Bardziej podejrzliwi mogą przypuszczać, iż
fotografia wstępna to tylko uchwycone zdję−
cie spadającej kulki albo nawet bezczelny
fotomontaż. Mogę zapewnić, że tak nie jest.
Trudno bowiem zrobić kilka czy kilkanaście
fotografii, na których uchwycono to samo
położenie metalowej kulki.

W niniejszym artykule chcę przedstawić

praktycznie zrealizowany układ magnetycz−
nej lewitacji. Fotografia wstępna pokazuje
elektromagnes, metalową kulkę oraz optycz−
ny czujnik położenia (jeden element widocz−
ny z prawej strony).

Słowo „lewitacja” słusznie kojarzy się

z unoszeniem przedmiotu, w tym wypadku
metalowej kulki. W żądnym wypadku nie
można napisać, że jest to swobodne unosze−
nie. Kulka podlega prawu grawitacji
i zamiast swobodnie wisieć − spada. Aby
temu zapobiec, korzysta się ze źródła siły,
która ma przeciwdziałać sile grawitacji. Zwa−
żywszy na magnetyczny materiał przedmio−
tu, wykorzystany jest elektromagnes. W lite−
raturze taki sposób nazywany jest w skrócie
MAGLEV

od angielskiego określenia

magnetic levitation.

Niestety sam elektromagnes zasilany sta−

łym prądem nie spowoduje efektownej lewi−
tacji kulki, ponieważ taki układ jest struktu−
ralnie niestabilny. Jednak bez większych pro−
blemów można opracować algorytm stero−
wania przepływem prądu na podstawie poło−
żenia kulki. Jako końcowy rezultat otrzymu−
je się fantastyczny efekt, pokazany na foto−
grafiach.

Opis układu

Fotografia tytułowa nie pokazuje całości
układu, ponieważ jest to tylko część wyko−
nawcza, która ma być widoczna na pierwszy
rzut oka. Reszta jest ukryta przed wzrokiem
obserwujących, którzy raczej nie będą się
interesowali ani regulatorem położenia, ani
zasilaniem. Uproszczony schemat blokowy
systemu pokazany jest na rysunku 1.

Ze względu na wspomnianą już niestabilność
układu, po zastosowaniu stałego prądu zasi−
lającego elektromagnes kulka albo zostanie
przyciągnięta, albo spadnie. Teoretycznie ist−
nieje pewien punkt równowagi, w którym
powinna się utrzymywać. Jednak nawet nie−
wielkie zakłócenie jej położenia spowoduje

natychmiastową utratę stabilności. W prakty−
ce w prostym systemie nigdy nie ustawimy
przedmiotu w tym punkcie.

Jedynym rozwiązaniem jest zastosowanie

aktywnego regulatora położenia, którego
zasada działania jest następująca. Na podsta−
wie napięcia uzyskanego z optycznego czuj−
nika położenia elektroniczny obserwator
wyznacza położenie kulki oraz jej prędkość.
Te dane są przekazywane do regulatora,
który na podstawie algorytmu sterowania
wyznacza odpowiednie napięcie sterujące.
Zostaje ono podane na wejście wzmacniacza
prądowego, który wymusi przepływ zadane−
go prądu przez elektromagnes. W modelu
jako regulator został użyty mikrokontroler
ATtiny15L firmy ATMEL, ale nie jest to spe−
cjalny wymóg systemu.

Dlaczego do sterowania elektromagnesu

wykorzystuje się źródło prądowe, a nie
napięciowe? To drugie wymaga uwzględnie−
nia równania różniczkowego przepływu
prądu przez uzwojenie elektromagnesu, co
tylko niepotrzebnie komplikuje sterowanie.
Dzięki wzmacniaczowi prądowemu otrzy−
muje się najprostszy do wykonania układ
magnetycznej lewitacji.

Bardziej zorientowani w automatyce

zauważą bez trudu, że system ten jest wręcz
modelowym przykładem z teorii sterowania.
Mamy tu jedno wejście, jedno wyjście, regu−
lator oraz obiekt regulacji. Nie pozostaje
zatem nic innego jak skorzystać z bogatej
wiedzy w zakresie sterowania albo też prze−
prowadzić eksperymenty.

