UKŁADY

RÓWNAŃ

LINIOWYCH

Z

PARAMETREM

Zajmiemy się rozwiązaniem układu równań

z PARAMETREM. Parametr to dowolna liczba

rzeczywista, od której zależy liczba rozwiązań

układu równań.

Przykład 1.
Rozwiąż układ równań w zależności od
parametru k.

Obliczamy wyznaczniki dla układu równań.

W=Wx=Wy=0

Układ równań jest równoważny jednemu z

tych równań (np. drugie równanie

otrzymujemy przez pomnożenie obu stron

pierwszego równania przez

Wystarczy rozważyć jedno równanie, np.

pierwsze.

Dla k ≠ 0 podstawiając za y dowolną liczbę

rzeczywistą otrzymujemy nieskończenie wiele

rozwiązań.

Układ równań wtedy ma nieskończenie wiele

rozwiązań (układ nieoznaczony).

Dla k = 0 otrzymujemy równanie:

Jest to równanie nieprawdziwe. Układ równań

jest sprzeczny.

Przykład 2.
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w
zależności od parametru k.

Obliczamy wyznaczniki.

Wyznacznik W = 0 więc układ albo ma

nieskończenie wiele rozwiązań albo nie ma

wcale.

Rozważyć musimy dwa przypadki:

PRZYPADEK 1.

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

jeżeli:

Wx = 0 i Wy = 0

-150+6k=0 2k-50=0

6k=150 2k=50

k=25 k=25

Dla k=25 układ równań ma nieskończenie

wiele rozwiązań.

PRZYPADEK 2.

Układ nie ma rozwiązań jeżeli:

Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0

-150+6k ≠ 0 2k-50 ≠ 0

6k ≠ 150 2k ≠ 50

k ≠ 25 k ≠ 25

Dla k ≠ 25 układ równań nie ma rozwiązań,

jest sprzeczny.

Przykład 3.
Dla jakiej wartości
parametru k układ
równań jest
nieoznaczony?

Obliczamy
wyznaczniki.

Układ jest nieoznaczony gdy spełnione są

warunki:

W=0 i Wx=0 i Wy=0

2k–1=0 k∈R 8k-4=0

2k=1 8k=4

k=0,5 k=0,5

Dla k=0,5 układ równań ma nieskończenie

wiele rozwiązań (jest nieoznaczony).

Przykład 4.
Dla jakiej wartości
parametru k układ
równań jest
oznaczony?

Obliczamy
wyznaczniki.

Układ równań jest oznaczony gdy spełniony
jest warunek:

W ≠ 0

-4k

2

+1 ≠ 0

-4k

2

≠ -1

4k

2

≠ 1

k

2

≠ ¼

k ≠ ½ i k ≠ -½

Dla k ∈ R\{- ½; ½ } układ równań ma jedno

rozwiązanie.

Przykład 5.
Dla jakiej wartości
parametru k układ
równań jest
sprzeczny?.

W=

W = -52+45+20-24+50-39 = 0

Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki:
Wx, Wy, Wz.

Wx = -182+60+5k-6k+175-52=1-k

Wx =

Wy =

Wy = -104+9k-140-48+10k+273=19k-19

Wz = 4k+105-16-56-40+3k=7k-7

Wz =

Wyznacznik W ma wartość 0, natomiast

wyznaczniki Wx, Wy, Wz są zależne od

parametru k.

Układ równań nie posiada żadnych

rozwiązań jeżeli: Wx≠0 lub Wy≠0 lub

Wz≠0.

Wx ≠ 0 ∨ Wy ≠ 0 ∨ Wz ≠ 0
1- k ≠ 0 19k-19 ≠ 0 7k-7 ≠ 0
k ≠ 1 k ≠ 1 k
≠ 1

Dla k ≠ 1 wszystkie wyznaczniki są różne od

zera, wtedy układ równań jest sprzeczny.