MACIERZE I WYZNACZNIKI

• MACIERZE

• Definicja macierzy:

Niech dane będą dwa zbiory skończone M={1,2,...,m} i N={1,2,...,n}. Macierzą prostokątną wymiaru mxn o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcję przyporządkowującą uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie i
M, j
N, dokładnie jedną liczbę rzeczywistą a_ij.

Macierz zapisujemy w postaci tablicy:

gdzie:

poziome rzędy tablicy nazywamy wierszami

pionowe rzędy tablicy nazywamy kolumnami

a_ij oznacza element macierzy stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.

Macierz o wymiarze mxn oznaczamy symbolem:

lub [a_ij]_mxn

W przypadku, kiedy można pominąć wymiar macierzy, i nie prowadzi to do nieporozumień, macierze oznaczamy stosując tylko wielkie litery alfabetu, np. A, B, X itp.

• Definicja wymiaru macierzy:

Wymiarem macierzy nazywamy uporządkowaną parę liczb naturalnych mxn, której pierwszy wyraz oznacza liczbę wierszy macierzy, a drugi liczbę kolumn.

• Definicja macierzy zerowej:

Macierz wymiaru mxn, w której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru mxn i oznaczamy przez 0_mxn lub przez 0, gdy znany jest jej wymiar.

• Definicja macierzy kwadratowej:

Macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, tj. m=n, nazywamy macierzą kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny tworzą główną przekątną macierzy.

Przykład macierzy kwadratowej

stopnia 4

• Definicja macierzy kolumnowej:

Macierzą kolumnową (nazywaną również macierzą jednokolumnową lub wektorem kolumnowym) nazywamy macierz o wymiarze mx1.

Przykład macierzy kolumnowej:

• Definicja macierzy wierszowej:

Macierzą wierszową (nazywaną również macierzą jednowierszową lub wektorem wierszowym) nazywamy macierz o wymiarze 1xn.

• Definicja macierzy trójkątnej dolnej:

Macierz kwadratową stopnia n>2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną.

• Definicja macierzy trójkątnej górnej:

Macierz kwadratową stopnia n>2, w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

• Definicja macierzy diagonalnej:

Macierz kwadratową stopnia n, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0, nazywamy macierzą diagonalną (lub macierzą przekątną), ozn. diag (a₁₁, a₂₂, ..., a_mn­).

Przykład macierzy diagonalnej:

• Definicja macierzy skalarnej:

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są sobie równe, nazywamy macierzą skalarną.

• Definicja macierzy jednostkowej:

Macierz skalarną stopnia n, w której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez I_n lub E_n, albo - gdy znany jest stopień - przez I lub E.

• DZIAŁANIA NA MACIERZACH:

• Definicja równości macierzy:

Macierze A i B są równe, co zapisujemy A=B, wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru, tj. A=[a_ij]_mxn i B=[b_ij]_mxn, oraz odpowiednie elementy macierzy są równe, tzn. a_ij=b_ij, dla i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

• Definicja sumy macierzy:

Sumą macierzy A=[a_ij]_mxn i B=[b_ij]_mxn nazywamy macierz C=[c_ij]_mxn, której elementy są określone wzorem:

c_ij=a_ij+b_ij

dla i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n. Piszemy wtedy C=A+B.

UWAGA: Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach!!!

Przykład: Obliczyć sumę macierzy A i B, gdzie:

i

• Definicja iloczynu macierzy przez liczbę:

Iloczynem macierzy A=[a_ij]_mxn przez liczbę λ, λ
R, nazywamy macierz B=[b_ij]_mxn, której elementy określone są wzorem:

b_ij= λa_ij

dla i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n. Piszemy wtedy B= λA.

Przykład: Obliczyć D=2A, dla λ=-2

UWAGA: Macierz -A, rozumianą jako macierz (-1)∙A, nazywamy macierzą przeciwną do A. Wówczas różnicą macierzy A i B rozumiemy jako sum macierzy A i macierzy przeciwnej do B, tj. A-B=A+(-B).