15

Projekty AVT

E l e k t r o n i k a d l a W s z y s t k i c h M a j 2 0 0 4

M

M

M

M

A

A

A

A

G

G

G

G

LL

LL

E

E

E

E

V

V

V

V

tajemnice
lewitacji
magnetycznej

Rys. 1 Schemat blokowy systemu

Praktyczna realizacja

Przejdę teraz to najciekawszej i najtrudniej−
szej części budowy układu – do budowy sys−
temu. Najtrudniejszą częścią jest dobranie
elektromagnesu. Ja zdecydowałem się na
wykorzystanie rdzenia starego stycznika
dużej mocy i dobrałem cewkę. Średnica drutu
uzwojenia musi być dobrana z uwzględnie−
niem sprzecznych wytycznych. Po pierwsze,
siła przyciągania elektromagnetycznego
musi być wystarczająca do działania układu,
po drugie, wielkość napięcia zasilającego
musi mieścić się w rozsądnych granicach.
Indukcyjność cewki, a więc i siła przyciąga−
nia jest zależna od masy kulki, czyli
od jej wielkości (bo metalowa kulka
zbliżając się do rdzenia niejako zamy−
ka obwód magnetyczny). Ale im cięż−
sza kulka, tym więcej potrzeba prądu,
a więc i większego napięcia. A im
więcej prądu, tym więcej ciepła trzeba
odprowadzić z układu.

Dla tych, którzy skorzystają z fer−

rytowego rdzenia kubkowego od dła−
wika, mam następującą radę: proszę
uważać przy uruchamianiu układu.
Jeżeli nastawy regulatora będą źle
dobrane, to system może wpaść
w oscylację. Mogą się one zakończyć
skruszeniem ferrytowego rdzenia, który jest
dość delikatny, a siła, z jaką uderza kulka,
jest spora.

Ja na początku wybrałem wersję „ciepłą”.

W trakcie prac jak najbardziej udało mi się
zbudować działający system, który jednak
nie wytrzymał próby czasowej. Po kilku
minutach karkas uległ stopieniu, a uzwojenie
zniszczeniu. Przykre doświadczenie uświa−
domiło mi, że trzeba wybrać elektromagnes,
który zniesie ciężkie warunki pracy, od 80 do
100 stopni i to przez kilkanaście tygodni.
Wybrałem drut o średnicy 0,8mm i w wyniku
otrzymałem cewkę o małej oporności i nie−
zbyt dużej indukcyjności, ale za to dużej
wytrzymałości. Średnia wartość prądu wyno−
si ok. 2A, ale napięcie można pobierać
z transformatora 220V/12V. Kulka natomiast
waży prawie 0,1kg i ma średnicę 25mm.

Najmniej krytyczny jest czujnik położe−

nia. Ja wybrałem wersję optyczną, czyli pod−
czerwoną diodę LED (IRED) i analogiczny
fototranzystor. Oba elementy są umieszczo−
ne w ramie podtrzymującej elektromagnes
po przeciwnych stronach, jak widać na foto−
grafii 1.

Rysunek 2 przedstawia kluczowe frag−

menty układu elektronicznego: zasilacz, ste−
rownik elektromagnesu i czujnik optyczny.
Położenie kulki decyduje o napięciu na foto−
tranzystorze i stąd już prosta droga do
mikrokontrolera. Na rysunku tym nie zazna−
czono mikrokontrolera sterującego, ponie−
waż w pierwszej wersji system był sterowa−
ny przez komputer z kartą przetworników
A/C, C/A. Zamiast mikrokontrolera czy

komputera można też
zastosować odpowiedni
regulator analogowy.

Ciekawy może być

dla Czytelników układ
kontroli prądu – wzmac−
niacz prądowy. Działanie
jest bardzo proste i raczej
znane, gdyż często stosu−
je się to w subwooferach.
Wzmacniacz operacyjny
sterując pracą tranzystora
mocy stara się wyrównać
napięcie na wejściach.

Zatem podane na wejście
dodatnie napięcie z mikro−
kontrolera zostanie prze−
kształcone na napięcie na
oporniku pomiarowym.
Zważywszy na „okrągłą”
wartość rezystancji po−
miarowej, otrzymuje się
układ, gdzie prąd płyną−
cy przez cewkę jest
równy co do wartości
napięciu sterującemu.

