EWR 2010 fale sprężyste /

1

FALE MECHANICZNE

Falami nazywamy rozprzestrzeniające się w ośrodku materialnym lub polu

zaburzenia pewnej wielkości fizycznej charakteryzującej stan tego ośrodka
lub pola.

Właściwości ośrodka - bezwładność i sprężystość

•

Elementy drgają wokół położenia równowagi

•

zaburzenie przekazywane jest elementom sąsiednim

•

nie jest to związane z przenoszeniem substancji

•

energia może być przenoszona na duże odległości

EWR 2010 fale sprężyste /

2

RODZAJE FAL

Ze względu na kierunek ruchu

•

fale poprzeczne - sprężystość postaci, czyli kształtu

•

fale podłużne - sprężystość objętościowa

Ze względu na ilość wymiarów 1D, 2D, 3D

Ze względu na zachowanie się cząstek materii

•

pojedyncze fale

•

ciągi falowe

rys. z Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, tom 2

EWR 2010 fale sprężyste /

3

FALE JEDNOWYMIAROWE

Dla

t = 0

y(x,0) = f(x)

odkształcenie przesuwa się wzdłuż struny lub sznura nie zmieniając
swego kształtu.

Po czasie

t

y(x,t) = f(x-vt)

taki sam kształt w punkcie x = vt w chwili t jaki w punkcie x = 0 w
chwili t = 0.

EWR 2010 fale sprężyste /

4

RÓWNANIE FALOWE

Funkcja f(x-vt) jest rozwiązaniem równania

2

2

2

2

2

1

t

f

v

x

f

∂

∂

=

∂

∂

Rozwiązaniem jest dowolna, dwukrotnie różniczkowalna funkcja

f(x

±

vt)

ϕ

= x

±

vt faza drgań

Sprawdzenie

f

x

f

f

v

t

f

′′

=

∂

∂

′′

=

∂

∂

2

2

2

2

2

EWR 2010 fale sprężyste /

5

Równanie falowe w trzech wymiarach

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

t

f

v

z

f

y

f

x

f

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

EWR 2010 fale sprężyste /

6

FALE HARMONICZNE

Ź

ródło w punkcie x = 0 wykonuje drgania y(0, t) = A cos

ω

t

t’ = t – x/v

zatem:

y(x, t) = y(0, t’) = A cos

ω

(t –x/v)

y(x, t) = A cos(

ω

t –

ω

x / v)

y = A cos(

ω

t - k x)

k =

ω

/v

- liczba falowa jednostka: [k] =1/m

ω

- częstość kołowa

v - prędkość fazowa

wektor falowy:

ˆ

k

x

v

ω

=

r

EWR 2010 fale sprężyste /

7

DŁUGOŚĆ FALI

y(x, t) = A cos(

ω

t – kx )

•

Długość fali

λ

t = const.

ϕ

1

(x) -

ϕ

2

(x +

λ

) = 2

π

[

ω

t - k x] – [

ω

t - k (x +

λ

)] = 2

π

k

λ

= 2

π

2

k

π

λ

=

EWR 2010 fale sprężyste /

8

OKRES FALI

y(x, t) = A cos(

ω

t – kx )

•

Okres fali

T

x = const.

ϕ

(t + T) -

ϕ

(t) = 2

π

[

ω

(t + T) - k x] - [

ω

t – k x] = 2

π

ω

T = 2

π

t

T

2

T

π

ω

=

EWR 2010 fale sprężyste /

9

PRĘDKOŚĆ FALI

•

Prędkość fali v k =

ω

/v

2

2

v

k

k

T

ω

πω λ
π

= =

=

v

T

λ

=

EWR 2010 fale sprężyste /

10

ZASADA SUPERPOZYCJI

rys. Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, tom 2,
PWN 2003

W tym samym obszarze
w przestrzeni może
rozchodzić się jednocześnie
wiele różnych fal.

Wychylenie badanego
elementu ośrodka w danej
chwili jest sumą wychyleń
jakich doznawałby ten
element pod działaniem
każdej fali z osobna.

