: rz(A) ≤ rz(A_u) = rz(U).

Przyjmijmy bez dowodu poniższe twierdzenie.

Tw. Kroneckera - Capelliego

Układ równań postaci (1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A współczynników przy niewiadomych tego układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej A_u tego układu, tzn. gdy rz(A) = rz(Au) = r, przy czym :

1. istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu, gdy

r = n;

2. istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego układu zależnych od n-r parametrów, gdy r < n.

Z powyższego twierdzenia, oczywiste są następujące wnioski:

1^o Jeśli rz(A) = rz(A_u) = n, to układ (1) jest oznaczony

2^o Jeśli rz(A) = rz(A_u) < n, to układ (1) jest nieoznaczony

3^o Jeśli rz(A) ≠ rz(A_u), to układ (1) jest sprzeczny.

Zadanie:

Zbadać, dla jakich wartości parametru k poniższy układ równań liniowych jest: 1) oznaczony, 2) nieoznaczony,

3) sprzeczny:

Dla rozwiązania zadania należy zbadać:

dla jakich k∈R zachodzi równość: rz(A) = rz(A_u)?

1) Obliczam DetA:

Czyli rz(A) = rz(A_u)=3 dla k ≠ -3 ∧ k ≠1.

Zatem na podstawie twierdzenia Croneckera - Capelliego stwierdzamy, iż dany układ równań jest oznaczony dla k∈R\{-3,1}. Dla pełności rozwiązania zadania należy rozważyć jeszcze poniższe przypadki:

2) Jeśli k=1, to

Stąd oczywistym jest, że rz(A) = rz(A_u) = 1

Zatem dla k=1 dany układ równań jest nieoznaczony.

3. Jeśli k = -3, to

DetA=0, czyli rz(A) < 3; zaś rz(A_u) = 3, bo istnieje podmacierz macierzy A_u, której wyznacznik różny jest od zera:

Stąd na podstawie twierdzenia Croneckera - Capelliego stwierdzamy, że dla k = -3 dany układ równań jest sprzeczny.

Reasumując powyższe stwierdzamy ostatecznie, iż dany układ równań:

1. dla k∈R\{-3,1} jest oznaczony;

2. dla k = -3 jest nieoznaczony;

3. dla k = 1jest sprzeczny.

Ćw: Wyznaczyć samodzielnie rozwiązanie powyższego układu równań dla k ≠ 1.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji K. Gaussa (1777 - 1855) polega na kolejnym rugowaniu (usuwaniu) niewiadomych za pomocą elementarnych przekształceń na równaniach (dokładnie analogicznych do elementarnych przekształceń na wierszach macierzy) do momentu otrzymania układu równań równoważnego wyjściowemu, którego rozwiązanie jest już możliwe do odczytania z tak zwanej postaci schodkowej.

Przykład:

Rozwiązać poniższy układ równań metodą eliminacji Gaussa:

Niech A₀ oznacza następujące przekształcenia elementarne na kolejnych równaniach tego układu: r₂ - 2r₁, r₃ - r₁, r₄ - 3r₁, r₅ - r₁.

Sprawdź nadto, że po kolejnych krokach: A₁, A₂, A₃, A₄, analogicznych do A₀ można wyznaczyć rozwiązanie tego układu równań postaci:

x₁ = 2, x₂ = 0, x₃ = 1, x₄ = -1, x₅ = 1.

Komentarz dydaktyczny

1. Szczegóły na temat metody eliminacji K. Gaussa zobacz np. w zbiorze zadań: W.Stankiewicz: Zadania z matematyki Dla WUT, cz. IA, str. 88

2. 
   
   Względy praktyczne i ekonomiczne (koszt obliczeń) wymagają odpowiedzi na pytanie: ile operacji arytmetycznych trzeba wykonać, aby metodą Gaussa rozwiązać układ n równań z n niewiadomymi? Rozwiązanie takich układów o większej liczbie równań realizuje się za pomocą programów komputerowych, które opierają się na metodzie Gaussa a nie na wolniejszej metodzie Cramera. Odpowiadając na postawione tutaj pytanie można obliczyć, że całkowite rozwiązanie układu o n niewiadomych wymaga wykonania

operacji; tzn. metoda Gaussa wymaga N_g ≈ operacji.