Rezystor ten i tranzy−

stor muszą być koniecz−
nie umieszczone na radia−
torze i to sporym. Przez
te elementy wydziela się
w stanie nominalnym
30W ciepła, które trzeba
odprowadzić.

Zdziwienie może

budzić to, że zabezpie−
czenie przeciwprzepię−
ciowe w postaci diody
zawiera również 10−
omowy opornik mocy.
W momencie zatkania
tranzystora cewka rozła−
duje się przez zabezpie−
czenie, przy czym stała
czasowa układu RL jest
ponad 5 razy mniejsza
niż układu pracy. Pozwa−
la to na lepszą kontrolę
przepływu prądu. Bez
opornika cewka rozładuje

16

Projekty AVT

M a j 2 0 0 4 E l e k t r o n i k a d l a W s z y s t k i c h

Fot. 1

Rys. 2

Fot. 2

się prawie natychmiast, a nie o to chodzi.
Wtedy trzeba ponownie ją naładować, a na to
może zabraknąć czasu i kulka spadnie.

Czy można to zrobić inaczej? Zapewne

tak, lecz ja wybrałem takie rozwiązanie
i w obecnej chwili mogę powiedzieć, że się
sprawdziło. Wadą, i to poważną, jest to, że
źródło prądowe pracuje w sposób ciągły,
a tym samym duża część energii jest prze−
kształcana w ciepło. Można się pokusić
o wykonanie wersji dyskretnej na wzór prze−
twornic impulsowych, ale to już wyzwanie
dla Czytelników.

Cześć elektroniczna została umieszczona

w obudowie z tworzywa sztucznego wraz ze
wspomnianym transformatorem o mocy
50W, co zapewnia niewielki zapas mocy.
Wygląd modelu od przodu pokazuje fotogra−
fia 2.

Mikrokontroler

Opiszę teraz serce mojego systemu, czyli
maleńki mikrokontroler ATtiny15L. Ponie−
waż był on wykorzystany niejako w zastęp−
stwie sterownika komputerowego, więc nie
znalazł się na schemacie części elektronicz−
nej układu. Jest to ośmionóżkowy układ
wyposażony m. in. w przetwornik analogo−
wo−cyfrowy oraz wyjście PWM. Te dwie
właściwości wystarczają w zupełności do
sterowania lewitacją kulki. Wadą jest brak
pamięci RAM na zmienne, co wymaga moc−
nego okrojenia algorytmu – dotyczy to głów−
nie wyznaczania prędkości.

Zastosowana formuła sterowania zakłada

znajomość położenia i prędkości. W rzeczy−
wistości regulator ma dostęp jedynie do
pomiaru położenia. Aby wyznaczyć brakują−
cą prędkość, można skorzystać z jednej
z dwóch metod. Pierwsza to nieliniowy
obserwator, który został zastosowany
w budowanym pierwotnie komputerze wypo−
sażonym w kartę przetwornika. Działał bez
zarzutu, oferując dużą stabilność i bardzo dużą
odporność na zakłócenia. Bez problemu praco−
wał nawet w przypadku, gdy zasilanie czujni−
ka położenia było zakłócone z sieci o amplitu−
dzie 1V. Niestety jego wykorzystanie wymaga
obliczeń, które przekraczają możliwości
mikrokontrolera. W takim wypadku trzeba się−
gnąć po wręcz prymitywną metodę wyznacza−
nia prędkości ze wzoru różnicowego:

Potrzebna jest tylko znajomość dwóch

kolejnych położeń kulki i czas między
pomiarami. Wzór jest prosty, jednak jego
konsekwencje znaczące. Najważniejszą
wadą (jak i każdego wzoru różnicowego) jest
wzmacnianie szumów, ponieważ wzór różni−
cowy jest niczym innym jak filtrem górno−
przepustowym. W związku z tym pojawia

się duża wrażliwość na zakłócenia. Jak się
objawia taka wrażliwość? Mniejszą stabilno−
ścią układu, np. po mocniejszym puknięciu
w wiszącą kulkę może ona spaść. W podob−
nej sytuacji nieliniowy obserwator bez pro−
blemu sprowadzał układ do równowagi.
Przebieg prądu w układzie po zaburzeniu
pokazuje rysunek 4. Jak widać, w praktyce
regulator potrzebuje znacznie dłuższego
czasu na ustabilizowanie układu, niż to
wynika z symulacji.

