Projekt 2 - Zadania

Zadanie A

Rozpisz równania zgodnie ze wzorem (1) dla trzech linii (z punktu A do B, C i D)

korzystaj

c z danych tabeli 1. Wykorzystaj swoje dane do podstawienia odpowiednich

warto

ci dla

i odkształce

dla ka

dej linii. Poniewa

potrzebne s

trzy równania dla

rozwi

zania układu równa

z trzema niewiadomymi, dlatego wystarczy wykorzysta

zwykł

metod

rozwi

zania celem wyznaczenia 3 składowych (

). Lecz tak

naprawd

mamy 6 równa

, które wi

ążą

dane z parametrami odkształce

. Jednak, mamy

jedynie 3 nieznane parametry modelu. Je

li mamy wi

cej równa

niewiadomych, to

wówczas mamy układ nadokre

lony. Nie istnieje dokładne rozwi

zanie takiego układu

równa

, jako przykład mo

na poda

sytuacj

, w której około 10 punktów danych układa

na wykresie w przybli

eniu wzdłu

linii prostej. Dwa punkty okre

laj

poło

enie prostej

i je

li 10 punktów nie jest współliniowych, to

adna prosta nie zostanie wpasowana

dokładnie w te punkty. Mamy wówczas 10 równa

(10 punktów), lecz mamy jedynie 2

parametry modelu (współczynnik kierunkowy prostej oraz wyraz wolny). Wyst

puje

niesko

czenie wiele linii prostych -rozwi

zadania, wi

c nale

y wprowadzi

dodatkowe

kryteria dla uzyskania rozwi

zania, które b

dzie „najlepszym”. Okre

lenie współczynnika

kierunkowego dla takiej prostej odpowiada wielko

ci odkształce

z czasowych zmian

długo

ci linii obserwacyjnych w zadaniu powy

ej. W tym sensie problem odkształce

jest

zbli

ony – mamy układ nadokre

lony, lecz równania napr

ęż

nie przedstawiaj

prostych.

li przeanalizowane zostan

jedynie wyniki z linii AB, to uzyskany informacja o

odkształceniach

dzie

miała

charakter

przybli

ony.

Bardziej

sensowne

jest

przeanalizowanie wszystkich mo

liwych kombinacji (układów równa

) i wł

czenie do

analizy wszystkich danych, celem wyznaczenia odkształce

. Je

eli dane wynikowe s

jako

ciowo (w sensie uzyskanych dokładno

ci pomiarów) równowa

ne, to mo

liwe jest

zastosowanie niewa

onej metody najmniejszych kwadratów, która mo

e by

zastosowana

do rozwi

zania układów równa

. W przypadku wyników pomiarów o ró

nej dokładno

ci ta

metoda ma równie

zastosowanie, lecz nale

y wprowadzi

odpowiedni współczynnik

(wag

). Waga okre

la stopie

zaufania dla danego pomiaru (metody pomiarowej) a jej

zastosowanie przypisanie wi

kszego prawdopodobie

stwa wynikom uzyskanych z

pomiarów o wi

kszej dokładno

ci. Zakładaj

e uzyskane dane wynikowe s

o tej samej

wadze wówczas dla tego podej

cia mamy układ równa

(nale

y zauwa

e wyniki

dotycz

raczej pr

dko

ci odkształce

samego odkształcenia):

L1/ L1 =

cos

+ 2

sin cos

sin

L2/ L2 =

cos

+ 2

sin

cos

sin

L3/ L3 =

cos

+ 2

sin

cos

sin

L4/ L4 =

cos

+ 2

sin

cos

sin

α ε

∆
∆
∆
∆

W postaci macierzy:

Słownie mamy:

[macierz współczynników] [macierz parametrów modelu] =

[macierz danych]

elementy tensora pr

dko

ci odkształcenia wielko

ci odkształce

W problemie odwrotnym ta forma macierzowa cz

sto przedstawiana jest postaci: Gm = d,

gdzie G reprezentuje macierz współczynników, m - macierz współczynników modelu, d –

macierz danych. Macierze m i d s

nazywane zwykle wektorami, poniewa

składaj

jedynie z jednej kolumny. Nale

y pami

o zasadach mno

enia macierzy (ka

element wiersza macierzy współczynników musi zosta

przemo

ony przez odpowiedni

element kolumny macierzy parametrów modelu). Liczba kolumn macierzy współczynników

odpowiada liczbie niewiadomych (parametry modelu) i liczna wierszy macierzy

współczynników odpowiada liczbie równa

. Zadanie wprost rozpoczyna si

wprowadzenia parametrów modelu (m) i wykorzystuje model (równania przedstawione w

macierzy współczynników) dla rozwi

zania prognozy, która okre

la jakie b

wyniki d.

eli na przykład znamy 3 składowe odkształcenia, to mo

emy przewidywa

zmian

długo

ść

jakiejkolwiek z linii zorientowanej przy jakimkolwiek k

cie

. W przypadku zadania

odwrotnego procedura rozpoczyna si

od wprowadzenia danych d i wykorzystuje ona

model (równania) do jak najlepszego oszacowania parametrów modelu m. W naszym

przypadku obliczane s

dko

ci zmian długo

ci linii i estymacja składowych pr

dko

odkształce

, które s

zwi

zane z tymi zmianami długo

ci. Zadanie odwrotne jest

oczywi

cie trudniejsze od zadania wprost.

li w przypadku zadania odwrotnego Gm = d mamy dokładnie t

sam

liczb

równa

niewiadomych i je

li równania te s

niezale

ne, wówczas mo

na rozwi

układ równa

poprzez odnalezienie odwrotno

ci macierzy G:

m = G

-1

d, gdzie (G)G-1 = (G

-1

)G = macierz jednostkowa

Wyznaczaj

c G

-1

umo

liwia wyznaczenie m.

