1

Zadanie A

Rozpisz równania zgodnie ze wzorem (1) dla trzech linii (z punktu A do B, C i D)

korzystaj

ą

c z danych tabeli 1. Wykorzystaj swoje dane do podstawienia odpowiednich

warto

ś

ci dla

α

i odkształce

ń

dla ka

ż

dej linii. Poniewa

ż

potrzebne s

ą

trzy równania dla

rozwi

ą

zania układu równa

ń

z trzema niewiadomymi, dlatego wystarczy wykorzysta

ć

zwykł

ą

metod

ę

rozwi

ą

zania celem wyznaczenia 3 składowych (

xx

ε

,

xy

ε

,

yy

ε

). Lecz tak

naprawd

ę

mamy 6 równa

ń

, które wi

ążą

dane z parametrami odkształce

ń

. Jednak, mamy

jedynie 3 nieznane parametry modelu. Je

ś

li mamy wi

ę

cej równa

ń

ni

ż

niewiadomych, to

wówczas mamy układ nadokre

ś

lony. Nie istnieje dokładne rozwi

ą

zanie takiego układu

równa

ń

, jako przykład mo

ż

na poda

ć

sytuacj

ę

, w której około 10 punktów danych układa

si

ę

na wykresie w przybli

ż

eniu wzdłu

ż

linii prostej. Dwa punkty okre

ś

laj

ą

poło

ż

enie prostej

i je

ś

li 10 punktów nie jest współliniowych, to

ż

adna prosta nie zostanie wpasowana

dokładnie w te punkty. Mamy wówczas 10 równa

ń

(10 punktów), lecz mamy jedynie 2

parametry modelu (współczynnik kierunkowy prostej oraz wyraz wolny). Wyst

ę

puje

niesko

ń

czenie wiele linii prostych -rozwi

ą

za

ń

zadania, wi

ę

c nale

ż

y wprowadzi

ć

dodatkowe

kryteria dla uzyskania rozwi

ą

zania, które b

ę

dzie „najlepszym”. Okre

ś

lenie współczynnika

kierunkowego dla takiej prostej odpowiada wielko

ś

ci odkształce

ń

z czasowych zmian

długo

ś

ci linii obserwacyjnych w zadaniu powy

ż

ej. W tym sensie problem odkształce

ń

jest

zbli

ż

ony – mamy układ nadokre

ś

lony, lecz równania napr

ęż

e

ń

nie przedstawiaj

ą

prostych.

Je

ś

li przeanalizowane zostan

ą

jedynie wyniki z linii AB, to uzyskany informacja o

odkształceniach

b

ę

dzie

miała

charakter

przybli

ż

ony.

Bardziej

sensowne

jest

przeanalizowanie wszystkich mo

ż

liwych kombinacji (układów równa

ń

) i wł

ą

czenie do

analizy wszystkich danych, celem wyznaczenia odkształce

ń

. Je

ż

eli dane wynikowe s

ą

jako

ś

ciowo (w sensie uzyskanych dokładno

ś

ci pomiarów) równowa

ż

ne, to mo

ż

liwe jest

zastosowanie niewa

ż

onej metody najmniejszych kwadratów, która mo

ż

e by

ć

zastosowana

do rozwi

ą

zania układów równa

ń

. W przypadku wyników pomiarów o ró

ż

nej dokładno

ś

ci ta

metoda ma równie

ż

zastosowanie, lecz nale

ż

y wprowadzi

ć

odpowiedni współczynnik

(wag

ę

). Waga okre

ś

la stopie

ń

zaufania dla danego pomiaru (metody pomiarowej) a jej

zastosowanie przypisanie wi

ę

kszego prawdopodobie

ń

stwa wynikom uzyskanych z

pomiarów o wi

ę

kszej dokładno

ś

ci. Zakładaj

ą

c,

ż

e uzyskane dane wynikowe s

ą

o tej samej

wadze wówczas dla tego podej

ś

cia mamy układ równa

ń

(nale

ż

y zauwa

ż

y

ć

,

ż

e wyniki

dotycz

ą

raczej pr

ę

dko

ś

ci odkształce

ń

ni

ż

samego odkształcenia):