Skoro już problem prędkości jest rozwią−

zany, trzeba zająć się wyjściem układu. Źró−
dło prądowe jest sterowane sygnałem cią−
głym, a mikrokontroler nie dysponuje ukła−
dem C/A. Aby ominąć tę niedogodność, sko−
rzystałem z generatora PWM i dołączonego
obwodu RC o odpowiedniej stałej czasowej.
Na kondensatorze wartość średnia napięcia
jest proporcjonalna do szerokości impulsu
z generatora. Przebieg wyjściowy ma w rze−
czywistości charakter zbliżony do trójkątne−
go, jednak mała amplituda oscylacji oraz
duża częstotliwość nie mają tak znaczącego
wpływu na stabilność.

W modelu do sterowania użyto mikrokon−

trolera, a wcześniej – komputera. Układ
regulatora można też zbudować nie w opar−
ciu o układy cyfrowe, tylko analogowe. Dla
wielu Czytelników realizacja analogowa
z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego
może okazać się znacznie łatwiejsza niż
cyfrowa. W przypadku regulatora analogo−

wego można też spróbować dobrać parame−
try metodą prób i błędów.

Tylko dla dociekliwych
i zaawansowanych

Chcąc kompleksowo rozwiązać problemy i
świadomie dobrać parametry układu sterują−
cego, trzeba wykorzystać zależności mate−
matyczne i opracować matematyczny model
systemu. W takim przypadku po wybraniu
elektromagnesu i cewki należy zdjąć jej cha−
rakterystykę indukcyjności w funkcji położe−
nia. Ja za miarę położenia przyjąłem odle−
głość kulki od rdzenia elektromagnesu, co
ułatwia pomiary. Następnie z wykorzysta−
niem Matlaba (lub innego narzędzia) trzeba
sprawdzić, czy parametry modelu nam odpo−
wiadają (np. czy napięcie zasilające mieści
się w rozsądnych granicach) i zbudować
resztę układu.

Punktem wyjścia do opracowania regula−

tora jest stworzenie modelu układu, zbadanie
jego właściwości, a następnie dobranie
nastaw regulatora. Aby stworzyć model,

należy odwołać się do praw
fizycznych rządzących zacho−
waniem się układu. Jak wspo−
mniałem wcześniej, na kulkę
działa siła grawitacji i działają−
ca w przeciwną stronę siła
przyciągania elektromagne−
tycznego. Wypadkowa tych sił
podzielona przez masę kulki
daje jej przyśpieszenie. Kolej−
ne przekształcenia można
zapisać następująco:

gdzie

Wzór na siłę przyciągania elektromagne−

tycznego można znaleźć w książkach lub
wyprowadzić samemu ze wzoru na energię
zmagazynowaną w cewce. Chcę zwrócić
uwagę na fakt, iż indukcyjność elektroma−
gnesu jest zmienna, zależna od położenia
kulki. Skąd wziąć tę zależność? Wyznaczyć
doświadczalnie np. z wykorzystaniem impul−
su napięciowego. Po wykonaniu kilku

17

Projekty AVT

E l e k t r o n i k a d l a W s z y s t k i c h M a j 2 0 0 4

Rys. 3

Rys. 4

pomiarów należy przybliżyć zależność
wybraną krzywą. W moim przypadku najlep−
sza okazała się funkcja wykładnicza, która
się ładnie różniczkuje.

Siła przyciągania jest proporcjonalna do

pochodnej indukcyjności, czyli do kąta
nachylenia stycznej do indukcyjności. Z dru−
giej strony siła jest proporcjonalna do kwa−
dratu prądu. Sprawia to, że układ jest silnie
nieliniowy i bardzo czuły na zmianę położe−
nia kulki.

Mając już równanie różniczkowe układu,

można przystąpić do analizy modelu. Można
zauważyć, że jedyną metodą sterowania jest
regulacja przepływu prądu. W tym miejscu
chciałbym zaznaczyć przewagę źródła prądo−
wego, które samo pilnuje wartości prądu.
W przypadku źródła napięciowego trzeba
dodać do równania ruchu równanie opisujące
przepływ prądu, co komplikuje zagadnienie.