• FAKT: Własności działań na macierzach:

Niech A, B i C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz niech α i β będą liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

1. A+B=B+A

2. A+(B+C)=(A+B)+C

3. A+0=0+A=A

4. A+(-A)=0

5. α(A+B)= αA+αB

6. (α+ β)A= αA+βA

7. (αβ)A= α(βA)

8. 1∙A=A

Przykład: Rozwiązać równanie macierzowe 3(A+X)+5(3X+B)=A-B, gdzie

3A+3X+5(3X)+5B=A-B

3A+3X+15X+5B=A-B

3A+18X+5B=A-B/

18X=-2A-6B/

X=

• Definicja iloczynu macierzy:

Niech macierz A=[a_ij] ma wymiar mxn, a macierz B=[b_ij] wymiar nxp. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C=[c_ij] wymiaru mxp, której elementy określone są wzorem:

dla i=1,2,...,m ; j=1,2,...,p. Piszemy wtedy C=AB.

A_mxnB_nxp=C_mxp

SCHEMAT:

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

Przykład: Obliczyć AB, gdzie

A_2x3 B_3x3

UWAGA: Element c_ij iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i-tego wiersza i j-tej kolumny macierz B.

UWAGA: Iloczyn macierzy A i B jest określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

• FAKT: Własności iloczynu macierzy:

1. Niech macierz A ma wymiar mxn, a macierze B i C wymiar nxk. Wówczas:

A(B+C)=AB+AC

2. Niech macierze A i B mają wymiar mxn a macierz C wymiar nxk. Wówczas:

(A+B)=AC+BC

3. Niech macierz A ma wymiar mxn, a macierz B wymiar nxk oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas:

A(αB)=(αA)B=α(AB)

4. Niech macierz A ma wymiar mxn, macierz B wymiar nxk, a macierz C wymiar kxl. Wówczas:

(AB)C=A(BC)

5. Niech macierz A ma wymiar mxn. Wówczas:

AI_n=I_mA=A

UWAGA: Mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne.

Przykład: A_2x3 ∙B_2x2 - nie jest określone!!!

Przykład: Niech
. Obliczyć AB i BA.

A∙B
B∙A - macierze te są określone ale są różne!!!

UWAGA: Niech macierz A jest macierzą kwadratową. Wówczas zamiast AA...A (n razy) będziemy pisali Aⁿ.

• Definicja macierzy transponowanej:

Niech macierz A=[a_ij] będzie macierzą transponowaną wymiaru mxn. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B=[b_ij] wymiaru nxm, której elementy są określone wzorem:

b_ij=a_ij

dla i=1,2,...,n ; j=1,2,...,m. Macierz transponowaną do A oznaczamy przez A^T.

Przykład: Transponowanie macierzy:

Niech

Wówczas

• FAKT: Własności transpozycji macierzy:

1. Niech A i B będą macierzami wymiaru mxn. Wówczas:

(A+B)^T=A^T+B^T

2. Niech A będzie macierzą wymiaru mxn oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas:

(A^T)^T=A oraz (αA)^T=αA^T

3. Niech A będzie macierzą wymiaru mxn, a B macierzą wymiaru nxk. Wówczas:

(AB)^T=B^TA^T

4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech k
   N. Wówczas:

(A^k)^T=(A^T)^k

• Definicja macierzy symetrycznej:

Macierz kwadratową A stopnia n, dla której zachodzi warunek: A^T=A nazywamy macierzą symetryczną.

Przykład: Macierz symetryczna:

- symetria elementów względem głównej przekątnej.

A^T=A

• Definicja macierzy antysymetrycznej:

Macierz kwadratową A stopnia n, dla której zachodzi warunek: A^T=-A nazywamy macierzą antysymetryczną (lub skośnie symetryczną).

