10. STABILNOŚĆ LOKALNA SEE

Stany nieustalone w systemie, z punktu widzenia sterowania, można podzielić na:

• stany nieustalone elektromagnetyczne,

• stany nieustalone elektromechaniczne

• stany lawiny /kolapsu/ napięć.

Wśród stanów nieustalonych elektromagnetycznych wyróżniamy:

• przepięcia atmosferyczne opisane równaniami różniczkowymi cząstkowymi całkowanymi numerycznie z krokiem dt
  0,1 μs w przedziale ΔT
  1 ms,

• przepięcia wewnętrzne łączeniowe opisane równaniami różniczkowymi zwyczajnymi i niekiedy cząstkowymi całkowanymi numerycznie z krokiem dt
  10 μs w przedziale ΔT
  10 ms,

• przepięcia wewnętrzne ferrorezonansowe opisane równaniami różniczkowymi nieliniowymi całkowanymi numerycznie z krokiem dt
  20 μs w przedziale ΔT
  5 s,

• stany zwarciowe o czasie przebiegu od milisekund do dziesiątych części sekundy.

Najszybsze stany nieustalone elektromagnetyczne mają charakter falowy. W celu rozwiązania odpowiednich równań różniczkowych modelujących stany nieustalone elektromagnetyczne korzysta się z szybkich komputerów.

W latach 60. i 70. opracowano algorytmy i podprogramy komputerowe znane pod wspólną nazwą EMTP (Electromagnetic Transients Program), traktowane obecnie jako standard w badaniach stanów nieustalonych elektromagnetycznych.

Obecnie atrakcyjnym narzędziem badania stanów nieustalonych jest pakiet EMTDC/PSCAD opracowany w Manitoba Research Centre oraz pakiet Power System Blockset dostępny w Matlabie.

Powstają również analizatory cyfrowe systemu elektroenergetycznego pozwalające symulować stany nieustalone elektromagnetyczne w czasie rzeczywistym. Jest to szczególnie cenne przy badaniu urządzeń automatyki elektroenergetycznej.

Stany elektromechaniczne opisane są równaniami różniczkowymi nieliniowymi całkowanymi numerycznie z krokiem dt
50 μs w przedziale ΔT
20 s. Obejmują kołysania wywołane zaburzeniami bilansu mocy czynnej, oddziaływanie regulatorów napięcia i częstotliwości, oscylacje międzysystemowe, itp.

Stany lawiny napięć (kolaps napięciowy) są wymuszone jednocześnie przez generatory synchroniczne oraz odbiory i sieć. Są to stany elektromechaniczne długookresowe opisane równaniami różniczkowymi zwyczajnymi nieliniowymi całkowanymi numerycznie z krokiem dt
0,5s w przedziale ΔT
5 min. Obejmują dynamikę odbiorów i regulatorów przekładni transformatorów.

Z punktu widzenia analizy i sterowania systemu stany elektromechaniczne są traktowane jako wielowymiarowe zadania numeryczne zawierające bardzo duże układy nieliniowych równań różniczkowych i algebraicznych.

Z tego względu dokonuje się w trakcie ich rozwiązywania daleko idących uproszczeń redukując analizowany system elektroenergetyczny do mniejszych rozmiarów.

Ogólnie stany elektromechaniczne są opisane następującym układem równań różniczkowo - algebraicznych

gdzie:

- wektor pochodnych zmiennych stanu względem czasu t,

x - wektor zmiennych stanu,

y - wektor odpowiedzi systemu,

u - wektor sterowań,

t - czas.

Równania różniczkowo - algebraiczne ujmują w sobie modele matematyczne poszczególnych elementów składowych systemu: generatorów, układów regulacji napięcia i częstotliwości, linii i transformatorów, odbiorów, itd.

Analizując stany nieustalone elektromechaniczne systemu przyjmuje się najczęściej, że analizowany układ jest swobodny, tzn. działa bez sterowań u = 0. Sterowanie uwzględnia się natomiast na etapie optymalizacji układów regulacji.