EWR 2010 fale sprężyste /

11

SUPERPOZYCJA DWÓCH FAL

ω

ω

ω

ω

1

≠

ω

ω

ω

ω

2

generator

ψ

(0, t

)=A cos

ω

1

t + A cos

ω

2

t

fala biegnąca

ψ

(x, t) =

ψ

1

(x, t) +

ψ

2

(x, t)

ψ

(x, t) = Acos(

ω

1

t - k

1

x)+Acos(

ω

2

t – k

2

x)

ψ

(x, t) = A

mod

(x, t)cos(

ω

ś

r

t - k

ś

r

x)

1

2

1

2

1

2

1

2

2 cos

cos

2

2

2

2

k

k

k

k

A

t

x

t

x

ω ω

ω ω

−

−

+

+









=

−

−

















EWR 2010 fale sprężyste /

12

SUPERPOZYCJA DWÓCH FAL

ω

ω

ω

ω

1

≠

ω

ω

ω

ω

2

ψ

(x, t) = A

mod

(x, t)cos(

ω

ś

r

t - k

ś

r

x)

gdzie:

A

mod

(x, t) = 2Acos(

ω

mod

t - k

mod

x)

rys. Jaworski Dietłaf, Fizyka poradnik
encyklopedyczny, PWN 2000

EWR 2010 fale sprężyste /

13

PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

Prędkość rozchodzenia się modulacji

ϕ

m

= (

ω

mod

t – k

mod

x) = const.

2

1

2

1

mod

mod

mod

k

k

k

dt

dx

v

−

−

=

=

=

ω

ω

ω

ω

= v

f

k

Prędkość grupowa v

g

= v

mod

dk

d

v

g

ω

=

•

Ogólnie

v

f

= const.

( )

f

f

g

v

dk

k

v

d

dk

d

v

=

=

=

ω

prędkość grupowa jest

równa prędkości fazowej.

g

f

v

v

≠

EWR 2010 fale sprężyste /

14

PRĘDKOŚĆ GRUPOWA

Energia fali
rozchodzi się z
prędkością
grupową !

rys. - F.C.Crawford, Fale,
PWN W-wa 1972

EWR 2010 fale sprężyste /

15

FALE ZŁOŻONE

ω

1

: ω

2

= 1 : 3

a)

suma dwóch fal o dużej różnicy częstości

b)

suma dwóch fal o podobnych częstościach

EWR 2010 fale sprężyste /

16

INTERFERENCJA FAL

Dwie fale o stałej w czasie różnicy faz:

1

2

cos(

)

cos(

)

m

m

y

y

t

kx

y

y

t

kx

ω

ϕ

ω

=

−

−

=

−

Fala wypadkowa o amplitudzie zależnej od
różnicy faz:

ϕ

2

1

cos

2

m

y

A

=

A

∈

( 0 , 2y

m

)

[

]

1

2

cos(

)

cos(

)

1

1

2

cos(

) cos

2

2

1

1

2

cos

cos(

)

2

2

m

m

m

y

y

y

y

y

t

kx

t

kx

y

y

t

kx

y

y

t

kx

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

=

+

=

−

−

+

−

=

−

−





=

−

−









EWR 2010 fale sprężyste /

17

INTERFERENCJA FAL

ϕ

2

1

cos

2

m

y

A

=

EWR 2010 fale sprężyste /

18

FALE STOJĄCE







+

=

−

=

)

cos(

)

cos(

2

1

kx

t

y

y

kx

t

y

y

m

m

ω

ω

y = y

1

+y

2

= y

m

cos(

ω

t - kx)

+ y

m

cos(

ω

t + kx)

y = [2y

m

cos(kx)] cos(

ω

t)

amplituda drgań

A=2y

m

cos(kx)

EWR 2010 fale sprężyste /

19

FALE STOJĄCE

Wszystkie punkty są w tej samej fazie

1

3

5

,

,

, ...

2

2

2

kx

π

π

π

=

węzły

kx =

π

, 2

π

.... strzałki

•

Energia nie jest przenoszona

•

Energia jest zmagazynowana w strunie

Zbiór oscylatorów o różnych amplitudach

Warunki odbicia fal od końców struny narzucają ograniczenia - tak
zwane

warunki brzegowe

.