Przykład: Macierz antysymetryczna:

• FAKT: Własności macierzy symetrycznej i antysymetrycznej:

1. Niech A będzie macierzą kwadratową. Wówczas:

1. macierz A+A^T jest symetryczna

2. macierz A-A^T jest antysymetryczna

2. Niech A będzie macierzą dowolnego wymiaru. Wówczas macierze AA^T i A^TA są symetryczne.

3. 
   Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej. Wówczas zachodzi:

• WYZNACZNIKI

Niech dana będzie macierz kwadratowa A=[a_ij] stopnia n postaci:

• Definicja indukcyjna wyznacznika macierzy:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, które każdej macierzy rzeczywistej A=[a_ij] przypisuje liczbę rzeczywistą, ozn. detA , w sposób następujący:

1. jeżeli macierz A ma stopień n=1, to: detA=a₁₁

2. jeżeli macierz A ma stopień n>2, to:

detA=a₁₁detA₁₁-a₁₂detA₁₂+a₁₃detA₁₃-...+(-1)¹⁺ⁿa_1ndetA_1n

gdzie A_ij­ oznacza macierz stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

UWAGA: Wyznacznik macierzy A oznaczamy także symbolem det[a_ij] lub |A|, a w formie rozwiniętej przez:

Przykład: Obliczyć:

SCHEMAT OBLICZANA WYZNACZNIKA STOPNIA DRUGIEGO:

SCHEMAT OBLICZANIA WYZNACZNIKA STOPNIA TRZECIEGO - METODA SARUSA:

1)

2)

Przykład: Obliczyć wyznaczniki:

UWAGA: Korzystając z definicji wyznacznika macierzy łatwo można pokazać, że:

1. detI=1, dla macierzy jednostkowej I dowolnego stopnia

2. det[diag(a₁₁, a₂₂, a­₃₃,...,a_nn­)]=a₁₁∙a₂₂∙a₃₃∙...∙a_nn

• Definicja minora macierzy:

Minorem M_ij, stopnia n-1 macierzy kwadratowej A (lub wyznacznika detA) odpowiadającym elementowi a_ij nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1, która powstała z macierzy A, w której wykreślono i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

• Definicja dopełnienia algebraicznego:

Liczbę A_ij=(-1)^i+jM_ij, gdzie M_ij jest minorem stopnia n-1 macierzy kwadratowej A odpowiadającym elementowi a_ij, nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a_ij.

• Twierdzenie Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika:

Niech A=[a_ij] będzie macierzą kwadratową stopnia n>2. Wówczas wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne, tj.:

1. detA=a_i1A_i1+a_i2A_i2+a_i3­A_i3+...+a­_inA_in , przy dowolnie ustalonym i, takim że 1<i<n

oraz

2. detA=a_1jA_1j+a_2jA_2j+a_3jA_3j+...+a_njA_nj , przy dowolnie ustalonym j, takim że 1<j<n

Wzór 1) nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem i-tego wiersza

2) nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem j-tej kolumny

Przykład: Obliczyć:

• FAKT: Wyznacznik macierzy trójkątnej:

Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej lub górnej jest równy iloczynowi elementów na jego głównej przekątnej, tj.:

• Twierdzenie Cauchy'ego:

Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, tj.:

det(AB)=detA∙detB

WNIOSEK: Jeśli A jest macierzą kwadratową i n
N, to det(A)ⁿ=(detA)ⁿ.

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW:

Własność 1: Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer

jest równy zero.

Własność 2: Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak na przeciwny, jeżeli zamienimy ze

sobą dwa wiersze lub dwie kolumny.

Własność 3: Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolumny (dwa

jednakowe wiersze) jest równy zero.

Własność 4: Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy

kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.

Przykład:

Własność 5: Jeżeli w wyznaczniku elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są

proporcjonalne do odpowiednich elementów innej kolumny (innego wiersza) to

wyznacznik tej macierzy jest równy zero.