Stany nieustalone są poprzedzone stanami ustalonymi. Stan ustalony systemu jest w tym przypadku tożsamy z rozwiązaniem układu równań dla warunku, kiedy zmienne stanu nie ulegają zmianie w czasie, tzn.
= 0 . Zwykle jest to wyznaczony iteracyjnie rozpływ mocy.

W punkcie wyznaczonym przez rozpływ mocy linearyzuje się układ równań różniczkowo - algebraicznych do liniowego układu równań różniczkowych

Badanie stabilności lokalnej polega na wyznaczaniu wartości własnych macierzy A i sprawdzaniu, czy wszystkie wartości własne mają części rzeczywiste ujemne.

10.1. Równania ruchu wirnika generatora synchronicznego

Kąt obrotu w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem drogi w ruchu prostoliniowym. Jednemu pełnemu obrotowi odpowiada droga 2π radianów geometrycznych lub 360o geometrycznych.

Na obwodzie wirnika, odpowiadającym 2π radianów geometrycznych, może być rozmieszczone p - par biegunów, zatem między kątem geometrycznym i kątem elektrycznym zachodzi związek

[radianów elektrycznych] =
[radianów geometrycznych]⋅p

Kąt wirnika
w radianach elektrycznych zmienia się ciągle z czasem, dlatego wygodnie jest go mierzyć w odniesieniu do osi wirującej z prędkością znamionową

ω_N = 2πf_N

gdzie

f_N - znamionowa częstotliwość SEE, w Europie f_N = 50 Hz, w USA i Kanadzie f_N = 60 Hz .

Prędkość kątowa znamionowa odpowiadająca znamionowej częstotliwości SEE zwana jest również prędkością synchroniczną

ω_s = ω_N

W przypadku wirnika z liczbą biegunów p podaje się również znamionową prędkość kątową wirnika wyrażona w radianach geometrycznych na sekundę

ω_N = ω_rN p

Kąt wirnika w radianach elektrycznych między osią q i osią A wirującą z prędkością synchroniczną można w każdej chwili wyznaczyć z zależności

gdzie:

θ - kąt wirnika w radianach elektrycznych,

δ - kąt wirnika w radianach elektrycznych, odniesiony do osi wirującej z prędkością kątową synchroniczną,

ω_s = 2πf_N - prędkość kątowa synchroniczna, odpowiadająca znamionowej częstotliwości prądu w systemie f_N .

Na rys. 10.1 pokazano dwa układy, w których rozpatrywane jest stan nieustalony elektromechaniczny generatora synchronicznego: układ q,d danego generatora synchronicznego oraz układ ABC wirujący z prędkością synchroniczną całego SEE.

Rys. 10.1. Schemat ideowy generatora synchronicznego. Oznaczenia: f - uzwojenie wirnika, Q - obwód tłumiący w osi q, D - obwód tłumiący w osi d.

Kąt wirnika w radianach geometrycznych można w każdej chwili wyznaczyć z zależności

gdzie:

θ_r - kąt wirnika w radianach geometrycznych,

δ_r - kąt wirnika w radianach geometrycznych odniesiony do prędkości znamionowej wirnika,

ω_rN - znamionowa prędkość kątowa wirnika.

Jeden obrót przy jednej parze biegunów w czasie pełnego okresu napięcia sinusoidalnego T jest równoważny w mierze łukowej katowi 2π

ω T = 2 π

lub

ω = 2 π f

gdzie

f = 1/T - częstotliwość.

W przypadku kilku par biegunów p między prędkością kątową wirnika i częstością napięcia sinusoidalnego istnieje następująca zależność

ω_r p T = 2 π

lub

Częstotliwość wynikająca z obrotów wirnika wynosi dla danego generatora

gdzie

p - liczba par biegunów,

n - liczba obrotów wirnika na minutę.

Częstotliwość znamionowa SEE wynika ze znamionowej prędkości kątowej wirnika lub ze znamionowej liczby obrotów wirnika generatora

gdzie

n_N - znamionowa liczba obrotów wirnika na minutę danego generatora.