2

2

2

xx

1

xy

1

1

yy

1

2

2

xx

2

xy

2

2

yy

2

2

2

xx

3

xy

3

3

yy

3

2

2

xx

4

xy

4

4

yy

4

L1/ L1 =

cos

+ 2

sin cos

+

sin

L2/ L2 =

cos

+ 2

sin

cos

+

sin

L3/ L3 =

cos

+ 2

sin

cos

+

sin

L4/ L4 =

cos

+ 2

sin

cos

+

sin

ε

α

ε

α

α ε

α

ε

α

ε

α

α

ε

α

ε

α

ε

α

α

ε

α

ε

α

ε

α

α

ε

α

∆
∆
∆
∆

W postaci macierzy:

Słownie mamy:

[macierz współczynników] [macierz parametrów modelu] =

[macierz danych]

elementy tensora pr

ę

dko

ś

ci odkształcenia wielko

ś

ci odkształce

ń

W problemie odwrotnym ta forma macierzowa cz

ę

sto przedstawiana jest postaci: Gm = d,

gdzie G reprezentuje macierz współczynników, m - macierz współczynników modelu, d –

macierz danych. Macierze m i d s

ą

nazywane zwykle wektorami, poniewa

ż

składaj

ą

si

ę

jedynie z jednej kolumny. Nale

ż

y pami

ę

ta

ć

o zasadach mno

ż

enia macierzy (ka

ż

dy

element wiersza macierzy współczynników musi zosta

ć

przemo

ż

ony przez odpowiedni

element kolumny macierzy parametrów modelu). Liczba kolumn macierzy współczynników

odpowiada liczbie niewiadomych (parametry modelu) i liczna wierszy macierzy

współczynników odpowiada liczbie równa

ń

. Zadanie wprost rozpoczyna si

ę

od

wprowadzenia parametrów modelu (m) i wykorzystuje model (równania przedstawione w

macierzy współczynników) dla rozwi

ą

zania prognozy, która okre

ś

la jakie b

ę

d

ą

wyniki d.

Je

ż

eli na przykład znamy 3 składowe odkształcenia, to mo

ż

emy przewidywa

ć

zmian

ę

długo

ść

jakiejkolwiek z linii zorientowanej przy jakimkolwiek k

ą

cie

α

. W przypadku zadania

odwrotnego procedura rozpoczyna si

ę

od wprowadzenia danych d i wykorzystuje ona

model (równania) do jak najlepszego oszacowania parametrów modelu m. W naszym

przypadku obliczane s

ą

pr

ę

dko

ś

ci zmian długo

ś

ci linii i estymacja składowych pr

ę

dko

ś

ci

odkształce

ń

, które s

ą

zwi

ą

zane z tymi zmianami długo

ś

ci. Zadanie odwrotne jest

oczywi

ś

cie trudniejsze od zadania wprost.

Je

ś

li w przypadku zadania odwrotnego Gm = d mamy dokładnie t

ą

sam

ą

liczb

ę

równa

ń

i

niewiadomych i je

ś

li równania te s

ą

niezale

ż

ne, wówczas mo

ż

na rozwi

ą

za

ć

układ równa

ń

poprzez odnalezienie odwrotno

ś

ci macierzy G:

m = G

-1

d, gdzie (G)G-1 = (G

-1

)G = macierz jednostkowa

Wyznaczaj

ą

c G

-1

umo

ż

liwia wyznaczenie m.

