MACIERZE I UKŁADY RÓWNA

Zadanie 1. Dane s macierze

−

=

0

4

3

1

4

2

A

,

−

=

5

2

3

1

B

,

−

−

=

3

2

1

0

3

2

C

,

=

1

2

1

0

4

3

D

.

Wykona nast puj ce działania, je li to mo liwe:

(

)

T

T

T

D

C

A

B

,

D

CB

,

A

,

B

,

BA

,

AB

,

C

A

,

B

A

2

2

3

2

3

2

−

+

−

+

.

Zadanie 2. Znale

( )

A

f

, gdzie:

a)

( )

3

2

2

+

+

=

x

x

x

f

,

−

=

1

3

1

2

A

,

b)

( )

2

3

2

+

−

=

x

x

x

f

,

−

=

1

2

0

1

1

3

1

1

2

A

.

Zadanie 3. Obliczy warto wyznacznika:

a)

3

1

4

2

,

3

4

1

2

−

,

x

sin

x

cos

x

cos

x

sin

−

,

i

i

4

3

3

2

4

3

−

−

+

,

b)

1

1

0

0

1

1

1

0

1

,

−

−

−

7

5

3

4

8

6

5

2

3

det

,

5

4

3

2

2

2

3

2

1

,

1

0

1

0

1

1

1

i

i

i

i

+

−

−

.

c)

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

,

5

1

2

8

0

3

5

7

0

0

1

6

0

0

0

2

−

−

,

4

1

0

0

0

5

4

1

0

0

0

5

4

1

0

0

0

5

4

1

0

0

0

5

4

,

3

1

2

1

1

0

0

2

0

1

1

0

1

2

0

1

0

1

1

0

1

1

1

2

1

−

−

−

.

Zadanie 4. Niech

−

=

2

0

1

1

2

1

4

3

2

A

,

−

−

−

=

2

4

3

1

1

2

1

1

2

B

. Obliczy

( )

AB

det

,

(

)

B

A

det

5

+

,

( )

4

3

B

A

det

,

(

)

1

5

−

A

B

det

.

Zadanie 5. Dla macierzy

=

1

2

1

1

3

2

0

0

0

1

2

1

0

0

1

2

A

obliczy :

a) minory:

44

23

21

11

M

,

M

,

M

,

M

,

b) dopełnienia algebraiczne:

33

32

22

12

A

,

A

,

A

,

A

.

Zadanie 6. Wyznaczy rz d nast puj cych macierzy:

a)

2

2

2

4

1

1

1

2

, b)

−

−

−

4

3

1

1

2

1

3

1

2

, c)

−

−

1

4

1

3

0

2

1

0

0

1

3

2

, d)

2

1

5

2

1

4

1

1

3

1

0

2

, e)

8

6

4

2

1

1

2

3

1

1

1

2

4

3

2

1

.

Zadanie 7. Wyznaczy rz d macierzy, jako funkcj parametru

R

∈

λ

:

a)

λ

3

4

2

2

3

17

7

1

1

10

4

4

1

1

3

, b)

−

λ

−

−

λ

1

6

10

1

5

1

2

2

1

1

.

Zadanie 8. Poda przykład macierzy dla której: a) rz d

A

=2, b) rz d

A

=3.

Zadanie 9. Ile jest wyznaczników trzeciego stopnia z macierzy o wymiarach

5

4

×

?

MACIERZE I UKŁADY RÓWNA

Zadanie 10. Znale , o ile istnieje, macierz odwrotn dla macierzy

A

:

a)

=

3

2

2

1

A

, b)

=

3

0

0

1

2

0

3

2

1

A

, c)

−

−

=

0

2

1

1

0

2

1

2

1

A

, d)

−

=

3

2

1

2

4

3

1

1

0

0

2

3

0

0

1

2

A

, e)

α

α

α

−

α

=

cos

sin

sin

cos

A

.

