MACIERZE I UKŁADY RÓWNA
Zadanie 1. Dane s macierze
−
=
0
4
3
1
4
2
A
,
−
=
5
2
3
1
B
,
−
−
=
3
2
1
0
3
2
C
,
=
1
2
1
0
4
3
D
.
Wykona nast puj ce działania, je li to mo liwe:
(
)
T
T
T
D
C
A
B
,
D
CB
,
A
,
B
,
BA
,
AB
,
C
A
,
B
A
2
2
3
2
3
2
−
+
−
+
.
Zadanie 2. Znale
( )
A
f
, gdzie:
a)
( )
3
2
2
+
+
=
x
x
x
f
,
−
=
1
3
1
2
A
,
b)
( )
2
3
2
+
−
=
x
x
x
f
,
−
=
1
2
0
1
1
3
1
1
2
A
.
Zadanie 3. Obliczy warto wyznacznika:
a)
3
1
4
2
,
3
4
1
2
−
,
x
sin
x
cos
x
cos
x
sin
−
,
i
i
4
3
3
2
4
3
−
−
+
,
b)
1
1
0
0
1
1
1
0
1
,
−
−
−
7
5
3
4
8
6
5
2
3
det
,
5
4
3
2
2
2
3
2
1
,
1
0
1
0
1
1
1
i
i
i
i
+
−
−
.
c)
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
,
5
1
2
8
0
3
5
7
0
0
1
6
0
0
0
2
−
−
,
4
1
0
0
0
5
4
1
0
0
0
5
4
1
0
0
0
5
4
1
0
0
0
5
4
,
3
1
2
1
1
0
0
2
0
1
1
0
1
2
0
1
0
1
1
0
1
1
1
2
1
−
−
−
.
Zadanie 4. Niech
−
=
2
0
1
1
2
1
4
3
2
A
,
−
−
−
=
2
4
3
1
1
2
1
1
2
B
. Obliczy
( )
AB
det
,
(
)
B
A
det
5
+
,
( )
4
3
B
A
det
,
(
)
1
5
−
A
B
det
.
Zadanie 5. Dla macierzy
=
1
2
1
1
3
2
0
0
0
1
2
1
0
0
1
2
A
obliczy :
a) minory:
44
23
21
11
M
,
M
,
M
,
M
,
b) dopełnienia algebraiczne:
33
32
22
12
A
,
A
,
A
,
A
.
Zadanie 6. Wyznaczy rz d nast puj cych macierzy:
a)
2
2
2
4
1
1
1
2
, b)
−
−
−
4
3
1
1
2
1
3
1
2
, c)
−
−
1
4
1
3
0
2
1
0
0
1
3
2
, d)
2
1
5
2
1
4
1
1
3
1
0
2
, e)
8
6
4
2
1
1
2
3
1
1
1
2
4
3
2
1
.
Zadanie 7. Wyznaczy rz d macierzy, jako funkcj parametru
R
∈
λ
:
a)
λ
3
4
2
2
3
17
7
1
1
10
4
4
1
1
3
, b)
−
λ
−
−
λ
1
6
10
1
5
1
2
2
1
1
.
Zadanie 8. Poda przykład macierzy dla której: a) rz d
A
=2, b) rz d
A
=3.
Zadanie 9. Ile jest wyznaczników trzeciego stopnia z macierzy o wymiarach
5
4
×
?
MACIERZE I UKŁADY RÓWNA
Zadanie 10. Znale , o ile istnieje, macierz odwrotn dla macierzy
A
:
a)
=
3
2
2
1
A
, b)
=
3
0
0
1
2
0
3
2
1
A
, c)
−
−
=
0
2
1
1
0
2
1
2
1
A
, d)
−
=
3
2
1
2
4
3
1
1
0
0
2
3
0
0
1
2
A
, e)
α
α
α
−
α
=
cos
sin
sin
cos
A
.