Między prędkością kątową wirnika i obrotami maszyny synchronicznej istnieje zależność

Znamionowej liczbie obrotów wirnika n_N odpowiada znamionowa prędkość kątowa wirnika

W większości systemów elektroenergetycznych znamionowa częstotliwość wynosi - podobnie jak w Polsce - f_N = 50 Hz. W przypadku generatora o jednej parze biegunów p=1 wirnik ma prędkość 3000 obrotów na minutę. Dla p=2 liczba obrotów jest 2 razy mniejsza i wynosi 1500 obrotów na minutę, itd.

W niektórych systemach częstotliwość jest większa lub mniejsza, np. w USA f_N = 60 Hz, co oznacza inną liczbę obrotów na minutę generatorów synchronicznych.

Obliczając pochodną kąta wirnika w radianach geometrycznych względem czasu w s otrzymuje się wzór na prędkość kątową wirnika generatora synchronicznego względem osi wirującej z prędkością kątową znamionową

Po obustronnym pomnożeniu przez liczbę par biegunów otrzymujemy

lub dla kąta wirnika w radianach elektrycznych

A zatem prędkość kątowa w radianach elektrycznych danego generatora jest sumą prędkości kątowej osi synchronicznej SEE i odpowiedniego przyrostu prędkości kątowej wirnika tego generatora względem osi wirującej z prędkością synchroniczną

Wobec tego przyspieszenie wirnika w radianach elektrycznych na s² jest drugą pochodną kąta po czasie i wynosi

Równanie ruchu wirnika w jednostkach mianowanych

Z drugiej zasady dynamiki wynika, że przyspieszenie ruchu obrotowego wirnika opisane być może następującym równaniem

gdzie:

J - moment bezwładności wirnika napędzanego przez turbinę,

M_T - moment napędowy turbiny,

M_e - moment hamujący generatora,

M_D - moment tłumiący,

ω_r - prędkość kątowa wirnika generatora synchronicznego.

Energia kinetyczna wirnika generatora kręcącego się ze znamionową prędkością wynosi

Moment bezwładności J zmienia się w bardzo dużych granicach, zależnie od wielkości turbiny i generatora, dlatego przyjęło się posługiwać w badaniach stanów nieustalonych stałą czasową mechaniczną T_m lub stałą bezwładności H.

Stała bezwładności H jest równa energii kinetycznej turbozespołu wirującego z prędkością synchroniczną, podzielonej przez moc pozorną znamionową generatora

gdzie

S_N - pozorna moc znamionowa generatora w MV⋅A,

ω_rN - znamionowa prędkość kątowa wirnika.

J - moment bezwładności turbozespołu.

Obok stałej bezwładności wirnika H w praktycznych obliczeniach występuje również stała czasowa mechaniczna T_m . Jest to czas wybiegu, zdefiniowany jako czas potrzebny do uzyskania prędkości synchronicznej ze stanu spoczynku, pod wpływem znamionowego stałego momentu napędowego. Stała mechaniczna jest dwukrotnie większa od stałej bezwładności

T_m = 2H.

Jeżeli znana jest stała bezwładności lub stała czasowa mechaniczna, to moment bezwładności turbozespołu może być obliczony ze wzoru,

Po podstawieniu wyrażenia na moment bezwładności równanie ruchu wirnika przyjmuje postać

Iloczyn momentu i aktualnej prędkości kątowej daje moc

ωM = P

czyli moment jest ilorazem mocy i prędkości kątowej

M = P/ω

Po podstawieniu do równania ruchu wirnika zależności między mocą i momentem otrzymujemy

gdzie

P_T = ω_r M_T - moc mechaniczna dostarczana przez turbinę,

P_e = ω_r M_e - moc elektryczna wysłana do SEE.

Pomnóżmy obustronnie równanie ruchu przez znamionową prędkość kątową wirnika

Zauważmy, że w stanach przejściowych prędkość kątowa wirnika ulega zmianom. Jednak praktycznie aktualna prędkość wirnika różni się niewiele od wartości znamionowej i w przybliżeniu

W konsekwencji równanie ruchu wirnika przyjmuje postać stosowaną w praktyce analiz systemowych

Po uwzględnieniu zależności między znamionową prędkością kątową wirnika i prędkością synchroniczną

otrzymujemy kolejno

Moment tłumiący jest proporcjonalny do współczynnika tłumienia D oraz przyrostu prędkości wirnika względem prędkości synchronicznej ω_s w taki sposób, że

Wartość współczynnika tłumienia D zależy od konstrukcji generatora, od obciążenia generatora i jego prędkości wirowania.

