Fale w o rodkach spr ystych

Fale mechaniczne

- zaburzenie w o rodku spr ystym (np. fale

d wi kowe) -

wynik wychylenia elementu o rodka z poło enia

równowagi

→

przekazywane drga kolejnym elementom o rodka (sam

o rodek nie przesuwa si , a jedynie jego elementy wykonuj drgania w

ograniczonych obszarach przestrzeni).

Za pomoc fal -

przekazywanie energii

(kinetycznej i potencjalnej

cz steczek o rodka).

Przenoszenie energii - poprzez materi , dzi ki przemieszczaniu

si zaburzenia w materii, a nie dzi ki ruchowi post powemu

samej materii

.

Rozchodzenie si fal mechanicznych - w

o rodku

od

ródła fali.

Podział fal

ze wzgl du na:

-

kierunek drga

cz stek wzgl dem

kierunku rozchodzenia si fali

• poprzeczne (np. lina)

• podłu ne (np. spr yna, d wi k)

kierunek

drga

v

kierunek

drga

v

-

czoło fali

(powierzchnia ł cz ca punkty o jednakowych zaburzeniach

w danej chwili)

• płaskie (w jednym kierunku)

• kuliste

v

x

ródło fali

v

Ruch falowy

Dla wybranej

fazy

:

x

−

vt

= const.

Po zró niczkowaniu wzgl dem czasu :

czyli

pr dko fazowa

0

v

d

d

=

−

t

x

v

d

d =

t

x

Uwaga - dla danej chwili czasu t mamy równanie y=f(x),

a dla danego punktu x - równanie y=f(t).

Fala poprzeczna biegn ca wzdłu napr onej liny.

W chwili t = 0 kształt liny opisuje funkcja

y = f(x)

gdzie y – przemieszczenie cz steczek liny.

X

Y

Po czasie t fala przesuwa si o vt w prawo (v - pr dko fali). Zatem

po czasie t równanie fali:

y

= f(

x

−

vt

)

vt

Zało enie

: w chwili

t

= 0 kształt liny jest opisany funkcj harmoniczn :

gdzie

A

- maksymalne wychylenie.

Wychylenie jest takie samo w punktach

x

,

x +

λ

,

x +

2

λ

,

x

+ 3

λ

itd.

x

A

y

λ

π

2

sin

=

Wielko

λλλλ

- długo fali

(odległo mi dzy kolejnymi powtórzeniami

„kształtu” fali

→

ró nica fazy 2

π

).

Okres

T

- czas, w którym fala przebiega odległo równ

λλλλ

wi c:

λλλλ

=

vT

−

=

T

t

x

A

y

λ

π

2

sin

st d:

Taka sama faza - w punktach

x

,

x +

λ

,

x +

2

λ

,

x

+ 3

λ

...

w danym miejscu - faza powtarza si w chwilach

t

,

t

+

T

,

t

+2

T...

)

(

2

sin

t

x

A

y

v

−

=

λ

π

Je eli fala biegnie w prawo, to po czasie

t:

równanie fali biegn cej

λ

Y

X

Nowe wielko ci:

liczba falowa

k = 2

ππππ

/

λλλλ

i

cz sto

ω

ωω

ω

= 2

ππππ

/

T

Wówczas:

y = Asin(kx-

ω

ωω

ω

t)

lub

y = Asin(kx+

ω

ωω

ω

t)

fale biegn ce w prawo lub w lewo.

Pr dko fazowa:

k

T

v

=

=

Pr dko fali w napi tej linie

T

- siła napr enia liny rozci gaj ca odcinek

µµµµ

- liniowa g sto liny

µ

T

=

v

Pr dko fali w idealnie napi tej linie zale y jedynie od napr enia i g sto ci

liniowej liny, nie zale y od cz sto ci fali.

Symetryczny impuls w linie

T

T

v

O

R

Pr dko fali

v

- zale na od wła ciwo ci o rodka

Cz sto

fali

ω

ωω

ω

- ustalona całkowicie przez czynnik wytwarzaj cy fal .