Sterując zatem przepływem prądu, steruje−

my tym samym przyśpieszeniem, a zatem
tylko pośrednio położeniem kulki. Aby uzy−
skać powiązanie położenia z pozostałymi para−
metrami, należy skorzystać z faktu, że pręd−
kość to pochodna położenia, co prowadzi do
następującego układu równań różniczkowych:

Wprowadzając oznaczenia

Można zapisać wcześniejsze równanie

w sposób najbardziej zwięzły jako równanie
stanu obiektu:

Powyższy układ operuje na wektorze zło−

żonym z położenia i prędkości. Są to dwa
parametru układu, które są niezbędne do
wyznaczenia prądu sterującego. Wejściem do
tego równania jest natężenie prądu.

Oczywiście nie polecam rozwiązywania

tego układu w sposób analityczny, choć
można to zrobić. Teoria sterowania układów
dynamicznych nieliniowych jest bardziej zło−
żona niż układów linowych, a poza tym nie
ma potrzeby strzelania z armaty do muchy.
Lepiej jest skorzystać z układu liniowego
i dużo prostszej teorii. Aby tego dokonać,
należy zlinearyzować układ nieliniowy
w otoczeniu punktu równowagi. Przez punkt
równowagi rozumiemy tę część przestrzeni

stanu, gdzie pochodna wektora będzie się
zerować:

Wystarczy zatem rozwiązać prawą część

równania. Do tego potrzeba jednak znajomo−
ści położenia równowagi.

Trzeba zatem zdecydować, gdzie kulka

ma wisieć i jaką ma tam mieć prędkość. Ja
wybrałem położenie równe 2 mm od rdzenia
elektromagnesu, a prędkość w tym punkcie
oczywiście musi być równa 0. W ten sposób
można wyznaczyć wartość prądu i

e

w stanie

równowagi, co jest potrzebne do pełnego
wyznaczenia sterowania. Żeby nie zasypy−
wać Czytelnika w tym miejscu procedurą
linearyzacji, podam od razu gotową formułkę
na wyznaczenie macierzy układu zlinearyzo−
wanego.

a równanie układu ma postać

Ktoś może spytać, po co to wszystko?

Dlatego, że w tym miejscu możemy już
skorzystać z gotowej teorii sterowania, z któ−
rej wynika, że wartości własne macierzy A
muszą być położone na lewo od osi urojonej,
a jeśli nie są, to należy je przesunąć z wyko−
rzystaniem macierzy sprzężenia zwrotnego f
od stanu układu x.

Dla powyższego układu macierz f ma

postać:

Co prowadzi do prostego wzoru na stero−

wanie, czyli prąd niezbędny w danej chwili,
aby sprowadzić kulkę do położenia równo−
wagi. Ostateczne rozwiązanie sprowadza się
do zsumowania iloczynów odchylenia poło−
żenia kulki od punktu równowagi przez stałą
a oraz prędkości kulki przez stałą b, plus prąd
punktu równowagi:

Dobierania stałych a i b nie robi się ręcz−

nie, ale korzysta zazwyczaj z gotowych pro−
cedur przesuwania wartości własnych np.

Matlaba. Jednak stałe te muszą być bardzo
dobrze dobrane, gdyż są czułym punktem
układu. Wykorzystana przeze mnie teoria
odnosi się do układów ciągłych, a realizacja
odbywa się w dyskretnych chwilach czasu.
Nie chciałem jednak korzystać z dyskretnych
układów liniowych, ponieważ wymaga to
dodania jeszcze jednego parametru w postaci
częstotliwości próbkowania. Przy budowaniu
prototypu jest to zbyteczne obciążenie.

Korzystanie z regulatora ciągłego ma sens

przy odpowiednio częstym wyznaczaniu
nowego prądu sterowania. Mój układ mógł
być minimalnie aktualizowany co 4 ms, ale
znajdował się już na granicy stabilności.
Rozsądna wielkość to 1 ms, a więc nie jest to
interwał, w którym można pozwolić sobie na
opóźnienia.