Ostatecznie równanie ruchu wirnika generatora synchronicznego przyjmuje następującą postać w jednostkach mianowanych

gdzie:

T_m - stała czasowa mechaniczna w s,

S_N - moc znamionowa generatora w MV⋅A,

ω_s - prędkość kątowa synchroniczna, czyli pulsacja znamionowa napięcia w rad/s,

- przyrost prędkości kątowej wirnika w radianach elektrycznych na sekundę w stosunku do prędkości synchronicznej ω_s,

δ - kąt wirnika w radianach elektrycznych w stosunku do osi wirującej z prędkością synchroniczną ω_s ,

D - dodatni współczynnik tłumienia generatora w MW s/rad,

P_T - moc mechaniczna turbiny na wale generatora w MW,

P_e - moc elektryczna w MW, wynikająca z rozpływu mocy w sieci zgodnie z prawem Ohma i prawami Kirchhoffa.

Często używa się w badaniach stanów nieustalonych elektromechanicznych zamiast stałej czasowej mechanicznej T_m współczynnika bezwładności M wyliczanego z następującego wzoru

Wówczas równanie ruchu wirnika w jednostkach mianowanych otrzymuje postać

Jest to najczęściej używana postać równania ruchu wirnika w badaniach stanów nieustalonych elektromechanicznych.

Przykład 10.1

Obliczyć stałą bezwładności i stała czasową mechaniczną zespołu: turbina wodna - generator.

Turbina

Moc znamionowa turbiny P_T= 4.7 MW

Obroty znamionowe turbiny n_T = 125 obr/min

Moment bezwładności turbiny J_T=3800 kgm²

Generator

Moc znamionowa S_N=6 MVA,

Obroty znamionowe n_G=600 obr/min

Moment bezwładności generatora J_G= 4100 kgm².

Rozwiązanie

Między prędkością kątową i obrotami wirnika istnieje zależność

Znamionowa prędkość kątowa turbiny wynosi

Znamionowa prędkość kątowa wirnika generatora wynosi

Stosunek prędkości kątowych turbiny wodnej i wirnika generatora jest równy stosunkowi obrotów

Do wyznaczenia stałej bezwładności turbozespołu potrzebna jest znajomość zastępczego momentu bezwładności turbiny i generatora J_Z odniesiona do znamionowej prędkości kątowej wirnika generatora

Zastępczy moment bezwładności oblicza się go zgodnie z zasadą, że energia kinetyczna dla zastępczego momentu bezwładności równa się sumie energii kinetycznych składowych części układu, co wyraża się równaniem

Po przekształceniu otrzymuje się wzór na zastępczy moment bezwładności turbozespołu

Po podstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy zastępczy moment bezwładności zespołu odniesiony do znamionowych obrotów wirnika generatora

Stała inercji zespołu wynika ze wzoru

Mechaniczna stała czasowa zespołu jest 2 razy większa od stałej czasowej bezwładności

T_m = 2⋅H = 2⋅1.4 = 2,8 s.

Przykład 10.2

Dany jest turbogenerator o mocy znamionowej S_N =100 MVA, napięciu znamionowym U_N = 11 kV, stałej bezwładności H = 8 s, częstotliwości znamionowej f_N = 50 Hz.

Obliczyć przyśpieszenie wirnika zaniedbując straty mechaniczne i elektryczne w układzie, jeżeli moc mechaniczna wzrosła do wartości P_T = 80 MW, przy mocy elektrycznej oddawanej do systemu P_e = 50 MW.