EWR 2010 fale sprężyste /

20

REZONANS

warunki brzegowe 1

całkowita ilość połówek fali -

L = n

λ

n

/

2

n

L

n

2

=

λ

L

v

n

v

f

n

n

2

=

=

λ

siła wymuszająca

F = F

0

cos(

ω

t)

rezonans

przy wielu

ω

n

,

EWR 2010 fale sprężyste /

21

REZONANS

warunki brzegowe 2

1

+

=

n

n

λ

λ

4

n

2

1

L

n

n

L

λ

4

1

)

1

2

(

+

=

1

2

4

+

=

n

L

n

λ

L

v

n

v

n

n

2

)

1

2

(

2

π

λ

π

ω

+

=

=

rezonans

przy wielu

ω

n

,

EWR 2010 fale sprężyste /

22

SZEREG FOURIERA

Dowolny ruch o okresie T można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych,
czyli w postaci

szeregu Fouriera

∑

∑

+

+

=

n

n

n

n

t

n

b

t

n

a

a

t

f

)

sin(

)

cos(

2

1

)

(

0

ω

ω

gdzie

T

π

ω

2

=













=

=

∫

∫

T

n

T

n

dt

t

n

t

F

T

b

dt

t

n

t

F

T

a

0

0

)

sin(

)

(

2

)

cos(

)

(

2

ω

ω

EWR 2010 fale sprężyste /

23

SZEREG FOURIERA

FUNKCJI PROSTOKĄTNEJ

Suma pierwszych siedmiu składowych szeregu Fouriera funkcji prostokątnej:

1

1

1

sin

sin 3

sin 5

sin 7

...

3

5

7

y

t

t

t

t

ω

ω

ω

ω

=

+

+

+

+

EWR 2010 fale sprężyste /

24

DWIE SKŁADOWE

TRZY SKŁADOWE

CZTERY SKŁADOWE

PIĘĆ SKŁADOWYCH

EWR 2010 fale sprężyste /

25

CAŁKA FOURIERA

Jeżeli ruch jest nieperiodyczny to szereg zastępuje

całka Fouriera

∫

∫

∞

∞

+

=

0

0

)

sin(

)

(

)

cos(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

d

t

b

d

t

a

t

f













=

=

∫

∫

∞

∞

0

0

)

sin(

)

(

2

)

(

)

cos(

)

(

2

)

(

dt

t

t

F

b

dt

t

t

F

a

ω

π

ω

ω

π

ω

EWR 2010 fale sprężyste /

26

ROZKŁAD SPEKTRALNY

Dowolne fale można rozpatrywać jako kombinacje

fal harmonicznych

∫

∫

∞

∞

−

+

−

=

0

0

)

cos(

)

(

)

sin(

)

(

)

,

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

d

kx

t

b

d

kx

t

a

t

x

f

Z

ależności a(

ω

) oraz b(

ω

) - rozkład spektralny (widmo)

EWR 2010 fale sprężyste /

27

WIDMA

widmo żarówki widmo żarówki energooszczędnej

widmo lampy halogenowej

EWR 2010 fale sprężyste /

28

ENERGIA W OŚRODKU TRÓJWYMIAROWYM

1)

Jeżeli nie ma absorpcji całkowita energia przenoszona przez fale w ciągu
sekundy pozostaje stała i równa mocy wysyłanej ze źródła.

const.

E

P

t

= =

Natężenie fali

I(r)

jest to ilość energii przepływającej w jednostce czasu

przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku propagacji

( )

dP

I r

dS

=

r

Dla punktu odległego o r od źródła fali kulistej całkowita powierzchnia przez
którą przechodzi fala jest równa S = 4

π

r

2

, a całkowita moc:

2

4

)

(

r

r

I

P

⋅

⋅

=

π

EWR 2010 fale sprężyste /

29

ENERGIA W OŚRODKU TRÓJWYMIAROWYM

Natężenie fali kulistej

2

4

)

(

r

r

I

P

⋅

⋅

=

π

2

4

)

(

r

P

r

I

z

⋅

=

π

2

~ A

I

A

∼

1/r

EWR 2010 fale sprężyste /

30

STRATY ENERGII

2) Pochłanianie fal

Dla fal kulistych

2

2

0

4

)

(

r

e

I

r

I

r

π

γ

−

=

2)

Rozpraszanie fal - dodatkowa utrata energii w wyniku oddziaływania z
napotykanymi po drodze przeszkodami.

x

e

A

x

A

γ

−

=

0

)

(

x

e

I

x

I

γ

2

0

)

(

−

=