Interpolacyjnej funkcji sklejanej poszukiwać będziemy w postaci kombinacji liniowej

,
gdzie ci są pewnymi liczbami rzeczywistymi, które należy wyznaczyć.
Nakładamy warunki interpolacji: s(xi) = yi , i = 0, 1, ... ,n.

Funkcja s(x) jest interpolacyjną funkcją sklejaną dla f, gdy (n+3) niewiadomych
ci (i = -1, 0, 1, ... , n+1) spełnia następujący układ (n+1)
ci-1 +4ci + ci+1 = yi , i = 0,1, ...., n
Do powyższego układu należy dołączyć dwa równania, wynikające z nałożenia na
funkcję sklejaną s dwóch dodatkowych warunków
-c-1 + c1 = h/3 i -cn-1 + cn+1 = h/3
Tak określony układ (n+3) równań posiada jednoznaczne rozwiązanie.
Uwaga. Z układu tego można łatwo wyeliminować współczynniki c-1 i cn+1 .

TWIERDZENIE. Niech = f ' (a) i = f ' (b). Jeżeli funkcja f jest klasy C4([a,b]),

to dla

s x

( )

1



n 1



i

c

i



i x

( )











a

x



b



.



i x

( )

x



i

x

( )

d
d

x

i 2



0

0

x

i 1



1

3

h

x

i

4

0

x

i 1



1

3



h

x

i 2



0

0

























4

1

0

.

.

.

.

.

2

4

1

.

.

.

.

.

0

1

4

.

.

.

.

.

.

0

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

0

.

.

.

.

.

.

4

1

0

.

.

.

.

.

1

4

2

..

.

.

.

.

0

1

4













































c

0

c

1

.

.

.

.

c

n 1



c

n























































y

0



h

3





y

1

.

.

.

.

y

n 1



y

n



h

3

























































a

x



b



f x

( )

s x

( )



5 M4



384

h

4





Interpolacja funkcjami sklejanymi

Niech w przedziale [a,b] danych będzie (n+1) punktów x0, x1, ... , xn , przy czym

a = x0 < x1 < ... < x n-1 < xn = b.

Funkcję s(x) określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją sklejaną stopnia m , jeżeli

1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej m na każdym podprzedziale (xi , xi+1) , i = 0,1,... , n-1

2) s(x) jest funkcją klasy Cm-1([a,b]) .

Punkty xi nazywamy węzłami funkcji sklejanej.

W najprostszym przypadku m = 1, funkcja sklejana jest łamaną. Także wielomiany na [a,b]
są szczególnym przypadkiem funkcji sklejanej.

Zbiór wszystkich funkcji sklejanych stopnia m o węzłach xi ( i = 0,1,...,n) oznaczymy Sm .

Funkcja sklejana stopnia m zależy od n (m+1) - m (n-1) = n+m parametrów.

Funkcję s(x) z Sm nazywamy interpolacyjną funkcją sklejaną stopnia m dla funkcji f , jeżeli

s(xi) = yi , i = 0,1,...,n

Na funkcję sklejaną zostało nałożone (n+1) warunków interpolacji. W najprostrzym przypadku
interpolacyjnej funkcji sklejanej stopnia pierwszego, czyli łamanej, jest ona jednoznacznie
wyznaczona przez te warunki. Dla m > 1 interpolacyjna funkcja sklejana zależy od (m-1)
parametrów i należy na nią nałożyć dodatkowe warunki.

Do najczęściej rozważanych funkcji sklejanych należą funkcje stopnia trzeciego. Interpolacyjna
funkcja sklejana stopnia trzeciego zależy od dwóch parametrów, wobec czego nakładamy na nią
dwa dodatkowe warunki. Warunki te najczęściej nakładamy w węzłach krańcowych a i b.
Np. mogą mieć one postać

s'(a + 0) = oraz s'(b - 0) =

gdzie , są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli funkcja f ma pochodne w punktach a i b
oraz znamy ich wartości, to możemy je przyjąć jako liczby występujące po prawych stronach powyższych warunków.
Natomiast, jeżeli znamy tylko wartości funkcji f w węzłach - mogą to

być przybliżenia pochodnych.

TWIERDZENIE. Istnieje dokładnie jedna interpolacyjna funkcja sklejana stopnia trzeciego
spełniająca podane wyżej dodatkowe warunki.

Opracowano szereg algorytmów wyznaczających interpolacyjne funkcje sklejane. Postać funkcji
sklejanej w dużym stopniu zależy od zagadnienia. Często wygodnie jest przedstawić poszukiwaną
funkcję w postaci kombinacji liniowej elementów bazy przestrzeni S3, która jest przestrzenią liniową

o wymiarze (n+3).

Omówimy teraz wyznaczanie interpolacyjnej funkcji w postaci kombinacji liniowej elementów
bazy S3, w przypadku węzłów równoodległych

xi = x0 +ih, h = (b-a)/n , i = 0,1, ... ,n

Określamy (n+3) funkcje i =i(x) , i = -1, 0, 1, ... , n , n+1 , które stanowią bazę przestrzeni
funkcji sklejanych trzeciego stopnia S3.