Rozwiązanie

Stała czasowa mechaniczna: T_m = 2H = 16 s

Pulsacja znamionowa prądu: ω_s= 2πf_N = 314 rad/s

Współczynnik bezwładności: M = T_mS_N/ω_s =16⋅100/314 = 5,093 s²MW/rad

Przyrost mocy na wale: ΔP = P_T - Pe = 80 - 50 = 30 MW

Równanie ruchu:

Przyspieszenie wirnika:

Przyjmijmy, że wyliczone przyspieszenie utrzymuje się przez 10 okresów, czyli

t = 10T =10/f_N = 10/50 = 0,2 s

Oznacza to, że kąt wirnika liczony w radianach elektrycznych zwiększy się w tym czasie zgodnie ze wzorem na drogę kątową w ruchu obrotowym jednostajnie przyspieszonym

Równanie ruchu wirnika w jednostkach względnych

Obliczenia często prowadzi się w jednostkach względnych (pu - per unit) odniesionych do mocy znamionowej generatora i prędkości synchronicznej. W tym celu równanie ruchu

dzieli się obustronnie przez moc znamionową generatora S_N

lub

gdzie:

D_pu = Dω_s/S_N - współczynnik tłumienia w jednostkach względnych,

P_{T pu} = P_T/S_N - moc mechaniczna w jednostkach względnych,

P_{e pu} = P_e/S_N - moc elektryczna w jednostkach względnych,

Δω_pu = Δω/ω_s - przyrost prędkości synchronicznej w jednostkach względnych.

Wartość współczynnika tłumienia D_pu zależy od konstrukcji generatora, jego obciążenia i prędkości. W jednostkach względnych wynosi od kilku do kilkuset.

Wartości mocy mechanicznej P_{T pu} oraz elektrycznej P_{e pu} podawane w jednostkach względnych wahają się w pobliżu jedynki.

Wartość przyrostu prędkości kątowej Δω_pu w jednostkach względnych waha się około zera.

W przypadku analizy nieustalonych stanów elektromechanicznych wielu generatorów jednocześnie zmiennymi stanu w równaniach ruchu wirników poszczególnych generatorów są kąty wirników oraz przyrosty prędkości kątowej wirników. Przy przechodzeniu z jednostek mianowanych na jednostki względne wybiera moc bazową jednakową dla wszystkich generatorów

S_b = 100 MVA

Za napięcie bazowe przyjmowane jest napięcie znamionowe sieci w i-tym węźle przyłączenia generatora

U_b = U_Nsi

Oznacza to, że jednostki względne są takie same jak przy obliczaniu rozpływów mocy.

Aby otrzymać równanie ruchu w jednostkach mianowanych równanie ruchu w jednostkach mianowanych dla i-tego generatora

dzielone jest przez moc bazową S_b . W wyniku otrzymujemy kolejno

gdzie

- współczynnik bezwładności i-tego generatora w pu,

- współczynnik tłumienia i-tego generatora w pu,

- prędkość kątowa i-tego generatora w pu.

Następnie nieliniowe równanie ruchu wirnika i-tego generatora w jednostkach względnych przedstawiane w postaci 2 liniowych równań różniczkowych:

• równanie różniczkowe prędkości kątowej w radianach elektrycznych na sekundę

• równanie różniczkowe przyśpieszenia ruchu obrotowego wirnika w jednostkach względnych

Moc elektryczna w jednostkach względnych wynika z rozwiązania równań węzłowych mocy i jest nieliniową funkcją napięć węzłowych w jednostkach względnych oraz admitancji sieci w jednostkach względnych.

W przypadku pojedynczego generatora za moc bazową przyjmuje się moc znamionową generatora

S_b = S _N

W rezultacie stała bezwładności w jednostkach względnych równa jest stałej czasowej mechanicznej

M_pu = T_m

Równanie ruchu przyjmuje postać

Równanie ruchu dla pojedynczego generatora jest przedstawiane jako równanie różniczkowe 2-iego stopnia. W tym celu wykorzystuje się podstawienie na przyspieszenie ruchu wirnika

W rezultacie równanie ruchu wirnika przyjmuje następującą postać

Należy zauważyć, że w ostatnim równaniu:

• kąt wirnika δ podawany jest w radianach elektrycznych,

• pierwsza pochodna dδ/dt - w radianach elektrycznych na sekundę,

• druga pochodna d²δ/dt² - w radianach elektrycznych na sekundę do kwadratu,

• stała mechaniczna T_m - w sekundach.