Warto jeszcze dodać iż do niedawna sądzono, że nie istnieje bardziej oszczędna metoda rozwiązywania układów równań liniowych (od metody Gaussa). W roku 1979 Chaczijan odkrył metodę, która wymaga:

operacji. Ale stała C w powyższym wzorze jest jednak tak duża, że metodę Chaczijana warto stosować dopiero dla „bardzo dużych” układów równań.

3. Przyjmując, że komputer wykonuje 10⁵ operacji na sekundę, a jedna godzina pracy komputera kosztuje jednego dolara, oszacować, jak duży układ równań można rozwiązać metodą Gaussa za: 1 dolara, 10 dolarów i 100 dolarów.

A zatem za jednego dolara można wykonać: 3^.10⁵ operacji. Czyli , stąd n³≈10⁹, zatem n ≈ 1000.

Analogicznie postępując, dla kwot 10 i 100 dolarów otrzymujemy odpowiednio: n ≈ 2150 oraz n ≈ 4640.

4. Przy komputerowym rozwiązaniu problemów matematycznych przydatne są między innymi programy: MathCAD, Mathematica, Geoplan W

Samodzielnie przygotować następujące zagadnienia z geometrii płaszczyzny i przestrzeni:

1. Wektory i działania na wektorach, a w szczególności: iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany (definicje, własności, zadania).

2. Postaci równania prostej na płaszczyźnie i w przestrzeni. Postaci równania płaszczyzny. Wzajemne położenie punktów, prostych, płaszczyzn, prostej i płaszczyzny, odległość punktu od prostej (płaszczyzny), odległość prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt między płaszczyznami, zadania z wyżej wymienionego zakresu.

3. Krzywe stożkowe: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola (definicje, własności, zadania).

Pojęcie formy, formy liniowej, formy dwuliniowej

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem R

Df. Funkcję nazywamy formą.

Df. Funkcję nazywamy formą liniową, gdy:

1) ;

Przykład:

Niech f:Rⁿ→R, , przy czym:

, gdzie a_i∈R, zaś są współrzędnymi wektora w ustalonej bazie B przestrzeni Rⁿ.

• Oczywistym jest tutaj, że f jest formą liniową (Sprawdź to!).

• 
  Wyżej wymienioną formę liniową f można przedstawić w postaci macierzowej: , gdzie:

, .

Niech

Df: Formą dwuliniową nazywamy funkcję f:VxV→R, przy czym: spełnia warunki:

1. 
   
   
   jest przy ustalonym wektorze formą liniową względem ,tzn.: ;

2. 
   
   
   jest przy ustalonym wektorze formą liniową względem , tzn.: .

Niech zaś x_i, y_i są współrzędnymi tych wektorów w ustalonej bazie B przestrzeni Rⁿ.

Sprawdź, że iloczyn skalarny wektorów jest formą dwu liniową; to znaczy funkcja f określona następująco:

Df. Formę dwuliniową postaci nazywamy formą kwadratową.

Np. ,czyli kwadrat normy wektora

jest formą kwadratową w Rⁿ (Sprawdź to!)

• 
  
  Formę dwuliniową w Rⁿ można zapisać w postaci macierzowej następująco:

, gdzie , ,

dla i,j ∈{1,2,...,n};

zaś wektory są bazą kanoniczną przestrzeni Rⁿ.

Stąd formę kwadratową przestrzeni Rⁿ można przedstawić w postaci macierzowej następująco:

Definicja

O formie kwadratowej reprezentowanej przez macierz nieosobliwą diagonalną mówimy, że ma postać kanoniczną.

Metody sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej:

1. metoda Lagrange'a będąca uogólnieniem metody sprowadzania trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej;

2. metoda wykorzystująca wartości własne macierzy formy kwadratowej.