W rozpatrywanym przypadku mamy 6 równa

i 3 niewiadome. Fizyczna interpretacja tej

sytuacji jest taka,

e nie ma jednoznacznego rozwi

zania, który b

dzie dokładnie

odpowiadał wprowadzonym danym. Macierzowa interpretacja tej sytuacji jest taka,

e nie

na znale

źć

-1

(nie wszystkie macierze maj

odwrotno

ść

). Metoda najmniejszych

kwadratów pozwala na wybranie rozwi

zania m

est

, które minimalizuje sum

kwadratów

reszt, która jest kwadratem ró

nic pomi

dzy pomierzonymi i obliczonymi pr

dko

ciami

odkształce

. St

d piszemy m z indeksem est (od słowa estymowa

), co wyra

e nie

istnieje pojedyncze rozwi

zanie m. Zapis zagadnienia pr

dko

ci odkształce

, który nale

zminimalizowa

(

)

(

)

(

)

L1/ L1 –

cos

+ 2

sin cos

sin

L2/ L2 –

cos

+ 2

sin

cos

sin

L3/ L3 –

cos

+ 2

sin

cos

sin

L4/ L4 –

cos

+ 2

sin

cos

α ε





∆









∆









∆





∆

(

)

sin

...









dy z powy

szych wierszy równania reprezentuje reszty – ró

nice pomi

dzy

rzeczywistymi wynikami pomiaru i warto

ciami, które s

oczekiwane dla wybranego

modelu (zamodelowanych parametrów) m

est

. Je

eli rozpisana zostanie macierz sumy

kwadratów bł

dów a nast

pnie zostanie wyznaczone minimum tej funkcji bł

dów i

rozwi

zanie m

est

na podstawie:

est

= (G

-1

gdzie: G

– macierz transponowana

macierzy G. Transpozycja G jest wyznaczona

przez zamian

wierszy i kolumn – wiersze G staj

kolumnami G

Nale

y rozpisa

macierze G i d dla rozwi

zania problemu bazuj

c na wynikach pomiarów.

Nast

pnie (G

-1

na wyznaczy

łatwo korzystaj

c np. z programów (np. Matlab lub

program Działania Macierzowe, do którego podany jest link).

Nast

pnie nale

y rozpisa

rozwi

zanie m

est

(3 składowe tensora odkształce

) poprzez

wykonanie mno

enia macierzy:

(

)

-1

est

L1/ L1

L2/ L2

L3/ L3

L4/ L4

...

∆









∆



 











∆









∆





G G

Korzystaj

c z podanych wcze

niej danych i wzorów wyznacz składowe

(

) dla ka

dego z punktów A, B, C, D w kolejnych sesjach pomiarowych. Nale

przyj

ąć

pierwszy pomiar jako bazowy (rok 1966) i wzgl

dem wyników pomiarów długo

z tej sesji wyznacza

okresowe zmiany długo

ci a nast

pnie odkształce

poszczególnych

linii pomiarowych (AB, AC, AD, BC, BD…..i równie

BA, CA….- razem 12 analizowanych

odcinków). Wyniki nale

y przedstawi

w formie tabelarycznej podaj

c warto

(

) dla poszczególnych linii i sesji pomiarowych.

Zadanie B – Opracowanie wyników bada

odkształce

liniowych ich interpretacja

Wykonaj graficzn

prezentacj

wyników wraz z krótk

interpretacj

poszczególnych

rozkładów uzyskanych w poprzednim zadaniu. Uwaga: w przypadku wszystkich wykresów

nale

y pami

o podpisywaniu wszystkich osi. Nale

y poda

informacj

o wielko

ci i

jednostce (np. długo

ść

[m]). W przypadku map nale

y poda

informacj

o skali i kierunku

północy lub w przypadku stosowania współrz

dnych przy opisie osi poda

informacj

układzie współrz

dnych, np. lokalny układ współrz

dnych (x [m],y [m]). Równie

w tym

przypadku prosz

okre

graficznie kierunek północy (z uwagi na brak informacji o

parametrach tego układu).