Przykład 10.3

Rozwiązać zadanie z poprzedniego przykładu stosując jednostki względne w odniesieniu do mocy znamionowej S_N=100 MV⋅A.

Rozwiązanie

Stała czasowa mechaniczna: T_m=16 s

Pulsacja znamionowa prądu: ω_s = 2πf = 314 rad/s

Przyrost mocy na wale: ΔP_pu = P_{T pu} - P_{e pu} = 80/100 - 50/100 = 0,3

Równanie ruchu:
1/s

Przyspieszenie wirnika:
1/s

Aby obliczyć bezwzględne przyspieszenie wirnika należy przyśpieszenie w jednostkach względnych pomnożyć przez prędkośc synchroniczną, czyli

rad/s²

10.2. Nietłumione małe kołysania wirników

Zmiany kąta wirnika przy prędkości kątowej niewiele różniącej się od synchronicznej nazywa się małymi kołysaniami wirnika. Mogą one pojawiać się i zanikać, albo też rosnąć, aż do wywołania podziału współpracujących ze sobą systemów na izolowane części.

Rys. 10.2. Układ przesyłowy: generator - system; a) schemat ideowy, b) schemat zastępczy z odbiorem zamodelowanym jako admitancja poprzeczna.

Częstotliwość małych kołysań waha się od 1 do kilku Hz.

Zwykle bada się małe kołysania zastępując jeden z podsystemów generatorem, a pozostałe podsystemy traktuje się jako system sztywny, tzn. o nieskończonej generacji mocy czynnej i stałym napięciu na szynach.

Stabilność lokalną takiego układu zastępczego bada się posługując się kryteriami badania stabilności ciągłych układów liniowych lub wprost metodą wartości własnych. W ogólności stabilność lokalna systemu elektroenergetycznego wynika z rozwiązania liniowego układu równań różniczkowych

gdzie x - wektor zmiennych stanu.

Rozwiązanie dane jest wzorem

gdzie

w_ij - element macierzy W, której kolumnami są wektory własne macierzy stanu A,

λ_j - wartość własna macierzy A,

z_j0 - wartość początkowa modu z_j.

Rys. 10.3. Zależność kołysań wirnika generatora od współczynnika tłumienia.

Wartość własna jest liczbą zespoloną

gdzie

- pulsacja kołysań swobodnych,

- współczynnik tłumienia kołysań.

Jeżeli współczynnik tłumienia ma wartość zerową, to mamy do czynienia ze swobodnymi kołysaniami wirnika generatora.

Równanie ruchu wirnika dla pojedynczego generatora współpracującego ze sztyynym systemem ma postać

W przypadku kołysań nietłumionych D = 0, równanie ruchu w jednostkach względnych przyjmuje postać

W uproszczonych rozważaniach przyjmuje się, że regulator prędkości turbiny jest zbyt powolny, aby nastąpiła zmiana mocy mechanicznej. Wobec tego mamy

ΔP_Tpu = 0

Generator synchroniczny wyposażony w proporcjonalny układ regulacji napięcia może być modelowany w stanach nieustalonych elektromechanicznych jako sem przejściowa w osi q E'_q przyłączona za reaktancją przejściową X'_d .

Moc elektryczna generatora w stanie przejściowym zależy od sem przejściowej generatora E'_q i od kąta wirnika δ

gdzie

Pomijając wpływ zjawisk elektromagnetycznych na kołysania możemy przyjąć

E'_q = const.

Rozwijając wyrażenie na moc elektryczną generatora, w otoczeniu ustalonego punktu pracy /punkt ustalony odpowiada chwili t = 0/, otrzymujemy

W rezultacie wzór na przyrost mocy elektrycznej generatora

ΔP_epu = P_epu - f_P(E'_q0 , δ₀ )

przyjmuje następującą postać

gdzie:

P_δ = K₁ - moc synchronizująca.

Moc synchronizująca odgrywa bardzo ważną rolę w ocenie stanu pracy prostego systemu: generator - system sztywny.

Równanie ruchu

po podstawieniu zależności na przyrosty mocy

przyjmuje postać

gdzie:

- pulsacja nietłumionych kołysań wirnika.

Przyjmując za zmienne stanu

otrzymujemy 2 równania różniczkowe

lub w zapisie macierzowym

Jest to równanie stanu

gdzie

x =
- wektor zmiennych stanu,

A =
- macierz stanu, zwana również macierzą systemową

Stabilność układu opisanego układem liniowych równań różniczkowych związana jest z wartościami własnymi macierzy stanu. Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego macierzy

Po podstawieniu elementów macierzy i obliczeniu wyznacznika otrzymujemy

W tym przypadku równanie charakterystyczne przyjmuje postać

Zatem macierz stanu ma dwie urojone wartości własnych

λ₁ = j
_m λ₂ = -j
_m

Rozwiązanie równania stanu ma następującą ogólną postać

Zmienna
_m oznacza pulsację nietłumionych kołysań.

W praktyce wartość mocy synchronizującej zawiera się w przedziale

K₁ = (0.5÷1)

Stałe czasowe mechaniczne wynoszą około

T_m = (5÷10) s,

Podstawiając typowe wartości mocy synchronizującej i stałej czasowej mechanicznej do wzoru na pulsację kołysań własnych

otrzymujemy pulsację małych nietłumionych kołysań wirników w SEE

= 5.6 rad/s

Pulsacja ta odpowiada następującej częstotliwości małych kołysań

= 0.9 Hz.

Rys. 10.4. Nietłumione małe kołysania wirnika

Przykład 10.4

Obliczyć częstotliwość nietłumionych kołysań wirnika generatora o stałej czasowej mechanicznej T_m = 6.45 s i mocy synchronizującej K₁ = 0.483.

Rozwiązanie

= 0.8 Hz

λ₁ = j
_m = j4.85

λ₂ = -j
_m = -j4.85

Załóżmy, że w chwili t=0 małe wymuszenie kąta wirnika wynosi

= 0.1 st

Oznacza to, że przebieg czasowy kołysania wirnika ma następującą postać

Przebieg kołysań wirnika pokazano na rys. 10.3.

Kryterium stabilności lokalnej

Zwróćmy uwagę, że warunkiem tłumienia kołysań jest przede wszystkim dodatnia wartość mocy synchronizującej

W przypadku ujemnej mocy synchronizującej K₁ < 0 możemy pod pierwiastek wprowadzić wartość dodatnią j²K₁ , czyli

Równanie charakterystyczne przyjmuje teraz następującą postać

Oznacza to istnienie następujących wartości własnych:λ₁ =
_m oraz λ₂ = -
_m .

Obie wartości własne są liczbami rzeczywistymi; jedna jest dodatnia, a druga ujemna. Rzeczywistym wartościom własnym odpowiada czasowy przebieg kąta wirnika generatora w postaci funkcji hiperbolicznej

W rezultacie ujemna moc synchronizująca oznacza zwiększanie się amplitudy kołysań wraz ze wzrostem czasu t, co prowadzi do utraty synchronizmu i wyłączenia generatora przez odpowiednie zabezpieczenia, rys. 10.4.

Małe kołysania wirnika mogą być zlikwidowane przez dodanie do układu regulacji napięcia stabilizatora systemowego, doprowadzającego do regulatora wzbudzenia dodatkowy sygnał pochodzący od zmian prędkości kątowej wirnika generatora. Oznacza to, że małe kołysania mogą być tłumione, jeśli do układu regulacji wzbudzenia wprowadzi się sprzężenie zwrotne względem przyrostu prędkości kątowej wirnika Δω.

Rys. 10.5. Przebieg nietłumionych kołysań wirnika przy ujemnej mocy synchronizującej

Zapas stabilności lokalnej

W przypadku pojedynczego generatora o stałej sem przejściowej i sztywnym napięciu systemu zewnętrznego moc elektryczna generatora wynika z następującego równania mocy

gdzie

E'_q - sem przejściowa generatora odniesiona do napięcia znamionowego generatora,

U_s - napięcie systemu zewnętrznego odniesione do napięcia znamionowego generatora,

X - reaktancja gałęzi podłużnej łączącej zaciski generatora z systemem zewnętrznym przeliczona na napięcie znamionowe generatora.

Moc synchronizująca wyraża się w tym przypadku wzorem

Podstawowym wnioskiem z dotychczasowej analizy jest, że warunek dodatniej mocy synchronizującej jest spełniony w przedziale kątów wirnika

0 <
<
/2

Punkt
_gr =
/2 stanowi granice stabilności. W danym punkcie pracy odległość od granicy stabilności jest zwykle określana za pomocą współczynnika zapasu stabilności lokalnej

gdzie:

- moc graniczna stabilności lokalnej w stanie przejściowym.

Równanie mocy generatora można zilustrować na wykresie w postaci charakterystyki kątowej mocy. Jest to przeskalowana sinusoida.

Rys. 10.6. Kątowa charakterystyka mocy generatora połączonego ze sztywnym SEE. Moc generatora została odniesiona do mocy granicznej.

W praktyce rozpatrywany jest często przypadek krytyczny, w którym napięcie generatora nie jest regulowane automatycznie, ale ręcznie.

W takim przypadku generator powinien być zamodelowany jako źródło napięcia o stałej sem E_q za reaktancją synchroniczną X_d , czyli

gdzie:

E_q - siła elektromotoryczna generatora w stanie ustalonym,

U_S - sztywne napięcie SEE,

X - wypadkowa reaktancja gałęzi łączącej zaciski generatora z systemem,

X_d - reaktancja synchroniczna generatora.

Z ostatniego wzoru jasno wynika, że przy regulacji ręcznej zamiast automatycznej moc maksymalna, którą może oddawać generator do SEE bez utraty stabilności lokalnej gwałtownie się zmniejsza, gdyż reaktancja synchroniczna jest zwykle 10 razy większa od reaktancji przejściowej.

W praktyce wymaga się, aby współczynnik zapasu stabilności lokalnej generatora przy ręcznej regulacji napięcia był wyższy od 20 %.

Stabilność lokalna badana za pomocą kryterium mocy synchronizującej często jest nazywana równowagą statyczną.

Przykład 10.5

Obliczyć zapas równowagi statycznej w układzie generator - system w przypadku ręcznej oraz automatycznej regulacji napięcia. Dane układu w jednostkach względnych należy odnieść do mocy znamionowej generatora S_NG = 100 MVA i napięcia znamionowego generatora U_NG = 10 kV. Reaktancja 4 torowej linii wynosi X_L = 0.1 Ω. Reaktancja synchroniczna generatora wynosi X_d = 2, a przejściowa - X^'_d = 0.25.

Rys. 10.7. Schemat zastępczy układu przesyłowego generator - system.

Dane

S_b = 100 MVA, U_b = U_NG = 10 kV,
- wielkości bazowe

U_S = 10/U_b = 10/10 = 1 - napięcie systemu zewnętrznego SEE,

X_L = 0.1/Z_b = 0.1/1 = 0.1 - reaktancja podłużna gałęzi łączącej generator z SEE,

S = P + jQ = (50+j10)/S_b = (50+j10)/100 = 0.5 + j0.1 - moc dopływająca do systemu,

X_d = 2 - reaktancja synchroniczna generatora,

X'_d = 0.25 - reaktancja przejściowa generatora.

Rozwiązanie

I. Rozwiązanie w przypadku ręcznej regulacji napięcia

X = X_L + X_d = 0.1 + 2 = 2.1 - reaktancja połączenia

- moc graniczna przy ręcznej regulacji napięcia,

- zapas stabilności lokalnej przy ręcznej regulacji napięcia.

II. Rozwiązanie w przypadku automatycznej regulacji napięcia

X = X_L + X^'_d = 0.1 + 0.25 = 0.35 - reaktancja połączenia

- moc graniczna przy automatycznej regulacji napięcia,

- zapas stabilności lokalnej przy automatycznej regulacji napięcia.

Wniosek

Zastosowanie automatycznej regulacji napięcia zwiększa zapas stabilności lokalnej generatora współpracującego z systemem elektroenergetycznym.

21

Wykład 10 - Stabilność lokalna systemów elektroenergetycznych

---