3

W rozpatrywanym przypadku mamy 6 równa

ń

i 3 niewiadome. Fizyczna interpretacja tej

sytuacji jest taka,

ż

e nie ma jednoznacznego rozwi

ą

zania, który b

ę

dzie dokładnie

odpowiadał wprowadzonym danym. Macierzowa interpretacja tej sytuacji jest taka,

ż

e nie

mo

ż

na znale

źć

G

-1

(nie wszystkie macierze maj

ą

odwrotno

ść

). Metoda najmniejszych

kwadratów pozwala na wybranie rozwi

ą

zania m

est

, które minimalizuje sum

ę

kwadratów

reszt, która jest kwadratem ró

ż

nic pomi

ę

dzy pomierzonymi i obliczonymi pr

ę

dko

ś

ciami

odkształce

ń

. St

ą

d piszemy m z indeksem est (od słowa estymowa

ć

), co wyra

ż

a,

ż

e nie

istnieje pojedyncze rozwi

ą

zanie m. Zapis zagadnienia pr

ę

dko

ś

ci odkształce

ń

, który nale

ż

y

zminimalizowa

ć

:

(

)

(

)

(

)

2

2

2

xx

1

xy

1

1

yy

1

2

2

2

xx

2

xy

2

2

yy

2

2

2

2

xx

3

xy

3

3

yy

3

2

xx

4

xy

4

4

L1/ L1 –

cos

+ 2

sin cos

+

sin

L2/ L2 –

cos

+ 2

sin

cos

+

sin

L3/ L3 –

cos

+ 2

sin

cos

+

sin

L4/ L4 –

cos

+ 2

sin

cos

ε

α

ε

α

α ε

α

ε

α

ε

α

α

ε

α

ε

α

ε

α

α

ε

α

ε

α

ε

α

α





∆

+









∆

+









∆

+





∆

(

)

2

2

yy

4

+

sin

...

ε

α





+





Ka

ż

dy z powy

ż

szych wierszy równania reprezentuje reszty – ró

ż

nice pomi

ę

dzy

rzeczywistymi wynikami pomiaru i warto

ś

ciami, które s

ą

oczekiwane dla wybranego

modelu (zamodelowanych parametrów) m

est

. Je

ż

eli rozpisana zostanie macierz sumy

kwadratów bł

ę

dów a nast

ę

pnie zostanie wyznaczone minimum tej funkcji bł

ę

dów i

rozwi

ą

zanie m

est

na podstawie:

m

est

= (G

T

G)

-1

G

T

d

gdzie: G

T

– macierz transponowana

macierzy G. Transpozycja G jest wyznaczona

przez zamian

ę

wierszy i kolumn – wiersze G staj

ą

si

ę

kolumnami G

T

.

Nale

ż

y rozpisa

ć

macierze G i d dla rozwi

ą

zania problemu bazuj

ą

c na wynikach pomiarów.

Nast

ę

pnie (G

T

G)

-1

G

T

mo

ż

na wyznaczy

ć

łatwo korzystaj

ą

c np. z programów (np. Matlab lub

program Działania Macierzowe, do którego podany jest link).

Nast

ę

pnie nale

ż

y rozpisa

ć

rozwi

ą

zanie m

est

(3 składowe tensora odkształce

ń

) poprzez

wykonanie mno

ż

enia macierzy:

(

)

-1

T

T

est

L1/ L1

L2/ L2

L3/ L3

L4/ L4

...

∆









∆



 



=









∆









∆





G G

G

m

Korzystaj

ą

c z podanych wcze

ś

niej danych i wzorów wyznacz składowe

(

xx

ε

,

xy

ε

,

yy

ε

) dla ka

ż

dego z punktów A, B, C, D w kolejnych sesjach pomiarowych. Nale

ż

y

przyj

ąć

pierwszy pomiar jako bazowy (rok 1966) i wzgl

ę

dem wyników pomiarów długo

ś

ci

z tej sesji wyznacza

ć

okresowe zmiany długo

ś

ci a nast

ę

pnie odkształce

ń

poszczególnych

4

linii pomiarowych (AB, AC, AD, BC, BD…..i równie

ż

BA, CA….- razem 12 analizowanych

odcinków). Wyniki nale

ż

y przedstawi

ć

w formie tabelarycznej podaj

ą

c warto

ś

ci

(

xx

ε

,

xy

ε

,

yy

ε

) dla poszczególnych linii i sesji pomiarowych.