Długo fali - okre lona przez zale no :

λλλλ

=

vT = v / f

gdzie

f

- cz stotliwo fali

r

p

r

k

dt

dE

dt

dE

=

Energia fali biegn cej w linie

Fala płaska:

)

sin(

)

,

(

t

kx

A

t

x

y

ω

−

=

gdzie

µµµµ

- g sto liniowa

rednia szybko

, z jak przenoszona jest energia kinetyczna:

2

2

v

4

1

)

(

A

dt

dE

r

k

ω

µ

=

Zale no

P

r

∼∼∼∼

A

2

ω

ω

ω

ω

2

- dla wszystkich rodzajów fal

czyli:

2

2

v

2

1

A

P

r

ω

µ

=

r

k

r

dt

dE

P

= 2

rednia moc

, czyli rednia szybko , z jak oba rodzaje energii

(kinetyczna i potencjalna) s przenoszone przez fal :

Zasada superpozycji fal

)

,

(

)

,

(

2

1

t

x

y

t

x

y

y

w

+

=

Przemieszczenie w wyniku nakładania si dwóch fal biegn cych wzdłu

napi tej liny:

Nakładaj ce si fale dodaj si algebraicznie

→

fala wypadkowa

Nakładaj ce si fale w aden sposób nie wpływaj na siebie wzajemnie.

Rozwa my dwie fale o równych cz stotliwo ciach i amplitudach, ale o

fazach ró ni cych si o

ϕ

:

y

1

= Asin(kx –

ω

ωω

ω

t –

ϕϕϕϕ

)

y

2

= Asin(kx –

ω

ωω

ω

t)

Interferencja fal

Fala wypadkowa z

zasady superpozycji

:

y

w

= y

1

+ y

2

= Asin(kx –

ω

ωω

ω

t –

ϕϕϕϕ

) + Asin(kx –

ω

ωω

ω

t)

)

(

2

1

cos

)

(

2

1

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

- fala sinusoidalna biegn ca w dodatnim kierunku osi x

y

w

(x,t) = 2Acos(

ϕ

/2)sin(kx –

ω

t –

ϕ

/2)

przemieszczenie

amplituda

czynnik oscylacyjny

Dla

ϕϕϕϕ

= 0

fale spotykaj si zgodnie w fazie

→

wzmocnienie -

interferencja całkowicie konstruktywna

y

w

(x,t) = 2Asin(kx –

ω

t)

Dla

ϕϕϕϕ

=

ππππ

(180

0

)

fale spotykaj si w fazie przeciwnej

→

wygaszenie

-

interferencja całkowicie destruktywna

y

w

(x,t) = 0

Interferencja

z 2 ródeł punktowych

Rozwa my dwie fale sinusoidalne biegn ce w przeciwnych

kierunkach -

fala padaj ca i odbita

:

A

1

= A

2

y

1

= Asin(kx –

ω

ωω

ω

t)

y

2

= Asin(kx +

ω

ωω

ω

t)

Fale stoj ce

Fala wypadkowa:

y = y

1

+ y

2

= 2Asinkxcos

ω

ωω

ω

t -

równanie fali stoj cej

Wła ciwo ci fali stoj cej:
- cz stki drgaj ruchem harmonicznym prostym

z t sam cz sto ci

- amplituda drga (2Asinkx)

zmienia si wraz z poło eniem cz stki

x

punkty o maksymalnej amplitudzie, dla których zachodzi |sinkx| = 1

k

x

=

π

/2, 3

π

/2, 5

π

/2, itd. czyli

x

=

λ

/4, 3

λ

/4, 5

λ

/4 itd.

nazywamy

strzałkami

2

)

2

1

(

λ

+

= n

x

gdzie n=0,1,2,...

punkty o amplitudzie zerowej, dla których zachodzi sinkx = 0

-

kx

=

π

, 2

π

, 3

π

itd. czyli

x

=

λ

/2,

λ

, 3

λ

/2 itd.

nazywamy

w złami

.

2

λ

n

x

=

gdzie n=0,1,2,...

- Fala stoj ca nie przenosi energii

(np. wzdłu liny) bo nie mo e ona

przepłyn przez w zły. Energia jest na stałe zmagazynowana w

poszczególnych elementach o rodka.