Własność 6: Wyznacznik macierzy kwadratowej, w której elementy pewnej kolumny (pewnego

wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

Własność 7: Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny

(dowolnego wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) pomnożone przez dowolną liczbę.

Własność 8: Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy do niej transponowanej.

Przykład: Obliczyć:

• MACIERZ ODWROTNA

• Definicja macierzy odwrotnej:

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz, oznaczoną przez A^-1, spełniającą warunek:

AA^-1=A^-1A=I_n

gdzie I_n jest macierzą jednostkową stopnia n.

• Definicja macierzy odwracalnej:

Macierz kwadratową posiadającą macierz odwrotną nazywamy macierzą odwracalną.

• Definicja macierzy dołączonej:

Macierzą dołączoną do macierzy kwadratowej A (lub macierzą dopełnień algebraicznych) nazywamy macierz oznaczoną przez A^D, powstającą z macierzy A^T przez zastąpienie w niej każdego elementu a_ij, odpowiadającym mu dopełnieniem algebraicznym A_ij.

• Twierdzenie:

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A i odpowiadającej jej macierzy dołączonej A^D zachodzi:

AA^D=A^DA=IdetA

• Definicja macierzy osobliwej i nieosobliwej:

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, jeśli

detA=0

W przeciwnym wypadku (tzn. detA
0) mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

• Twierdzenie o wyznaczniku macierzy odwrotnej:

Jeżeli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to zachodzi wzór:

Przykład: Wyznaczyć macierz odwrotną do
, o ile istnieje.

• FAKT: Własności macierzy odwrotnych:

Niech macierze A i B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech α
R\{0}, n
N. Wtedy macierze A^-1, A^T, AB, αA, Aⁿ także są odwracalne i zachodzą równości:

det(A^-1)=(detA)^-1

(A^-1)^-1=A

(A^T)^-1=(A^-1)^T

(AB)^-1=B^-1A^-1 !!!

(αA)^-1=
(A­^-1)

(Aⁿ)^-1=(A^-1)ⁿ

• Rozwiązywanie równań macierzowych:

Korzystając z macierzy odwrotnych można w szczególności rozwiązywać równania macierzowe, tj. równania, w których niewiadomą jest macierz X.

Przykład: Wyznaczy macierz X z równania AX+2X=B, gdzie macierz A=
, B=
.

AX+2X=B

(A+2E)X=B, sprawdzić czy A+2E jest odwracalna, tj. det(A+2E)
0.

element neutralny

(macierz jednostkowa)

(A+2E)^-1∙\(A+2E)=(A+2E)^-1B

(A+2E)^-1(A+2E)=(A+2E)^-1B

EX

EX=(A+2E)^-1B

X=(A+2E)^-1B

(z poprzedniego przykładu)

• RZĄD MACIERZY

Weźmy dowolną macierz A o wymiarze mxn.

• Definicja rzędu macierzy:

Rzędem macierzy nazywamy liczbę r taką, że istnieje minor stopnia r różny od zera, natomiast wszystkie minory stopnia r+1, jakie istnieją w danej macierzy są równe zero. Przyjmujemy dodatkowo, że rząd macierzy zerowej jest równy zero. Rząd macierzy oznaczamy symbolem R(A).

WNIOSEK: Rząd macierzy A jest liczbą całkowitą taką, że 0<R(A)<min(m,n).

WNIOSEK: Dla macierzy kwadratowej A stopnia n nieosobliwej R(A)=n.

Dla macierzy kwadratowej A stopnia n osobliwej R(A)<n.

Przykład: Obliczyć rzędy macierzy A, B i C:

• Definicja przekształceń elementarnych:

Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy:

1. przestawienie dwóch wierszy (kolumn)

2. pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera

3. pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę i dodanie go do innego wiersza (kolumny).