Zadanie 11. Wyznaczy macierz

X

tak , e:

a)

−

=

1

2

6

4

3

1

4

2

X

,

b)

−

−

=

−

−

4

2

1

2

3

4

3

1

1

1

1

1

0

1

2

1

1

1

X

,

c)

−

−

=

−

−

1

3

4

2

2

3

1

2

3

5

2

3

X

.

Zadanie 12. Rozwi za układy równa Cramera:

a)

−

=

+

+

−

=

+

−

−

=

+

+

2

4

4

3

2

2

1

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

, b)

=

+

+

=

+

+

=

+

+

5

3

2

1

3

3

4

2

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

, c)

=

−

−

=

−

2

2

3

1

2

5

y

x

y

x

, d)

=

−

=

+

=

+

2

2

4

5

2

3

2

3

2

1

2

3

1

3

2

x

x

x

x

x

x

, e)

=

−

=

+

=

+

=

−

1

4

2

2

1

4

3

3

2

2

1

3

1

x

x

x

x

x

x

x

x

Zadanie 13. Rozwi za układy równa :

a)

=

+

−

=

+

−

1

2

2

6

2

3

z

y

x

z

y

x

, b)

=

+

+

−

−

=

−

+

−

=

+

+

−

5

5

2

1

2

1

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

, c)

=

−

+

=

+

−

−

=

−

+

0

2

3

4

0

0

2

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

, d)

=

+

−

=

+

=

+

6

3

2

1

2

5

5

3

y

x

y

x

y

x

,

e)

=

+

−

=

+

−

0

15

30

5

0

6

12

2

z

y

x

z

y

x

, f)

=

+

+

=

−

−

=

+

−

0

2

0

0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

, g)

=

−

=

+

−

=

+

1

5

1

4

3

3

2

y

x

y

x

y

x

, h)

=

+

+

=

−

+

=

−

+

−

=

−

+

3

1

3

2

1

2

2

1

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

,

i)

=

−

+

+

−

=

+

−

−

=

−

+

+

2

2

4

2

1

2

2

1

2

3

w

z

y

x

w

z

y

x

w

z

y

x

.

Zadanie 14. Dobra tak parametr

a

, aby poni szy układ równa miał rozwi zanie:

=

−

+

=

+

+

=

−

+

1

2

2

6

2

5

4

z

y

x

z

y

x

z

y

ax

.

Zadanie 15. Dla jakich

a

układ równa

=

+

−

=

+

−

=

+

−

0

8

7

9

2

3

4

5

3

az

y

x

z

ay

x

z

y

ax

a) ma dokładnie jedno rozwi zanie,

b) ma niesko czenie wiele rozwi za ,

c) nie ma rozwi za .

Zadanie 16. W zale no ci od parametru

k

rozwi za układy:

a)

=

−

+

=

+

+

=

−

+

0

3

0

0

3

z

ky

x

z

y

x

z

ky

x

, b)

=

+

=

−

=

+

0

3

1

2

y

x

y

x

k

y

x

, c)

=

+

+

=

+

+

=

+

+

2

1

k

kz

y

x

k

z

ky

x

z

y

kx

, d)

=

+

=

+

−

=

−

1

2

2

8

1

2

y

x

k

ky

x

y

kx

, e)

=

+

−

=

+

−

=

+

−

k

z

y

x

z

ky

x

z

y

kx

2

2

3

3

1

1

.

MACIERZE I UKŁADY RÓWNA

Zadanie 17. Rozwi za układ równa

=

−

=

−

+

=

+

+

2

3

0

3

2

0

4

bz

x

z

y

x

z

y

ax

w zale no ci od warto ci parametrów

R

b

,

a

∈

.

Zadanie 18. Znale warto ci i wektory własne macierzy:

−

=

2

0

4

0

2

0

0

0

1

A

,

−

−

−

−

=

0

2

1

1

1

3

2

2

3

B

,

=

2

0

0

1

1

0

2

1

1

C

,

−

−

−

=

2

0

1

4

1

0

2

0

1

D

,

−

−

=

1

0

1

1

1

3

0

1

4

E

.