W dalszej części wykładu omówimy tę II metodę po uprzednim zdefiniowaniu niezbędnych tutaj pojęć.

Wartości i wektory własne odwzorowań liniowych

• 
  
  
  Niech V będzie przestrzenią wektorowa nad ciałem R; .Nadto, niech T:V→V będzie odwzorowa-niem liniowym, więc na ogół wektor różni się od wektora . Ale możliwa jest taka sytuacja, że:

To znaczy:

1^o W interpretacji geometrycznej oznacza to, że , czyli wektory i są kolinearne.

2^o W interpretacji fizycznej oznacza to, że:

wektor ulega wzmocnieniu w tym samym kierunku, gdy λ > 1 oraz wektor ulega wzmocnieniu w przeciwnym kierunku, gdy λ < -1; bądź osłabieniu w pozostałych przypadkach, gdy λ≤ 1 ;

tak interpretujemy zjawisko rezonansu w obwodach elektrycznych i w mechanice.

Wartości i wektory własne macierzy

Definicja

Niech T będzie odwzorowaniem liniowym przestrzeni wektorowej V w siebie.

• 
  
  Liczbę λ∈R nazywamy wartością własną odwzorowania liniowego T, gdy istnieje niezerowy wektor taki, że: .

• 
  Wektor niezerowy ∈V nazywamy wektorem własnym odwzorowania liniowego T, gdy istnieje λ∈R, takie, że:

Definicja.

Niech będzie macierzą rzeczywistą odwzorowania liniowego T:Rⁿ→Rⁿ opisanego związkiem dla x∈Rⁿ.

• Liczbę λ∈R nazywamy wartością własną macierzy A, jeśli istnieje niezerowy wektor kolumnowy X:X^T=[x₁...x_n] taki, że AX=λX; zaś ten niezerowy wektor X nazywamy wektorem własnym macierzy A.

• Rozważmy obecnie równość: AX=λX, którą można zapisać równoważnie następująco (A-λE)X=0, gdzie E jest macierzą jednostkową stopnia n.

Traktując X jako macierz niewiadomych w równaniu: (A-λE)X=0 otrzymujemy stąd następujący jednorodny układ równań liniowych:

Powyższy układ równań ma oczywiście rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy det(A-λE)=0.

Wobec powyższego oczywistym staje się fakt:

λ jest wartością własną macierzy A⇔det(A-λE)=0

Wyznacznik i wielomian charakterystyczny macierzy

Definicja:

Wyznacznik det(A-λE) nazywa się wyznacznikiem charakterystycznym macierzy A, zaś wielomian W_A(λ) zmiennej λ postaci W_A(λ) = det (A-λE) nosi nazwę wielomianu charakterystycznego macierzyA.

Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie postaci W_A(λ) = 0.

Przyjmijmy bez dowodu poniższe twierdzenie przydatne w rozwiązywaniu zadań.

Twierdzenie o wartościach i wektorach własnych odwzorowania liniowego

Jeśli A jest macierzą odwzorowania liniowego T:V→V w bazie przestrzeni wektorowej V, to:

1. 
   λ jest własnością odwzorowania T wtedy i tylko wtedy, gdy Det(A-λE)=0;

2. wektor jest wektorem własnym odwzorowania T odpowiadającym wartości własnej λ wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne [x₁,x₂,...,x_n] w bazie B są niezerowym rozwiązaniem układu równań:

(A-λE)X^T=O^T , gdzie X= [x₁x₂...x_n], O=[00...0]

Komentarz dydaktyczny:

1. Podany wyżej macierzowy sposób wyznaczania wartości i wektorów własnych odwzorowania liniowego T nie zależy od wyboru bazy przestrzeni. Ponadto wielomian charakterystyczny W_A(λ) = det (A-λE) jest identyczny dla wszystkich macierzy odwzorowania liniowego T w różnych bazach.