Poza tym przy dobieraniu cewek i kulek

(te dwa elementy muszą być dobrane wspól−
nie, a nie osobno!) trzeba ponownie zmieniać
wszystkie nastawy. Oczywiście nikomu nie
polecam liczenia wszystkiego na piechotę i
udostępnię model stworzony w Simulinku
oraz procedurę wyznaczania całego modelu
i nastaw w Matlabie. Wystarczy tylko zmie−
nić współczynniki i wykonać program,
a następnie sprawdzić, jak będzie zachowy−
wał się model układu przy zadanym zakłóce−
niu. Rysunek 5 pokazuje przykładowy prze−
bieg położenia i prędkości jako odpowiedź
na zaburzenie położenia (+1 mm).

Rys. 5

Podsumowanie

Przyglądając się wyprowadzonemu wzorowi
na sterowanie

niektórzy stwierdzą, że jest to nic innego jak
najzwyklejszy regulator typu PD (propor−
cjonalno−różniczkujący), który w sposób
analogowy można zrealizować na jednym
wzmacniaczu operacyjnym. Tak też jest rze−
czywiście.

Po co zatem cały ten wywód, skoro osta−

teczny algorytm wyznaczania sterowania jest
tak banalny? Odpowiedź jest prosta – dla
zrozumienia, że za prostą z pozoru regułą ste−
rowania kryje się poważna teoria.

18

Projekty AVT

M a j 2 0 0 4 E l e k t r o n i k a d l a W s z y s t k i c h

Mimo że chodzi o zwykły regulator PD,

nie polecam dobierania nastaw metodą prób
i błędów. Może się to po prostu nie udać albo
też wyniki będą słabe. Dla uzyskania opty−
malnego efektu trzeba zbadać parametry
modelu i odpowiednio dobrać współczynniki
regulatora.

A czy można zastosować jeszcze prostszy

regulator P (proporcjonalny) z wykorzysta−
niem wzmacniacza o dużym wzmocnieniu?
W zasadzie tak. W takim wypadku otrzyma−
my jednak układ o charakterze oscylacyj−
nym, głównie z uwagi na bezwładność
i opóźnienia. Amplituda tych oscylacji może
przekroczyć zakres stabilności i kulka spad−
nie.

Na pewno nie powiedzie się natomiast

wykorzystanie jeszcze prostszego regulatora
dwupołożeniowego.

W przypadku tego układu krytycznym

punktem jest znajomość prędkości. Prawi−
dłowo dobrany regulator oprócz sprowadze−
nia położenia do równowagi stara się wyha−
mować kulkę przed sprowadzeniem do rów−
nowagi. Zbyt duża prędkość np. przy wyko−
rzystaniu regulatora typu P spowoduje, że

kulka przeleci punkt równowagi. Jej zbyt
duża prędkość będzie skutecznym środkiem
zapobiegawczym przed jej powrotem. Jest to
również wytłumaczenie dla powstawania
oscylacji przy takim regulatorze.

Niektóre zagadnienia związane z tym sys−

temem potraktowałem bardzo powierzchow−
nie, ponieważ nie sposób omówić ich w arty−
kule. Poza tym zapewne nie przekonam
wszystkich, że trzeba dokładnie opracować
regulator. Tacy Czytelnicy zechcą przekonać
się o właściwościach systemu metodą ekspe−
rymentalną (i może wtedy przekonają się do
głębszych analiz). Bardziej zainteresowani
sami sięgną po odpowiednią literaturę.

Ja w niniejszym artykule chciałem przy−

bliżyć wszystkim, w jaki sposób można zbu−
dować układ magnetycznej lewitacji. Jak
widać, sam układ nie należy do skompliko−
wanych, jednak optymalne jego wyregulo−
wanie wymaga powiązania ze sobą wiado−
mości z wielu dziedzin. Tym, którzy zdecy−
dują się na samodzielną budowę, radzę się
nie poddawać po pierwszych niepowodze−
niach, bo jak pokazuje także fotografia 3,
efekt naprawdę jest wart włożonej pracy.

Daniel Lewandowski

[e-mail]

19

Projekty AVT

E l e k t r o n i k a d l a W s z y s t k i c h M a j 2 0 0 4

Fot. 3