UKŁADY

RÓWNAŃ

LINIOWYCH

W gimnazjum poznaliśmy trzy metody

rozwiązywania układów równań liniowych:

- metoda

podstawiania

,

- metoda

przeciwnych współczynników

,

- metoda

graficzna

.

Wiemy również że układ może mieć:
 jedno rozwiązanie
 nieskończenie wiele rozwiązań
 nie mieć wcale rozwiązań.

Istnieje jeszcze jedna metoda rozwiązywania

układów równań – to metoda

wyznacznikowa

.

Obliczamy trzy wyznaczniki i w zależności od

ich wartości wiemy czy układ ma

rozwiązania czy nie.

Zanim pojawią się wzory rozwiążmy dowolny

układ równań.

Obliczamy najpierw wyznacznik główny W –

tworzymy dwie kolumny: kolumna czerwona

to współczynniki znajdujące się przed

niewiadomą , natomiast kolumna zielona

to współczynniki przed

Obliczamy wyznacznik Wx:

Pierwszą kolumnę tworzymy z wyrazów

wolnych,

a druga pozostaje bez zmian.

Obliczamy wyznacznik Wy:

Druga kolumna to wyrazy wolne z układu

równań.

Wyznacznik główny W jest różny od zera,

dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie,

które obliczamy ze wzoru:

Zbiorem rozwiązań układu równań jest para

liczb:

DEFINICJE:

Układ równań liniowych

można rozwiązać stosując

metodę wyznaczników:

wyznacznik główny

wyznacznik Wx

wyznacznik Wy

Układ równań:

a)ma jedno rozwiązanie, jeżeli: W ≠ 0

układ taki

nazywamy

układem

oznaczonym

b) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli :

W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0

układ taki nazywamy

nieoznaczonym

c) nie ma rozwiązań, jeżeli:

W = 0 i ( Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 )

układ taki nazywamy

sprzecznym

Przykład 1.
Metodą wyznacznikową
rozwiąż układ równań:

Najpierw uporządkujemy
równania w układzie.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wszystkie trzy obliczone wyznaczniki mają

wartość 0

W=0 i Wx=0 i Wy=0

dlatego układ równań ma nieskończenie wiele

rozwiązań (układ nieoznaczony).

Przykład 2.
Metodą wyznacznikową
rozwiąż układ równań:

Najpierw uporządkujemy
równania w układzie.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wyznacznik główny ma wartość 0, pozostałe

wyznaczniki są różne od 0.

Spełniony jest warunek: W=0 i ( Wx≠0 lub

Wy≠0 )

dlatego układ równań nie ma rozwiązania.

(układ sprzeczny)

Przykład 3.
Rozwiąż układ równań:

Najpierw przekształcimy równania,
wykonamy odpowiednie działania.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wyznacznik W ma wartość 0, wyznaczniki Wx i

Wy są różne od 0.

Spełniony jest warunek: W=0 i ( Wx≠0 lub

Wy≠0 )

dlatego układ równań jest sprzeczny.

Zr =

∅

Przykład 4.
Oblicz pole figury
ograniczonej
prostymi: y=0, y=x,
y=-2x+8

Najpierw
narysujemy
przybliżony wykres,
aby powstał
odpowiedni obszar,
którego pole
policzymy.

A

C

B

Otrzymaną figurą jest trójkąt
o wierzchołkach: A, B, C.
Prosta AB to prosta o równaniu: y=0
Prosta AC to prosta o równaniu: y=x
Prosta BC to prosta o równaniu: y=-2x+8

Musimy wyznaczyć współrzędne punktów A,
B, C.

Wyznaczamy współrzędne punktu A – szukamy
miejsca zerowego funkcji y=x
y=x
0=x A=(0,0)

Wyznaczamy współrzędne punktu B – szukamy
miejsca zerowego funkcji y=-2x+8
y=-2x+8
0=-2x+8
2x=8
x=4 B=(4,0)

Wyznaczamy współrzędne punktu C – punktu
przecięcia się prostych o równaniach: y=x i
y=-2x+8
Tworzymy układ równań:

Obliczamy wyznaczniki:

C=

Obliczamy długość podstawy i wysokości
trójkąta ABC.

Pole obszaru wynosi j

2