2. Powstaje jednak pytanie: Jak znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy odwzorowania liniowego? Oto przedstawiam zarys odpowiedzi na to pytanie i przykład:

1^o Znaleźć wartości własne macierzy A odwzorowania liniowego, które są rzeczywistymi pierwiastkami równania charakterystycznego macierzy A, czyli Det(A-λE)=0.

2^o Po obliczeniu wartości własnych λ∈R macierzy A należy znaleźć wektory własne macierzy A odpowiadające tym wartościom rozwiązując dla każdej wyznaczonej wartości własnej λ∈R układ równań (A-λE)X=0.

Przykład: Wyznaczyć wartości własne i wektory własne odwzorowania liniowego T:R³→R³ o macierzy A, gdy

Oto zarys rozwiązania tego zadania:

1) Wyznaczyć macierz A-λE:

2) Wyznaczyć wartości własne macierzy A, czyli pierwiastki równania det (A-λE)=0

Rozwijając ten wyznacznik względem drugiego wiersza otrzymujemy:

Stąd:

3) Znaleźć wektory własne odpowiadające kolejnym wyznaczonym wartościom własnym macierzy A rozwiązując odpowiednie układy równań. Dla λ=3 otrzymujemy układ równań: (A-3E)X=0.

A stąd po przekształceniach otrzymujemy układ równań postaci:

Przy czym: ,czyli dany układ równań

(A-3E)X=0 nie jest cramerowski.

Ale istnieje podmacierz danej macierzy A-3E, która jest

nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest różny od zera.

Rozważmy zatem układ równań postaci:

Stąd

Reasumując powyższe stwierdzamy, iż wektor własny danej macierzy A odpowiadający jej wartości własnej λ=3 jest niezerowym wektorem przestrzeni liniowej

z wektorem bazowym . Przestrzeń

przedstawia prostą w przestrzeni R³.

• Analogiczne wyznacza się wektory własne danej macierzy A dla pozostałych jej wartości własnych; przy czym:

dla λ=6 otrzymujemy niezerowy wektor przestrzeni

,

zaś dla λ=9 otrzymujemy niezerowy wektor przestrzeni

.

Również przestrzenie V₂ i V₃ przedstawiają proste w przestrzeni R³ odpowiednio z wektorem bazowym oraz

Samodzielnie rozwiązać poniższe zadania

1. 
   Zbadać, że: jeśli λ jest wartością własną odwzorowania liniowego T:V→V, to zbiór jest podprzestrzenią liniową (wektorową) przestrzeni V.

2. Wyznaczyć rzeczywiste wartości własne oraz odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych podanych odwzorowań (przekształceń) liniowych:

1. T:R²→R², T(x,y)=(2x+y , x+2y);

2. T:R²→R², T(x,y)=(2x+y , x+2y).

3. Dany jest wielomian charakterystyczny W_A(λ) macierzy A stopnia n. Napisać wielomiany charakterystyczne podanych macierzy B, gdy: a) B=3A; b) B=A^T.

4. Wyznaczyć wartości własne oraz odpowiadające im wektory własne podanej macierzy rzeczywistej A, gdy:

.

5. Przyjmujemy, że macierz kwadratowa rzeczywista (bądź zespolona) A jest diagonalizowalna, gdy istnieje odwracalna macierz rzeczywista (bądź zespolona) P taka że P^-1AP jest diagonalna. Wówczas mówimy, że macierz P diagonalizuje macierz A.

Wykazać, że: jeśli A jest macierzą rzeczywistą (bądź zespoloną) stopnia n, to poniższe warunki są równoważne:

1. macierz A jest diagonalizowana;

2. wektory własne macierzy A tworzą bazę przestrzeni Rⁿ (bądź przestrzeni Cⁿ);

3. A=PDP^-1, gdzie D jest macierzą diagonalną, której główną przekątną tworzą kolejne wartości własne macierzy A, zaś odpowiadające im wektory własne tworzą kolejne kolumny macierzy P.

⋮

A_u = ⋮ ⋮ ⋮ = U

⋮

Stąd:

---