Układy drgaj ce

µ

λ

T

L

n

L

n

v

f

n

2

v

2

=

=

=

St d

cz stotliwo

rezonansów:

Zamocowana struna - fale poprzeczne

→

fala stoj ca o ró nej

długo ci, spełniaj cej warunek (rezonanse):

n

L

n

2

=

λ

L

λ

4

= L/2

λ

3

= 2L/3

λ

2

= L

λ

1

= 2L

L = n

λ/2

n = 0, 1, 2,...

f

v

vT

=

=

λ

Pr dko d wi ku - fala podłu na w gazie

Drgaj cy tłok

→

zmiana obj to ci gazu

→

rozchodzenie si fali

v

ρ

B

=

v

gdzie:

V

V

p

B

/

∆

∆

−

=

moduł ci liwo ci

obj to ciowej (B>0)

∆∆∆∆

V/V

- wzgl dna zmiana obj to ci

wywołana przez zmian ci nienia

∆∆∆∆

p

ρρρρ

- g

sto o rodka

Pr dko d wi ku w powietrzu - 331 m/s; w wodzie (20

0

C) - 1482 m/s

Nat enie i gło no d wi ku

Nat enie

I

fali d wi kowej na pewnej powierzchni - rednia szybko , na

jednostk powierzchni, z jak fala dostarcza energi do tej powierzchni (lub

przenosi przez ni energi ):

s

P

I

=

gdzie:

P

- szybko przenoszenia energii (moc)

fali d wi kowej

s

- pole powierzchni odbieraj cej d wi k

• Cała energia emitowana przez ródło

musi przej przez powierzchni sfery

o promieniu r

• Szybko przenoszenia energii przez

t sfer = szybko ci emisji energii

przez ródło (moc ródła P

r

)

2

4 r

P

I

r

π

=

Nat enie d wi ku na sferze:

punktowe

ródło fali

d wi kowej

r

Emisja d wi ku -

izotropowa

Skala gło no ci d wi ku

Amplituda przemieszczenia w ludzkim uchu - w zakresie od 10

-11

do 10

-5

m

0

log

)

10

(

I

I

dB

=

β

Gło no d wi ku:

Jednostka - 1 decybel (dB); 1 dB = 10 B

→

Alexander Graham Bell

I

0

- standardowe nat enie odniesienia

→

dolna granica słyszalno ci

ludzkiego ucha

2

12

0

/

10

cm

W

I

−

=

Dla I = I

0

β

= 10 log1=0 dB

Dla I = 10

4

I

0

β

= 10 log10

4

= 40 dB

Gło no wybranych d wi ków

(dB)
próg słyszalno ci

0

szum li ci

10

rozmowa

60

koncert rockowy

110

granica bólu

120

silnik odrzutowy

130

Dudnienia - modulacja amplitudy

Interferencja w czasie -

gdy przez dany punkt w przestrzeni

przebiegaj w tym samym kierunku fale o troch ró nych

cz stotliwo ciach. Wychylenie wypadkowe:

t

f

f

t

f

f

A

y

+

−

=

2

2

cos

2

2

cos

2

2

1

2

1

π

π

Cz stotliwo drga wypadkowych:

f

srednie

= (f

1

+ f

2

)/2

Cz stotliwo modulacji amplitudy drga wypadkowych:

f

amp

= (f

1

– f

2

)/2

y

y

t

t

Zjawisko Dopplera

Christian Doppler (

1842 r) - barwa wiec cego ciała (cz stotliwo )

zmienia si w trakcie ruchu wzgl dnego obserwatora lub ródła.
Zjawisko Dopplera wyst puje dla wszystkich fal.

Fale d wi kowe

Przypadek ruchu ródła i obserwatora wzdłu ł cz cej ich prostej.

=

+

=

t

t

t

f

o

λ

λ

v

v

'

ródło d wi ku spoczywa, a obserwator porusza si w kierunku

ródła z pr dko ci v

o

. Nieruchomy obserwator odbierałby

vt/

λλλλ

fal w

czasie

t

. W ruchu odbiera dodatkowo

v

o

t/

λλλλ

fal. Cz sto słyszana

przez obserwatora:

f

o

o

v

v

v

v

v

+

=

+

λ

gdzie:

f

' - cz stotliwo odbierana przez obserwatora

f

- cz stotliwo ródła

v

- pr dko fali,

v

o

- pr dko obserwatora

v

z

- pr dko ródła.

Znaki plus/minus "górne" odpowiadaj zbli aniu si , a znaki dolne

oddalaniu si obserwatora i ródła.

Wszystkie przypadki:

±

=

z

f

f

v

v

v

v

`

0