EWR 2010 fale sprężyste /
1
FALE MECHANICZNE
Falami nazywamy rozprzestrzeniające się w ośrodku materialnym lub polu
zaburzenia pewnej wielkości fizycznej charakteryzującej stan tego ośrodka
lub pola.
Właściwości ośrodka - bezwładność i sprężystość
•
Elementy drgają wokół położenia równowagi
•
zaburzenie przekazywane jest elementom sąsiednim
•
nie jest to związane z przenoszeniem substancji
•
energia może być przenoszona na duże odległości
EWR 2010 fale sprężyste /
2
RODZAJE FAL
Ze względu na kierunek ruchu
•
fale poprzeczne - sprężystość postaci, czyli kształtu
•
fale podłużne - sprężystość objętościowa
Ze względu na ilość wymiarów 1D, 2D, 3D
Ze względu na zachowanie się cząstek materii
•
pojedyncze fale
•
ciągi falowe
rys. z Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, tom 2
EWR 2010 fale sprężyste /
3
FALE JEDNOWYMIAROWE
Dla
t = 0
y(x,0) = f(x)
odkształcenie przesuwa się wzdłuż struny lub sznura nie zmieniając
swego kształtu.
Po czasie
t
y(x,t) = f(x-vt)
taki sam kształt w punkcie x = vt w chwili t jaki w punkcie x = 0 w
chwili t = 0.
EWR 2010 fale sprężyste /
4
RÓWNANIE FALOWE
Funkcja f(x-vt) jest rozwiązaniem równania
2
2
2
2
2
1
t
f
v
x
f
∂
∂
=
∂
∂
Rozwiązaniem jest dowolna, dwukrotnie różniczkowalna funkcja
f(x
±
vt)
ϕ
= x
±
vt faza drgań
Sprawdzenie
f
x
f
f
v
t
f
′′
=
∂
∂
′′
=
∂
∂
2
2
2
2
2
EWR 2010 fale sprężyste /
5
Równanie falowe w trzech wymiarach
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
t
f
v
z
f
y
f
x
f
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
EWR 2010 fale sprężyste /
6
FALE HARMONICZNE
Ź
ródło w punkcie x = 0 wykonuje drgania y(0, t) = A cos
ω
t
t’ = t – x/v
zatem:
y(x, t) = y(0, t’) = A cos
ω
(t –x/v)
y(x, t) = A cos(
ω
t –
ω
x / v)
y = A cos(
ω
t - k x)
k =
ω
/v
- liczba falowa jednostka: [k] =1/m
ω
- częstość kołowa
v - prędkość fazowa
wektor falowy:
ˆ
k
x
v
ω
=
r
EWR 2010 fale sprężyste /
7
DŁUGOŚĆ FALI
y(x, t) = A cos(
ω
t – kx )
•
Długość fali
λ
t = const.
ϕ
1
(x) -
ϕ
2
(x +
λ
) = 2
π
[
ω
t - k x] – [
ω
t - k (x +
λ
)] = 2
π
k
λ
= 2
π
2
k
π
λ
=
EWR 2010 fale sprężyste /
8
OKRES FALI
y(x, t) = A cos(
ω
t – kx )
•
Okres fali
T
x = const.
ϕ
(t + T) -
ϕ
(t) = 2
π
[
ω
(t + T) - k x] - [
ω
t – k x] = 2
π
ω
T = 2
π
t
T
2
T
π
ω
=
EWR 2010 fale sprężyste /
9
PRĘDKOŚĆ FALI
•
Prędkość fali v k =
ω
/v
2
2
v
k
k
T
ω
πω λ
π
= =
=
v
T
λ
=
EWR 2010 fale sprężyste /
10
ZASADA SUPERPOZYCJI
rys. Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, tom 2,
PWN 2003
W tym samym obszarze
w przestrzeni może
rozchodzić się jednocześnie
wiele różnych fal.
Wychylenie badanego
elementu ośrodka w danej
chwili jest sumą wychyleń
jakich doznawałby ten
element pod działaniem
każdej fali z osobna.
