ady równań liniowych.
Zadanie 1 Znaleźć macierz X wiedz ¾
ac, ·ze X =
3A
B+C , gdzie
2
3 0 1
3 2
0
1
0
2
A =
; B =
; C =
:
2
1 5
1
5
3
3
5 0
2
2
Zadanie 2 Znaleźć macierz X wiedz ¾
ac, ·ze X = (AB)T det C, gdzie
2
3
2
5 0
p
p
1 0
2
2
6
A =
; B = 4 1
0 3 5 ; C =
p
:
3
1
4
1
3
3 1 2
2
3
2
5 0
1 0
2
Zadanie 3 Obliczyć BT AT , gdzie A =
, B = 4 1
0 3 5 :
3
1
4
3 1 2
Zadanie 4 Korzystaj ¾
ac z regu÷
y obliczania wyznaczników stopnia drugiego wyznaczyć:
p
p
2 3
3
2
1
2
5
2
a)
, b)
, c)
p
p
.
5
7
8
5
5 + 2 1 +
2
Zadanie 5 Korzystaj ¾
ac z regu÷
y Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego wyznaczyć:
1
2 3
1
5
4
1 1 1
a)
2 0 1 , b)
3
2 0 , c)
1 2 3 .
5
1 3
1
3
6
1 3 6
Zadanie 6 Korzystaj ¾
ac z rozwini ¾
ecia Laplace’a obliczyć podane wyznaczniki: 5
3
4
1
2
3
2
18
5
a)
1
2
0
, b)
2
1
3
, c)
2
11
3
,
3
6
1
3
4
2
6
4
11
5 3
0
4
2
2 1 3 4
1 2
1 2
1
2 4 3 1
d)
, e)
4 1
1
1
2
.
1 3 2 4
1 1
1
0
1
3 2 1 4
0 1
2
3
4
1
ac z de…nicji macierzy odwrotnej znaleźć macierze odwrotne do podanych:
2
3
2
3
2
3
2
0
2
1
2
2
2
1
3
A = 4 1
1
0 5 , B = 4 2
1
2 5 , C = 4 0
1
2 5 ,
0
2 1
2
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2 1 1 0
1
1
2
0
6 3 2 1 3 7
6 3 1
1
2 7
D = 6
7
6
7
4 1 2 0 2 5 , E = 4 0
3
1
1 5 :
2 0 2 1
2
2
1
4
Zadanie 8 Stosuj ¾
ac metod ¾
e eliminacji Gaussa znaleźć macierze odwrotne do macierzy z Zadania 7.
Zadanie 9 Wyznaczyć rz ¾
edy nast ¾
epuj ¾
acych macierzy:
2
3
1
2
3
2
3
6
2
1 3
2
1
2
3 7
A = 6
7
4
5
4
5
2
7
0
,
3
2
1 5 , B =
3
3
4
2
3
2
1
2
3
2
3
2
3
4
1
4
3 2
2
6
3
2
4
2 7
6 3
4 5
3 7
C = 6
7
6
7
4
4
7
4
3 5 , D = 4 5
3 6
4 5 .
5 12
4
4
4
4 9
9
Zadanie 10 Korzystaj ¾
ac z Twierdzenia Cramera rozwi ¾
azać nast ¾
epuj ¾
ace uk÷
ady
równań linowych:
8
8
<
2y + x + z =
3
< x + y + 3z = 12
a)
2x
z + y = 4
, b)
2x
y + z = 3
,
:
:
z
y + 2x = 0
4x + y + 7z = 27
8
8
>
x
y + 2z = 1
< 2x
4y + 8z
3u = 0
>
<
x
2y
z = 1
c)
x + 2y
4z
u = 0 , d)
,
:
>
3x
y + 5z = 3
x
2y + 4z + u = 0
>
:
x
2y
4z =
1
8
8
>
2x + y
2z
u = 4
< x + 2y = 3
>
< x y + 2z + u = 5
e)
2x + 4y =
6
, f )
,
:
> 2x + y + z + 5u = 7
3x + 6y =
10
>
: x + 5y z + 4u = 4
2
8
>
> x
> 3x
< 1
2x2 + 3x3
4x4 = 4
>
<
1 + 4x2
5x3 + 7x4 = 0
x
2x
g)
2
x3 + x4 =
3
, h)
1
3x2 + 3x3
2x4 = 0
,
>
>
x
> 4x
:
1 + 3x2
3x4 = 1
>
:
1 + 11x2
13x3 + 16x4 = 0
7x2 + 3x3 + x4 =
3
7x1
2x2 + x3 + 3x4 = 0
8
8
> 3x
< x
>
1 + x2
2x3 + x4
x5 = 1
1 + x2 + x3 = 5
< 2x
i)
2x
, j)
1
x2 + 7x3
3x4 + 5x5 = 2 ,
:
1 + 2x2 + x3 = 3
> x
3x
>
1 + 3x2
2x3 + 5x4
7x5 = 3
1 + 2x2 + x3 = 1
: 3x1 2x2 + 7x3 5x4 + 8x5 = 3
8
>
8
> 2x
>
1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2
>
> x
< x
>
2 + x3 + x4 = 4
1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 = 0
< x
k)
x
, l)
1 + x2 + x4 = 2
.
>
1 + x2 + 3x3 + x4 + x5 = 3
>
> x
>
> 1 + x3 + x4 = 1
> x
:
: 1 + x2 + x3 + 4x4 + x5 = 2
x
x
1 + x2 + x3 =
2
1 + x2 + x3 + x4 + 5x5 = 5
Zadanie 11 Rozwi ¾
azać uk÷ady równań liniowych z Zadania 10 metod ¾
a macie-
rzy odwrotnej.
Zadanie 12 Wykorzystuj ¾
ac Twierdzenie Kroneckera-Capelliego określić licz-b ¾
e rozwi ¾
azań uk÷adów równań linowych z Zadania 10.
Zadanie 13 Rozwi ¾
azać uk÷ady równań linowych z Zadania 10 metod ¾
a elimi-
nacji Gaussa.
Zadanie 14 Wyznaczyć wartości w÷
asne oraz wektory w÷
asne nast ¾
epuj ¾
acych
macierzy:
4 3
2
3
1 0
A =
, B =
, C =
,
1 2
1
1
0 1
2
3
2
3
2
3
1 3 0
4
4
2
3
1 2 3
6 1 3 0
4 7
D = 4 0
1 1 5 , E = 4 1 2 3 5 , F = 6
7
4 1 3 0
4 5 .
0
0
1
1 2 3
1 3 0
4
Bibliogra…a
[1] W. Krysicki, L. W÷
odarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz ¾
eść
I, PWN, Warszawa, 1996.
[2] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. De…nicje, twierdzenia, wzory, O…cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷
aw, 2001.
[3] T. Jurlewicz , Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przyk÷
ady i zadania,
O…cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷
aw, 2001.
3
[4] T. Jurlewicz , Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2. De…nicje, twierdzenia, wzory, O…cyna Wydawnicza GiS, 2002.
[5] T. Jurlewicz , Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2. Przyk÷
ady i zadania,
O…cyna Wydawnicza GiS, 2002.
[6] J. Banaś, Podstawy matematyki dla ekonomistów, WNT, Warszawa, 2005.
4