11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
1
11
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
11.1. Zadanie Boussinesq'a
Zadanie to ma zastosowanie przy analizie rozkładu naprężeń w gruncie poniżej fundamentu.
Rys.11.1. Półprzestrzeń sprężysta obciążona siłą skupioną
Zakładamy występowanie osiowej symetrii naprężeń (od siły osiowej):
r
,
,
z
,
rz
=
zr
,
r
=
r
=
z
=
z
=0
(11.1)
Równania teorii sprężystości w przypadku osiowej symetrii mają postać:
a) Równania równowagi (dla wyciętego elementu}:
∂
r
∂ r
∂
zr
∂ z
1
r
r
−
=0
(11.2)
∂
z
∂ z
∂
rz
∂ r
1
r
rz
=0
(11.3)
b) Równania geometryczne:
r
= ∂
u
∂ r
(11.4)
z
= ∂
w
∂ z
(11.5)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
P
y
x
σ
r
t
rz
σ
z
σ
F
t
zr
R
F
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
2
=
u
r
(11.6)
zr
=
rz
= ∂
w
∂ r
∂
u
∂ z
(11.7)
c) Równania fizyczne:
r
=
1
E
[
r
−
z
]
(11.8)
=
1
E
[
−
z
r
]
(11.9)
z
=
1
E
[
z
−
r
]
(11.10)
zr
=
rz
=
1
G
rz
(11.11)
d) Równania fizyczne w zapisie odwrotnym:
r
=2G
r
1
−2
e
(11.12)
=2G
1
−2
e
(11.13)
z
=2G
z
1
−2
e
(11.14)
rz
=
zr
=G
rz
(11.15)
gdzie
e
=
r
z
(11.16)
Mamy zatem 10 równań i 10 niewiadomych (σ
r
, σ
z
, σ
F
, τ
rz
, τ
zr
, ε
r
, ε
F
, ε
z
, γ
rz
, u, w).
Zadanie rozwiązujemy w przemieszczeniach tzn. szukamy dwóch funkcji przemieszczeń
u=u(r,z) i w=w(r,z).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
3
Wykorzystując równania fizyczne i geometryczne w równaniach równowagi dochodzimy do dwóch
równań przemieszczeniowych
∂
2
u
∂ r
2
1
r
∂ u
∂ r
−
u
r
2
1
−2
2
1−
∂
2
u
∂ z
2
1
2
1−
∂
2
w
∂ r ∂ z
=0
(11.17)
∂
2
w
∂ z
2
1
−2
2
1−
∂
2
w
∂ r
2
1
r
∂ w
∂ r
1
2
1−
∂
2
u
∂ z ∂ r
1
r
∂ u
∂ z
=0
(11.18)
Rozwiązanie układu równań (11.17) i (11.18) podał Boussinesq'e w następującej postaci:
u
r , z=A
r
2
R
3
B
r
R
Rz
(11.19)
w
r , z=A
[
z
2
R
3
−4
1
R
]
B
1
R
,
gdzie
R
=
r
2
z
2
(11.20)
Podstawiając (11.19) i (11.20) do (11.12), (11.13), (11.14), (11.15) przy wykorzystaniu równań
geometrycznych otrzymuje się składowe stanu naprężenia następującej postaci
r
=2G
{
A
[
1−2
z
R
3
−
3 z r
2
R
3
]
B
R
2
Rz
2
z
2
−r
2
z
3
R
}
(11.21)
=2G
[
A
1
−2
z
R
3
B
1
R
Rz
]
(11.22)
z
=−2G
{
A
[
3 z
3
R
5
1
−2
z
R
3
]
B
z
R
3
}
(11.23)
rz
=
zr
=−2G
{
A
[
3 r z
3
R
5
1
−2
r
R
3
]
B
r
R
3
}
(11.24)
Stałe A i B wyznaczamy z warunków:
1) Na dowolnej płaszczyźnie z=const. wypadkowa z naprężeń σ
z
musi być równa sile P.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
4
Wycinamy elementarny pierścień:
Rys.11.2. Elementarny pierścień
z
dF
=2 r
z
dr
(11.25)
Dla całego przekroju poziomego:
2
∫
0
∞
z
rdr
=−P
(11.26)
Rys.11.3. Rozkład naprężeń σ
z
2) Na płaszczyźnie z=0 nie działają żadne siły za wyjątkiem punktu przyłożenia siły P (oznacza to, że
naprężenia na tej płaszczyxnie są równe zero).