Zadanie B – Opracowanie wyników bada

ń

odkształce

ń

liniowych ich interpretacja

Wykonaj graficzn

ą

prezentacj

ę

wyników wraz z krótk

ą

interpretacj

ą

poszczególnych

rozkładów uzyskanych w poprzednim zadaniu. Uwaga: w przypadku wszystkich wykresów

nale

ż

y pami

ę

ta

ć

o podpisywaniu wszystkich osi. Nale

ż

y poda

ć

informacj

ę

o wielko

ś

ci i

jednostce (np. długo

ść

[m]). W przypadku map nale

ż

y poda

ć

informacj

ę

o skali i kierunku

północy lub w przypadku stosowania współrz

ę

dnych przy opisie osi poda

ć

informacj

ę

o

układzie współrz

ę

dnych, np. lokalny układ współrz

ę

dnych (x [m],y [m]). Równie

ż

w tym

przypadku prosz

ę

okre

ś

li

ć

graficznie kierunek północy (z uwagi na brak informacji o

parametrach tego układu).

1. Wykonaj wykres odkształce

ń

(składowe kierunkowe odkształcenia oraz

odkształcenia

całkowite

jako

pierwiastek

sumy

kwadratów

xx

ε

i

yy

ε

)

w poszczególnych latach dla poszczególnych punktów (prosz

ę

zachowa

ć

skal

ę

dla

osi x wykresu). Przykład wykresu dla odkształce

ń

w punkcie A:

warto

ś

ci odkształce

ń

wyznaczonych

dla punkty A w poszczegolnych latach

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

19

67

19

69

19

71

19

73

19

75

19

77

19

79

19

81

lata

o

d

k

s

z

ta

łc

e

n

ie

[m

m

/m

]

exx

eyy

ecałkowite

2. Wykonaj map

ę

izolinii całkowitych odkształce

ń

wyznaczonych w poszczególnych

punktach. Uwaga: w celu wykonania mapy (w lokalnym układzie współrz

ę

dnych)

nale

ż

y wykorzysta

ć

podane długo

ś

ci i azymuty oraz przyj

ąć

pocz

ą

tek lokalnego

układu współrz

ę

dnych w punkcie C. Przeanalizuj rozkład izolinii i podaj krótki

komentarz. W tym podej

ś

ciu przestawione s

ą

tylko warto

ś

ci odkształce

ń

a ilustracja

graficzna prezentuje rejony minimalnych i maksymalnych deformacji.

3. Wykonaj map

ę

wektorow

ą

. Nale

ż

y wyznaczy

ć

rozkład wektorów odkształcenia

wykorzystuj

ą

c obliczone wcze

ś

niej współrz

ę

dne płaskie punktów A, B, C i D oraz

obliczone składowe kierunkowe

xx

ε

i

yy

ε

. W tym celu najwygodniej wykona

ć

interpolacj

ę

dla ww. składowych oddzielnie a nast

ę

pnie wygenerowa

ć

map

ę

5

wektorow

ą

(np. w programie Surfer). Prosz

ę

skomentowa

ć

graficzny obraz z tym,

który wykonano w poprzednim zadaniu. Przykład takiej mapy:

0

2 0

40

60

8 0

100

120

0

20

40

60

80

1 00

1 20

1 40

1 60

1 80

2 00

4. Wykonaj wykres biegunowy przyjmuj

ą

c odpowiednio za k

ą

t i promie

ń

:

a)

azymut danego boku, dla którego wyznaczane było odkształcenie oraz

warto

ść

tego odkształcenia dL/L. Na jednym wykresie prosz

ę

przestawi

ć

rozkłady odkształce

ń

dla punktów A, B, C, D dla wszystkich lat ł

ą

cznie,

b)

azymut wektora odkształcenia wyznaczonego w danym punkcie oraz

warto

ść

wektora (pierwiastek sumy kwadratów

xx

ε

i

yy

ε

) oraz jego

składowych (

xx

ε

i

yy

ε

). Azymut nale

ż

y wyznaczy

ć

na podstawie

składowych kierunkowych wektora. Na jednym wykresie prosz

ę

przedstawi

ć

rozkłady ww. składowych i warto

ś

ci całkowitej wektora dla

wszystkich lat. Przykład tego typu wykresu:

Porównaj i skomentuj przedstawione graficznie wyniki.

0

45

90

135

180

225

270

315

azymut [

o

]

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

odkształcenie[mm/m]

Legenda

e

xx

e

yy

e

całk

6

Zadanie C – Opracowanie wyników bada

ń

odkształce

ń

k

ą

towych ich interpretacja

Problematyka wyznaczania ruchu uskokowego na podstawie pomiarów k

ą

towych

była omowiona w ramach jednego z referatów. W tej metodzie prosz

ę

skorzysta

ć

z

informacji zawartych w pracy:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreepPage.html#Anchor-Measurement-23522

Nale

ż

y zwróci

ć

uwag

ę

na przebieg celowej wzgl

ę

dem uskoku i zastosowa

ć

odpowiednie

obliczenia:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreep_Models_Figs/Measurements.gif

lub

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreep_Models_Figs/MeasureCorrected.gif

Prosz

ę

przyj

ąć

α

= 80°+0.1*n° (patrz rysunek sieci badawczej!)

W zwi

ą

zku z powy

ż

szym prosz

ę

zwróci

ć

uwag

ę

na informacje dot. przebiegu celowych (*

line crosses fault) zawarte w dzienniku pomiarowym (sekundy wykraczaj

ą

ce poza warto

ść

60 podane s

ą

dla czytelno

ś

ci zapisu tabelarycznego, chocia

ż

troch

ę

to kuriozalne):

Zadanie C1. Prosz

ę

wyznaczy

ć

pr

ę

dko

ść

ruchu na podstawie wzorów podanych w:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreepPage.html#Anchor-Measurement-23522

7

Zadanie C2. Korzystaj

ą

c z wcze

ś

niej podanych informacji i wzorów wyznacz składowe

(

xx

ε

,

xy

ε

,

yy

ε

) na podstawie wyników pomiarów k

ą

towych przedstawionych w poni

ż

szej

tabeli. Prosz

ę

analizowa

ć

zmiany k

ą

ta w mierze radianowej. Wyniki nale

ż

y przedstawi

ć

w

formie tabelarycznej oraz graficznej. Nale

ż

y porównywa

ć

te wyniki z wynikami z zadania B

oraz opracowa

ć

rezultaty w formie graficznej. Prosz

ę

dobra

ć

wg uznania metod

ę

graficzn

ą

(wykres, mapa).

Prosz

ę

równie

ż

przedstawi

ć

swoj

ą

interpretacj

ę

otrzymanych rezultatów. Wyja

ś

nij

jak wyniki z pomiarów k

ą

towych maj

ą

si

ę

do tych wyznaczonych z pomiarów liniowych.

Dla zainteresowanych wi

ę

cej o pomiarach przemieszcze

ń

w rejonach uskokow

metodami klasycznymi:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreepPage.html

Zadanie D – Okre

ś

lenie parametrów ruchu uskokowego na podstawie danych

GPS ze stacji monitoruj

ą

cych

Pobierz swoje dane ze stacji zgodnie z kluczem wynikaj

ą

cym ze swojego numeru n.

Opracuj tabel

ę

z tymi danymi: stacja, składowe kierunkowe wektora pr

ę

dko

ś

ci S-N, W-E,

składowa wysoko

ś

ciowa. Nast

ę

pnie opracuj tabel

ę

z pr

ę

dko

ś

ciami ró

ż

nicowymi dla

poszczególnych par, analogicznie jak w przypadku zadania A. Np.:

Linia

Azymut [°]

Odległo

ść

[km]

Odkształcenie [%/r]

stacja P213-stacja P216

….

Odkształcenie liczymy wg wzoru podanym w opisie

ć

wiczenia, natomiast pozostałe dane

wg znanych wzorów (uwaga: współrz

ę

dne s

ą

na elipsoidzie a nie na płaszczy

ź

nie, wi

ę

c

prosz

ę

odpowiednio azymuty! Ostatecznie mo

ż

na przyj

ąć

podane współrz

ę

dne jako

sferyczne i bł

ą

d b

ę

dzie tu mało istotny). Nast

ę

pnie podobnie jak w zadaniu A i B

powtarzamy procedur

ę

. Na pocz

ą

tku nale

ż

y wyznaczy

ć

analitycznie parametry tensora

odkształcenia na podstawie rachunku macierzowego i metody najmniejszych kwadratów,

teraz jednak dysponujemy u

ś

rednionymi danymi z wielu lat i mamy tylko jeden okres. W

przypadku cz

ęś

ci interpretacyjnej wystarczy wykona

ć

wykres odkształce

ń

dla

poszczególnych kierunków (najlepiej posortowany rozkład wg azymutów), map

ę

rozkładu

odkształce

ń

(mo

ż

e by

ć

w Gogle Earth po wyeksportowaniu z Surfera do formatu kmz)

oraz diagram odkształce

ń

wzgl

ę

dem azymutów. Prosz

ę

poda

ć

kierunek główny

8

odkształcenia i skomentowa

ć

wyniki oraz zrobi

ć

krótk

ą

analiz

ę

porównawcz

ą

z wynikami

uzyskanymi w poprzednich zadaniach.

Zadanie E – Okre

ś

lenie parametrów ruchu uskokowego (tylko dla

zainteresowanych)

Korzystaj

ą

c z wyników analizy numerycznej i graficznego opracowania tych

wyników wyznacz przyjmuj

ą

c warto

ść

całkowit

ą

zrzutu z (tj. dla całego okresu bada

ń

–

1996-1982) równ

ą

25 mm: warto

ść

ś

lizgu biegowego (S

b

) uskoku Haywarda w

rozpatrywanym okresie czasu (1966-1982), warto

ść

ś

lizgu upadowego S

u

i warto

ść

ś

lizgu całkowitego S

c

tego uskoku. Uwaga: wyznaczenie ww. parametrów nale

ż

y

rozpocz

ąć

od wyznaczenia S

b

, które nale

ż

y wyznaczy

ć

wykorzystuj

ą

c wyznaczon

ą

maksymaln

ą

warto

ść

przemieszczenia na danym kierunku i odniesienia tej warto

ś

ci

do wyznaczonego kierunku (azymutu) maksymalnych deformacji. Dysponuj

ą

c

składow

ą

wektora maksymalnego przemieszczenia (tzn. ta maksymalna wyznaczona z

pomiarów na danym kierunku) oraz kierunek tego wektora nale

ż

y wyznaczy

ć

trygonometrycznie warto

ść

szacowanych maksymalnego przemieszczenia (tj. na

kierunku głównym, czyli na kierunku wektora maksymalnego przemieszczenia).

Pozostałe parametry mo

ż

na wyznaczy

ć

dysponuj

ą

c warto

ś

ciami S

b

i z (patrz na

poni

ż

szy rysunek).

Na podstawie wyznaczonych parametrów oraz orientacji płaszczyzny uskoku podaj jego

rodzaj

z

uwagi

na

znane

Ci

klasyfikacje

(lub

na

podstawie:

http://www.geol.agh.edu.pl/~zask/studenci/wyklady/jm_kartografia_w3.pdf).