EWR 2010 fale sprężyste /
11
SUPERPOZYCJA DWÓCH FAL
ω
ω
ω
ω
1
≠
ω
ω
ω
ω
2
generator
ψ
(0, t
)=A cos
ω
1
t + A cos
ω
2
t
fala biegnąca
ψ
(x, t) =
ψ
1
(x, t) +
ψ
2
(x, t)
ψ
(x, t) = Acos(
ω
1
t - k
1
x)+Acos(
ω
2
t – k
2
x)
ψ
(x, t) = A
mod
(x, t)cos(
ω
ś
r
t - k
ś
r
x)
1
2
1
2
1
2
1
2
2 cos
cos
2
2
2
2
k
k
k
k
A
t
x
t
x
ω ω
ω ω
−
−
+
+
=
−
−
EWR 2010 fale sprężyste /
12
SUPERPOZYCJA DWÓCH FAL
ω
ω
ω
ω
1
≠
ω
ω
ω
ω
2
ψ
(x, t) = A
mod
(x, t)cos(
ω
ś
r
t - k
ś
r
x)
gdzie:
A
mod
(x, t) = 2Acos(
ω
mod
t - k
mod
x)
rys. Jaworski Dietłaf, Fizyka poradnik
encyklopedyczny, PWN 2000
EWR 2010 fale sprężyste /
13
PRĘDKOŚĆ GRUPOWA
Prędkość rozchodzenia się modulacji
ϕ
m
= (
ω
mod
t – k
mod
x) = const.
2
1
2
1
mod
mod
mod
k
k
k
dt
dx
v
−
−
=
=
=
ω
ω
ω
ω
= v
f
k
Prędkość grupowa v
g
= v
mod
dk
d
v
g
ω
=
•
Ogólnie
v
f
= const.
( )
f
f
g
v
dk
k
v
d
dk
d
v
=
=
=
ω
prędkość grupowa jest
równa prędkości fazowej.
g
f
v
v
≠
EWR 2010 fale sprężyste /
14
PRĘDKOŚĆ GRUPOWA
Energia fali
rozchodzi się z
prędkością
grupową !
rys. - F.C.Crawford, Fale,
PWN W-wa 1972
EWR 2010 fale sprężyste /
15
FALE ZŁOŻONE
ω
1
: ω
2
= 1 : 3
a)
suma dwóch fal o dużej różnicy częstości
b)
suma dwóch fal o podobnych częstościach
EWR 2010 fale sprężyste /
16
INTERFERENCJA FAL
Dwie fale o stałej w czasie różnicy faz:
1
2
cos(
)
cos(
)
m
m
y
y
t
kx
y
y
t
kx
ω
ϕ
ω
=
−
−
=
−
Fala wypadkowa o amplitudzie zależnej od
różnicy faz:
ϕ
2
1
cos
2
m
y
A
=
A
∈
( 0 , 2y
m
)
[
]
1
2
cos(
)
cos(
)
1
1
2
cos(
) cos
2
2
1
1
2
cos
cos(
)
2
2
m
m
m
y
y
y
y
y
t
kx
t
kx
y
y
t
kx
y
y
t
kx
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
=
+
=
−
−
+
−
=
−
−
=
−
−
EWR 2010 fale sprężyste /
17
INTERFERENCJA FAL
ϕ
2
1
cos
2
m
y
A
=
EWR 2010 fale sprężyste /
18
FALE STOJĄCE
+
=
−
=
)
cos(
)
cos(
2
1
kx
t
y
y
kx
t
y
y
m
m
ω
ω
y = y
1
+y
2
= y
m
cos(
ω
t - kx)
+ y
m
cos(
ω
t + kx)
y = [2y
m
cos(kx)] cos(
ω
t)
amplituda drgań
A=2y
m
cos(kx)
EWR 2010 fale sprężyste /
19
FALE STOJĄCE
Wszystkie punkty są w tej samej fazie
1
3
5
,
,
, ...
2
2
2
kx
π
π
π
=
węzły
kx =
π
, 2
π
.... strzałki
•
Energia nie jest przenoszona
•
Energia jest zmagazynowana w strunie
Zbiór oscylatorów o różnych amplitudach
Warunki odbicia fal od końców struny narzucają ograniczenia - tak
zwane
warunki brzegowe
.