• Twierdzenie:

Przekształcenia elementarne macierzy nie zmieniają rzędu tej macierzy. Rząd macierzy nie zmienia się przy dopisaniu lub skreśleniu z macierzy wiersza (lub kolumny) złożonego z samych zer.

Przykład: Obliczyć rząd macierzy:

• UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

• Definicja:

Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x₁, x₂, x₃,..., x_n, gdzie m, n
N, nazywamy układ równań postaci:

gdzie a_ij
R, b_i
R dla 1<i<m, oraz 1<j<n.

Ponadto:

a_ij nazywamy współczynnikami układu równań

b_i nazywamy wyrazami wolnymi

x_j nazywamy niewiadomymi

i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n

Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) nazywamy układ liczb rzeczywistych x₁, x₂, x₃,..., x_n które spełniają każde równanie tego układu.

Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy układem sprzecznym.

• Definicja:

Układ równań (1) nazywamy układem jednorodnym, gdy b₁=b₂=...=b_m=0, natomiast układem niejednorodnym w przypadku przeciwnym.

• Definicja:

Rozwiązanie układu równań (1) nazywamy zerowym, gdy: x₁=x₂=...=x­_n=0.

UWAGA: Rozwiązanie zerowe jest zawsze jednym z rozwiązań układu jednorodnego.

• Metoda macierzowa rozwiązywania układów równań:

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

A nazywamy macierzą współczynników układu równań (macierzą układu)

B nazywamy macierzą wyrazów wolnych (wektorem wyrazów wolnych)

X nazywamy macierzą niewiadomych (wektorem niewiadomych)

Przy tak przyjętych oznaczeniach układ równań (1) można zapisać w postaci równania macierzowego: AX=B nazywanego postacią macierzową układy równań.

Przykład:

W przypadku, kiedy m=n (układ ma tyle samo rozwiązań co niewiadomych) można stosować tzw. metodę macierzową rozwiązywania układów równań, o ile macierz układu A jest macierzą nieosobliwą. Przy takim założeniu istnieje macierz odwrotna do A, tj.: A^-1. W wyniku lewostronnego pomnożenia obu stron równania AX=B przez A^-1 otrzymujemy poszukiwane rozwiązanie: X=A^-1B.

Przykład: Metodą macierzową rozwiązać układ równań (o ile to możliwe).

WZORY CRAMERA

• Definicja układu Cramera:

Układ równań liniowych:

w którym macierz A układu jest macierzą kwadratową nieosobliwą nazywamy układem Cramera.

• Twierdzenie Cramera:

Układ Cramera (2) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest wzorami:

gdzie W oznacza wyznacznik macierzy A, natomiast W_i, i=1,2,...,n oznacza wyznacznik macierzy, która powstała z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych b_i, i=1,2,...,n. Wzory w ramce nazywamy wzorami Cramera.

Przykład: Rozwiązać układ równań:

WNIOSEK: Jednorodny układ Cramera ma tylko jedno rozwiązanie zerowe, tzn.: x₁=x₂=...=x_n=0.

Przykład:

Rozpatrzmy ponownie układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci:

• Definicja macierzy rozszerzonej:

Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C powstałą z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych, tj. macierz postaci:

• Twierdzenie Kroneckera - Capelliego:

Układ równań (3) posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierz A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej, tj. R(A)=R(C). Jeżeli ponadto R(A)=R(C)=n, to układ równań (3) ma dokładnie jedno rozwiązanie, natomiast R(A)=R(C)=r<n, to układ (3) posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów.

WNIOSEK: Jeżeli R(A)
R(C), to układ równań (3) nie ma rozwiązań.

WNIOSEK: Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie.

Przykład: Rozwiązać układ równań:

R(A)=R(C)=2<n=3
układ ma rozwiązanie

ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r=3-2=1 parametru

Przykład: Rozwiązać układ równań:

R(A)
R(C) - układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań

---