z
=0
- tożsamość
rz
=
zr
=0
stąd
1−2 AB=0
(11.27)
Otrzymujemy:
A
=
P
4
G
B
=−1−2
P
4
G
(11.28)
Funkcje przemieszczeń u(r,z); w(r,z) przyjmą ostatecznie postać:
u
r , z=
P
4
G
[
r
2
R
3
−1−2
r
R
Rz
]
(11.29)
w
r , z=
P
4
G
[
2
1−
R
z
2
R
2
]
(11.30)
Natomiast funkcje składowych stanu naprężenia będą postaci:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
r
dr
σ
z
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
5
r
=
P
2
[
1−2
R
Rz
−
3 z r
2
R
5
]
(11.31)
=
P
2
1
−2
[
z
R
3
−
1
R
Rz
]
(11.32)
z
=−
3 P
2
z
3
R
5
(11.33)
rz
=
zr
=−
3 P
2
r z
2
R
5
(11.34)
Rozwiązania te obowiązują dla całej półprzestrzeni za wyjątkiem małego otoczenia punktu
przyłozenia siły. W punkcie tym rozwiązanie jest osobliwe. Naprężenia i przemieszczenia przyjmują
wartości nieskończenie duże.
Przemieszczenia punktów płaszczyzny ograniczającej półprzestrzeń z=0 będą postaci (korzystamy ze
wzorów (11.29) i (11.30)):
u
r ,0=
−1−2 1
2
Er
P
(11.35)
w
r ,0=
1
− P
Er
(11.36)
Stan naprężenia w punktach znajdujących się na osi (O,z) (r=0):
Rys.11.4. Zbiór punktów leżących na osi (O,z)
r
=
=
P
2
1
−2
2 z
(11.37)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
P
O
z
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
6
z
=−
P
2
3
z
2
(11.38)
rz
=
zr
=0
(11.39)
Wykażemy następującą osobliwość rozkładu naprężeń w półprzestrzeni sprężystej obciążonej siłą
skupioną. Całkowite naprężenie w dowolnym punkcie poziomej płaszczyzny, tzn. wypadkowa z naprężeń
σ
z
, τ
rz
wynosi:
p
=
z
2
rz
2
(11.40)
p
=
3 P
2
z
6
R
10
z
4
r
2
R
10
=
3 P
2
R
2
z
6
R
6
z
4
r
2
R
6
(11.41)
Rys.11.5. Wypadkowa p z naprężeń σ
z
, τ
rz
z
R
=cos
(11.42)
r
R
=sin
(11.43)
R
d
=cos
(11.44)
p
=
3 P
2
R
2
cos
6
cos
4
sin
2
(11.45)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
P
r
z
R
d
α
σ
z
t
rz
p
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
7
p
=
3 P cos
2
2
R
2
(11.46)
Naprężenie wypadkowe p skierowane jest do początku układu
∣
z
∣
p
=
3 P
2
z
3
R
5
3 P
2
z
2
R
2
R
2
=
z
R
=cos
(11.47)
Jeżeli wyobrazimy sobie kulę o dowolnej średnicy d styczna do płaszczyzny ograniczającej
półprzestrzeń w punkcie zero, to na wszystkich poziomych polach elementarnych na powierzchni tej kuli
całkowite naprężenia będą jednakowe i równe
p
=
3 P
2
R
2
cos
2
(11.48)
Mając rozwiązanie problemu półprzestrzeni obciążonej siłą skupioną możemy przez zastosowanie
zasady superpozycji wyznaczyć przemieszczenia i naprężenia od dowolnego obciążenia rozłożonego na
półprzestrzeni.