EWR 2010 fale sprężyste /
20
REZONANS
warunki brzegowe 1
całkowita ilość połówek fali -
L = n
λ
n
/
2
n
L
n
2
=
λ
L
v
n
v
f
n
n
2
=
=
λ
siła wymuszająca
F = F
0
cos(
ω
t)
rezonans
przy wielu
ω
n
,
EWR 2010 fale sprężyste /
21
REZONANS
warunki brzegowe 2
1
+
=
n
n
λ
λ
4
n
2
1
L
n
n
L
λ
4
1
)
1
2
(
+
=
1
2
4
+
=
n
L
n
λ
L
v
n
v
n
n
2
)
1
2
(
2
π
λ
π
ω
+
=
=
rezonans
przy wielu
ω
n
,
EWR 2010 fale sprężyste /
22
SZEREG FOURIERA
Dowolny ruch o okresie T można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych,
czyli w postaci
szeregu Fouriera
∑
∑
+
+
=
n
n
n
n
t
n
b
t
n
a
a
t
f
)
sin(
)
cos(
2
1
)
(
0
ω
ω
gdzie
T
π
ω
2
=
=
=
∫
∫
T
n
T
n
dt
t
n
t
F
T
b
dt
t
n
t
F
T
a
0
0
)
sin(
)
(
2
)
cos(
)
(
2
ω
ω
EWR 2010 fale sprężyste /
23
SZEREG FOURIERA
FUNKCJI PROSTOKĄTNEJ
Suma pierwszych siedmiu składowych szeregu Fouriera funkcji prostokątnej:
1
1
1
sin
sin 3
sin 5
sin 7
...
3
5
7
y
t
t
t
t
ω
ω
ω
ω
=
+
+
+
+
EWR 2010 fale sprężyste /
24
DWIE SKŁADOWE
TRZY SKŁADOWE
CZTERY SKŁADOWE
PIĘĆ SKŁADOWYCH
EWR 2010 fale sprężyste /
25
CAŁKA FOURIERA
Jeżeli ruch jest nieperiodyczny to szereg zastępuje
całka Fouriera
∫
∫
∞
∞
+
=
0
0
)
sin(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
d
t
b
d
t
a
t
f
=
=
∫
∫
∞
∞
0
0
)
sin(
)
(
2
)
(
)
cos(
)
(
2
)
(
dt
t
t
F
b
dt
t
t
F
a
ω
π
ω
ω
π
ω
EWR 2010 fale sprężyste /
26
ROZKŁAD SPEKTRALNY
Dowolne fale można rozpatrywać jako kombinacje
fal harmonicznych
∫
∫
∞
∞
−
+
−
=
0
0
)
cos(
)
(
)
sin(
)
(
)
,
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
d
kx
t
b
d
kx
t
a
t
x
f
Z
ależności a(
ω
) oraz b(
ω
) - rozkład spektralny (widmo)
EWR 2010 fale sprężyste /
27
WIDMA
widmo żarówki widmo żarówki energooszczędnej
widmo lampy halogenowej
EWR 2010 fale sprężyste /
28
ENERGIA W OŚRODKU TRÓJWYMIAROWYM
1)
Jeżeli nie ma absorpcji całkowita energia przenoszona przez fale w ciągu
sekundy pozostaje stała i równa mocy wysyłanej ze źródła.
const.
E
P
t
= =
Natężenie fali
I(r)
jest to ilość energii przepływającej w jednostce czasu
przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku propagacji
( )
dP
I r
dS
=
r
Dla punktu odległego o r od źródła fali kulistej całkowita powierzchnia przez
którą przechodzi fala jest równa S = 4
π
r
2
, a całkowita moc:
2
4
)
(
r
r
I
P
⋅
⋅
=
π
EWR 2010 fale sprężyste /
29
ENERGIA W OŚRODKU TRÓJWYMIAROWYM
Natężenie fali kulistej
2
4
)
(
r
r
I
P
⋅
⋅
=
π
2
4
)
(
r
P
r
I
z
⋅
=
π
2
~ A
I
A
∼
1/r
EWR 2010 fale sprężyste /
30
STRATY ENERGII
2) Pochłanianie fal
Dla fal kulistych
2
2
0
4
)
(
r
e
I
r
I
r
π
γ
−
=
2)
Rozpraszanie fal - dodatkowa utrata energii w wyniku oddziaływania z
napotykanymi po drodze przeszkodami.
x
e
A
x
A
γ
−
=
0
)
(
x
e
I
x
I
γ
2
0
)
(
−
=