Zadanie 11. Wyznaczy macierz
X
tak , e:
a)
−
=
1
2
6
4
3
1
4
2
X
,
b)
−
−
=
−
−
4
2
1
2
3
4
3
1
1
1
1
1
0
1
2
1
1
1
X
,
c)
−
−
=
−
−
1
3
4
2
2
3
1
2
3
5
2
3
X
.
Zadanie 12. Rozwi za układy równa Cramera:
a)
−
=
+
+
−
=
+
−
−
=
+
+
2
4
4
3
2
2
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
=
+
+
=
+
+
=
+
+
5
3
2
1
3
3
4
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, c)
=
−
−
=
−
2
2
3
1
2
5
y
x
y
x
, d)
=
−
=
+
=
+
2
2
4
5
2
3
2
3
2
1
2
3
1
3
2
x
x
x
x
x
x
, e)
=
−
=
+
=
+
=
−
1
4
2
2
1
4
3
3
2
2
1
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Zadanie 13. Rozwi za układy równa :
a)
=
+
−
=
+
−
1
2
2
6
2
3
z
y
x
z
y
x
, b)
=
+
+
−
−
=
−
+
−
=
+
+
−
5
5
2
1
2
1
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, c)
=
−
+
=
+
−
−
=
−
+
0
2
3
4
0
0
2
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, d)
=
+
−
=
+
=
+
6
3
2
1
2
5
5
3
y
x
y
x
y
x
,
e)
=
+
−
=
+
−
0
15
30
5
0
6
12
2
z
y
x
z
y
x
, f)
=
+
+
=
−
−
=
+
−
0
2
0
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, g)
=
−
=
+
−
=
+
1
5
1
4
3
3
2
y
x
y
x
y
x
, h)
=
+
+
=
−
+
=
−
+
−
=
−
+
3
1
3
2
1
2
2
1
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
i)
=
−
+
+
−
=
+
−
−
=
−
+
+
2
2
4
2
1
2
2
1
2
3
w
z
y
x
w
z
y
x
w
z
y
x
.
Zadanie 14. Dobra tak parametr
a
, aby poni szy układ równa miał rozwi zanie:
=
−
+
=
+
+
=
−
+
1
2
2
6
2
5
4
z
y
x
z
y
x
z
y
ax
.
Zadanie 15. Dla jakich
a
układ równa
=
+
−
=
+
−
=
+
−
0
8
7
9
2
3
4
5
3
az
y
x
z
ay
x
z
y
ax
a) ma dokładnie jedno rozwi zanie,
b) ma niesko czenie wiele rozwi za ,
c) nie ma rozwi za .
Zadanie 16. W zale no ci od parametru
k
rozwi za układy:
a)
=
−
+
=
+
+
=
−
+
0
3
0
0
3
z
ky
x
z
y
x
z
ky
x
, b)
=
+
=
−
=
+
0
3
1
2
y
x
y
x
k
y
x
, c)
=
+
+
=
+
+
=
+
+
2
1
k
kz
y
x
k
z
ky
x
z
y
kx
, d)
=
+
=
+
−
=
−
1
2
2
8
1
2
y
x
k
ky
x
y
kx
, e)
=
+
−
=
+
−
=
+
−
k
z
y
x
z
ky
x
z
y
kx
2
2
3
3
1
1
.
MACIERZE I UKŁADY RÓWNA
Zadanie 17. Rozwi za układ równa
=
−
=
−
+
=
+
+
2
3
0
3
2
0
4
bz
x
z
y
x
z
y
ax
w zale no ci od warto ci parametrów
R
b
,
a
∈
.
Zadanie 18. Znale warto ci i wektory własne macierzy:
−
=
2
0
4
0
2
0
0
0
1
A
,
−
−
−
−
=
0
2
1
1
1
3
2
2
3
B
,
=
2
0
0
1
1
0
2
1
1
C
,
−
−
−
=
2
0
1
4
1
0
2
0
1
D
,
−
−
=
1
0
1
1
1
3
0
1
4
E
.