Przykładowo napiszemy wzór na ugięcia pionowe półrzestrzeni od dowolnego obciążeniapionowego
q(ξ,η)
w
z
=0
=
P
1−
2
Er
(11.49)
Rys.11.6.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
y
x
K
r
x
y
S – powierzchnia,
na którą działa
obciążenie q(ξ,η)
η
ξ
dη
dξ
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
8
Ugięcie w punkcie K wywołane obciążeniem elementarnym q(ξ,η)dξdη wynosi:
dw
x , y
z
=0
=
q
,d d 1−
2
Er
(11.50)
gdzie:
r
=
−x
2
− y
2
(11.51)
Przemieszczenie wywołane całym obciążeniem (w pkt.K)
w
x , y
=
1
−
2
E
∬
q
x.y
r
d
d
(11.52)
Rys.11.7.Ugięcie pod wpływem obciążenia kołowego
Przykładowo jeżeli obciążenie q jest rozłożone na polu koła o promieniu a i wypadkowa tego
obciążenia wynosi P, to po obliczeniu przemieszczeń pionowych półpłaszczyzny otrzymamy:
q
=
P
a
2
(11.53)
w
r
=0
=
2
1−
2
E
qa
=
2
1−
2
E a
P
(11.54)
w
r
=a
=
4
1−
2
E
qa
=
4
1−
2
P
2
E a
(11.55)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
a
q
w
r=a
w
r=0
a
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
9
w
r
=0
w
r
=a
=
2
=1,57
(11.56)
Naprężenia na osi OZ (r=0):
z
=q
[
−1
z
3
a
2
z
2
3
2
]
(11.57)
r
=
=
q
2
[
−12
2
1 z
a
2
z
2
−
z
a
2
z
2
3
]
(11.58)
W przypadku, gdy obciążenie przekazywane jest za pośrednictwem nieodkształcalnego kołowego
walca, to wszystkie punkty doznają jednakowych przemieszczeń.
Rozwiązanie ma postać:
Rys.11.8.Oddziaływanie walca na podłoże
q
r=
P
2
a
a
2
r
2
(11.59)
q
min
=
P
2
a
2
(11.60)
w
0
=
P
1−
2
2 Ea
(11.61)
stąd wniosek:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
w
0
q
śr
P
a
r
q
min
=
2
P
q
śr
=
πa
2
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
10
w
0
=
q
śr
a1−
2
2 E
(11.62)
Ugięcie stempla na sprężystym podłożu jest przy zachowaniu identycznego obciążenia średniego
proporcjonalne do jego średnicy.
Zadanie:
Wyznaczyć ugięcie powierzchni ograniczającej półprzestrzeń sprężystą w punktach A i B pod
wpływem obciążenia słupem wysokiego napięcia, którego rozstaw pionowych nóg wynosi a.
Rys.11.9. Rysunek pomocniczy do zadania
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
P
P
P
P
1
2
3
4
x
A
B
a
a/2
a/2
P
P
A,B
a/2
a/2
P
A
r = l =
P
B
P
a/2
a
2
2
a
2
5
11. PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ
11
W punkcie A:
w
A1
– przemieszczenie punktu A od obciążenia na jedną nogę:
w
A1
=
P
1−
2
2
Ea
(11.63)
uwzględniając, że
r
=l=
a
2
2
(11.64)
Całkowite przemieszczenie pkt. A wynosi:
w
A
=
4
2
1−
2
P
Ea
(11.65)
W punkcie B:
w
B
=2 w
B4
2 w
B1
(11.66)
w
B4
=
1−
2
P
Er
=
2
1−
2
P
Ea
, bo
r
=
a
2
(11.67)
w
B1
=
1−
2
P
Er
=
2
1−
2
P
E a
5
, bo
r
=
a
5
2
(11.68)
Całkowite ugięcie wynosi:
w
B
=
4
1−
2
5
1 P
E a
5
(11.69)
Dla porównania
w
B
w
A
=
1
5
10
=1,025
(11.70)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater