Fale w o rodkach spr ystych
Fale mechaniczne
- zaburzenie w o rodku spr ystym (np. fale
d wi kowe) -
wynik wychylenia elementu o rodka z poło enia
równowagi
→
przekazywane drga kolejnym elementom o rodka (sam
o rodek nie przesuwa si , a jedynie jego elementy wykonuj drgania w
ograniczonych obszarach przestrzeni).
Za pomoc fal -
przekazywanie energii
(kinetycznej i potencjalnej
cz steczek o rodka).
Przenoszenie energii - poprzez materi , dzi ki przemieszczaniu
si zaburzenia w materii, a nie dzi ki ruchowi post powemu
samej materii
.
Rozchodzenie si fal mechanicznych - w
o rodku
od
ródła fali.
Podział fal
ze wzgl du na:
-
kierunek drga
cz stek wzgl dem
kierunku rozchodzenia si fali
• poprzeczne (np. lina)
• podłu ne (np. spr yna, d wi k)
kierunek
drga
v
kierunek
drga
v
-
czoło fali
(powierzchnia ł cz ca punkty o jednakowych zaburzeniach
w danej chwili)
• płaskie (w jednym kierunku)
• kuliste
v
x
ródło fali
v
Ruch falowy
Dla wybranej
fazy
:
x
−
vt
= const.
Po zró niczkowaniu wzgl dem czasu :
czyli
pr dko fazowa
0
v
d
d
=
−
t
x
v
d
d =
t
x
Uwaga - dla danej chwili czasu t mamy równanie y=f(x),
a dla danego punktu x - równanie y=f(t).
Fala poprzeczna biegn ca wzdłu napr onej liny.
W chwili t = 0 kształt liny opisuje funkcja
y = f(x)
gdzie y – przemieszczenie cz steczek liny.
X
Y
Po czasie t fala przesuwa si o vt w prawo (v - pr dko fali). Zatem
po czasie t równanie fali:
y
= f(
x
−
vt
)
vt
Zało enie
: w chwili
t
= 0 kształt liny jest opisany funkcj harmoniczn :
gdzie
A
- maksymalne wychylenie.
Wychylenie jest takie samo w punktach
x
,
x +
λ
,
x +
2
λ
,
x
+ 3
λ
itd.
x
A
y
λ
π
2
sin
=
Wielko
λλλλ
- długo fali
(odległo mi dzy kolejnymi powtórzeniami
„kształtu” fali
→
ró nica fazy 2
π
).
Okres
T
- czas, w którym fala przebiega odległo równ
λλλλ
wi c:
λλλλ
=
vT
−
=
T
t
x
A
y
λ
π
2
sin
st d:
Taka sama faza - w punktach
x
,
x +
λ
,
x +
2
λ
,
x
+ 3
λ
...
w danym miejscu - faza powtarza si w chwilach
t
,
t
+
T
,
t
+2
T...
)
(
2
sin
t
x
A
y
v
−
=
λ
π
Je eli fala biegnie w prawo, to po czasie
t:
równanie fali biegn cej
λ
Y
X
Nowe wielko ci:
liczba falowa
k = 2
ππππ
/
λλλλ
i
cz sto
ω
ωω
ω
= 2
ππππ
/
T
Wówczas:
y = Asin(kx-
ω
ωω
ω
t)
lub
y = Asin(kx+
ω
ωω
ω
t)
fale biegn ce w prawo lub w lewo.
Pr dko fazowa:
k
T
v
=
=
Pr dko fali w napi tej linie
T
- siła napr enia liny rozci gaj ca odcinek
µµµµ
- liniowa g sto liny
µ
T
=
v
Pr dko fali w idealnie napi tej linie zale y jedynie od napr enia i g sto ci
liniowej liny, nie zale y od cz sto ci fali.
Symetryczny impuls w linie
T
T
v
O
R
Pr dko fali
v
- zale na od wła ciwo ci o rodka
Cz sto
fali
ω
ωω
ω
- ustalona całkowicie przez czynnik wytwarzaj cy fal .
Długo fali - okre lona przez zale no :
λλλλ
=
vT = v / f
gdzie
f
- cz stotliwo fali
r
p
r
k
dt
dE
dt
dE
=
Energia fali biegn cej w linie
Fala płaska:
)
sin(
)
,
(
t
kx
A
t
x
y
ω
−
=
gdzie
µµµµ
- g sto liniowa
rednia szybko
, z jak przenoszona jest energia kinetyczna:
2
2
v
4
1
)
(
A
dt
dE
r
k
ω
µ
=
Zale no
P
r
∼∼∼∼
A
2
ω
ω
ω
ω
2
- dla wszystkich rodzajów fal
czyli:
2
2
v
2
1
A
P
r
ω
µ
=
r
k
r
dt
dE
P
= 2
rednia moc
, czyli rednia szybko , z jak oba rodzaje energii
(kinetyczna i potencjalna) s przenoszone przez fal :
Zasada superpozycji fal
)
,
(
)
,
(
2
1
t
x
y
t
x
y
y
w
+
=
Przemieszczenie w wyniku nakładania si dwóch fal biegn cych wzdłu
napi tej liny:
Nakładaj ce si fale dodaj si algebraicznie
→
fala wypadkowa
Nakładaj ce si fale w aden sposób nie wpływaj na siebie wzajemnie.
Rozwa my dwie fale o równych cz stotliwo ciach i amplitudach, ale o
fazach ró ni cych si o
ϕ
:
y
1
= Asin(kx –
ω
ωω
ω
t –
ϕϕϕϕ
)
y
2
= Asin(kx –
ω
ωω
ω
t)
Interferencja fal
Fala wypadkowa z
zasady superpozycji
:
y
w
= y
1
+ y
2
= Asin(kx –
ω
ωω
ω
t –
ϕϕϕϕ
) + Asin(kx –
ω
ωω
ω
t)
)
(
2
1
cos
)
(
2
1
sin
2
sin
sin
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
- fala sinusoidalna biegn ca w dodatnim kierunku osi x
y
w
(x,t) = 2Acos(
ϕ
/2)sin(kx –
ω
t –
ϕ
/2)
przemieszczenie
amplituda
czynnik oscylacyjny
Dla
ϕϕϕϕ
= 0
fale spotykaj si zgodnie w fazie
→
wzmocnienie -
interferencja całkowicie konstruktywna
y
w
(x,t) = 2Asin(kx –
ω
t)
Dla
ϕϕϕϕ
=
ππππ
(180
0
)
fale spotykaj si w fazie przeciwnej
→
wygaszenie
-
interferencja całkowicie destruktywna
y
w
(x,t) = 0
Interferencja
z 2 ródeł punktowych
Rozwa my dwie fale sinusoidalne biegn ce w przeciwnych
kierunkach -
fala padaj ca i odbita
:
A
1
= A
2
y
1
= Asin(kx –
ω
ωω
ω
t)
y
2
= Asin(kx +
ω
ωω
ω
t)
Fale stoj ce
Fala wypadkowa:
y = y
1
+ y
2
= 2Asinkxcos
ω
ωω
ω
t -
równanie fali stoj cej
Wła ciwo ci fali stoj cej:
- cz stki drgaj ruchem harmonicznym prostym
z t sam cz sto ci
- amplituda drga (2Asinkx)
zmienia si wraz z poło eniem cz stki
x
punkty o maksymalnej amplitudzie, dla których zachodzi |sinkx| = 1
k
x
=
π
/2, 3
π
/2, 5
π
/2, itd. czyli
x
=
λ
/4, 3
λ
/4, 5
λ
/4 itd.
nazywamy
strzałkami
2
)
2
1
(
λ
+
= n
x
gdzie n=0,1,2,...
punkty o amplitudzie zerowej, dla których zachodzi sinkx = 0
-
kx
=
π
, 2
π
, 3
π
itd. czyli
x
=
λ
/2,
λ
, 3
λ
/2 itd.
nazywamy
w złami
.
2
λ
n
x
=
gdzie n=0,1,2,...
- Fala stoj ca nie przenosi energii
(np. wzdłu liny) bo nie mo e ona
przepłyn przez w zły. Energia jest na stałe zmagazynowana w
poszczególnych elementach o rodka.
Układy drgaj ce
µ
λ
T
L
n
L
n
v
f
n
2
v
2
=
=
=
St d
cz stotliwo
rezonansów:
Zamocowana struna - fale poprzeczne
→
fala stoj ca o ró nej
długo ci, spełniaj cej warunek (rezonanse):
n
L
n
2
=
λ
L
λ
4
= L/2
λ
3
= 2L/3
λ
2
= L
λ
1
= 2L
L = n
λ/2
n = 0, 1, 2,...
f
v
vT
=
=
λ
Pr dko d wi ku - fala podłu na w gazie
Drgaj cy tłok
→
zmiana obj to ci gazu
→
rozchodzenie si fali
v
ρ
B
=
v
gdzie:
V
V
p
B
/
∆
∆
−
=
moduł ci liwo ci
obj to ciowej (B>0)
∆∆∆∆
V/V
- wzgl dna zmiana obj to ci
wywołana przez zmian ci nienia
∆∆∆∆
p
ρρρρ
- g
sto o rodka
Pr dko d wi ku w powietrzu - 331 m/s; w wodzie (20
0
C) - 1482 m/s
Nat enie i gło no d wi ku
Nat enie
I
fali d wi kowej na pewnej powierzchni - rednia szybko , na
jednostk powierzchni, z jak fala dostarcza energi do tej powierzchni (lub
przenosi przez ni energi ):
s
P
I
=
gdzie:
P
- szybko przenoszenia energii (moc)
fali d wi kowej
s
- pole powierzchni odbieraj cej d wi k
• Cała energia emitowana przez ródło
musi przej przez powierzchni sfery
o promieniu r
• Szybko przenoszenia energii przez
t sfer = szybko ci emisji energii
przez ródło (moc ródła P
r
)
2
4 r
P
I
r
π
=
Nat enie d wi ku na sferze:
punktowe
ródło fali
d wi kowej
r
Emisja d wi ku -
izotropowa
Skala gło no ci d wi ku
Amplituda przemieszczenia w ludzkim uchu - w zakresie od 10
-11
do 10
-5
m
0
log
)
10
(
I
I
dB
=
β
Gło no d wi ku:
Jednostka - 1 decybel (dB); 1 dB = 10 B
→
Alexander Graham Bell
I
0
- standardowe nat enie odniesienia
→
dolna granica słyszalno ci
ludzkiego ucha
2
12
0
/
10
cm
W
I
−
=
Dla I = I
0
β
= 10 log1=0 dB
Dla I = 10
4
I
0
β
= 10 log10
4
= 40 dB
Gło no wybranych d wi ków
(dB)
próg słyszalno ci
0
szum li ci
10
rozmowa
60
koncert rockowy
110
granica bólu
120
silnik odrzutowy
130
Dudnienia - modulacja amplitudy
Interferencja w czasie -
gdy przez dany punkt w przestrzeni
przebiegaj w tym samym kierunku fale o troch ró nych
cz stotliwo ciach. Wychylenie wypadkowe:
t
f
f
t
f
f
A
y
+
−
=
2
2
cos
2
2
cos
2
2
1
2
1
π
π
Cz stotliwo drga wypadkowych:
f
srednie
= (f
1
+ f
2
)/2
Cz stotliwo modulacji amplitudy drga wypadkowych:
f
amp
= (f
1
– f
2
)/2
y
y
t
t
Zjawisko Dopplera
Christian Doppler (
1842 r) - barwa wiec cego ciała (cz stotliwo )
zmienia si w trakcie ruchu wzgl dnego obserwatora lub ródła.
Zjawisko Dopplera wyst puje dla wszystkich fal.
Fale d wi kowe
Przypadek ruchu ródła i obserwatora wzdłu ł cz cej ich prostej.
=
+
=
t
t
t
f
o
λ
λ
v
v
'
ródło d wi ku spoczywa, a obserwator porusza si w kierunku
ródła z pr dko ci v
o
. Nieruchomy obserwator odbierałby
vt/
λλλλ
fal w
czasie
t
. W ruchu odbiera dodatkowo
v
o
t/
λλλλ
fal. Cz sto słyszana
przez obserwatora:
f
o
o
v
v
v
v
v
+
=
+
λ
gdzie:
f
' - cz stotliwo odbierana przez obserwatora
f
- cz stotliwo ródła
v
- pr dko fali,
v
o
- pr dko obserwatora
v
z
- pr dko ródła.
Znaki plus/minus "górne" odpowiadaj zbli aniu si , a znaki dolne
oddalaniu si obserwatora i ródła.
Wszystkie przypadki:
±
=
z
f
f
v
v
v
v
`
0