1. Wykonaj wykres odkształce

(składowe kierunkowe odkształcenia oraz

odkształcenia

całkowite

jako

pierwiastek

sumy

kwadratów

)

w poszczególnych latach dla poszczególnych punktów (prosz

zachowa

skal

dla

osi x wykresu). Przykład wykresu dla odkształce

w punkcie A:

warto

ci odkształce

wyznaczonych

dla punkty A w poszczegolnych latach

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

lata

łc

]

exx

eyy

ecałkowite

2. Wykonaj map

izolinii całkowitych odkształce

wyznaczonych w poszczególnych

punktach. Uwaga: w celu wykonania mapy (w lokalnym układzie współrz

dnych)

nale

y wykorzysta

podane długo

ci i azymuty oraz przyj

ąć

pocz

tek lokalnego

układu współrz

dnych w punkcie C. Przeanalizuj rozkład izolinii i podaj krótki

komentarz. W tym podej

ciu przestawione s

tylko warto

ci odkształce

a ilustracja

graficzna prezentuje rejony minimalnych i maksymalnych deformacji.

3. Wykonaj map

wektorow

. Nale

y wyznaczy

rozkład wektorów odkształcenia

wykorzystuj

c obliczone wcze

niej współrz

dne płaskie punktów A, B, C i D oraz

obliczone składowe kierunkowe

. W tym celu najwygodniej wykona

interpolacj

dla ww. składowych oddzielnie a nast

pnie wygenerowa

map

wektorow

(np. w programie Surfer). Prosz

skomentowa

graficzny obraz z tym,

który wykonano w poprzednim zadaniu. Przykład takiej mapy:

2 0

8 0

100

120

1 00

1 20

1 40

1 60

1 80

2 00

4. Wykonaj wykres biegunowy przyjmuj

c odpowiednio za k

t i promie

azymut danego boku, dla którego wyznaczane było odkształcenie oraz

warto

ść

tego odkształcenia dL/L. Na jednym wykresie prosz

przestawi

rozkłady odkształce

dla punktów A, B, C, D dla wszystkich lat ł

cznie,

azymut wektora odkształcenia wyznaczonego w danym punkcie oraz

warto

ść

wektora (pierwiastek sumy kwadratów

) oraz jego

składowych (

). Azymut nale

y wyznaczy

na podstawie

składowych kierunkowych wektora. Na jednym wykresie prosz

przedstawi

rozkłady ww. składowych i warto

ci całkowitej wektora dla

wszystkich lat. Przykład tego typu wykresu:

Porównaj i skomentuj przedstawione graficznie wyniki.

135

180

225

270

315

azymut [

]

-0.4

-0.2

0.2

0.4

odkształcenie[mm/m]

Legenda

całk

Zadanie C – Opracowanie wyników bada

odkształce

towych ich interpretacja

Problematyka wyznaczania ruchu uskokowego na podstawie pomiarów k

towych

była omowiona w ramach jednego z referatów. W tej metodzie prosz

skorzysta

informacji zawartych w pracy:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreepPage.html#Anchor-Measurement-23522

Nale

y zwróci

uwag

na przebieg celowej wzgl

dem uskoku i zastosowa

odpowiednie

obliczenia:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreep_Models_Figs/Measurements.gif

lub

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreep_Models_Figs/MeasureCorrected.gif

Prosz

przyj

ąć

= 80°+0.1*n° (patrz rysunek sieci badawczej!)

W zwi

zku z powy

szym prosz

zwróci

uwag

na informacje dot. przebiegu celowych (*

line crosses fault) zawarte w dzienniku pomiarowym (sekundy wykraczaj

ce poza warto

ść

60 podane s

dla czytelno

ci zapisu tabelarycznego, chocia

troch

to kuriozalne):

Zadanie C1. Prosz

wyznaczy

dko

ść

ruchu na podstawie wzorów podanych w:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreepPage.html#Anchor-Measurement-23522

Zadanie C2. Korzystaj

c z wcze

niej podanych informacji i wzorów wyznacz składowe

(

) na podstawie wyników pomiarów k

towych przedstawionych w poni

szej

tabeli. Prosz

analizowa

zmiany k

ta w mierze radianowej. Wyniki nale

y przedstawi

formie tabelarycznej oraz graficznej. Nale

y porównywa

te wyniki z wynikami z zadania B

oraz opracowa

rezultaty w formie graficznej. Prosz

dobra

wg uznania metod

graficzn

(wykres, mapa).

Prosz

równie

przedstawi

swoj

interpretacj

otrzymanych rezultatów. Wyja

nij

jak wyniki z pomiarów k

towych maj

do tych wyznaczonych z pomiarów liniowych.

Dla zainteresowanych wi

cej o pomiarach przemieszcze

w rejonach uskokow

metodami klasycznymi:

http://funnel.sfsu.edu/creep/WhatsCreepPage.html

Zadanie D – Okre

lenie parametrów ruchu uskokowego na podstawie danych

GPS ze stacji monitoruj

cych

Pobierz swoje dane ze stacji zgodnie z kluczem wynikaj

cym ze swojego numeru n.

Opracuj tabel

z tymi danymi: stacja, składowe kierunkowe wektora pr

dko

ci S-N, W-E,

składowa wysoko

ciowa. Nast

pnie opracuj tabel

z pr

dko

ciami ró

nicowymi dla

poszczególnych par, analogicznie jak w przypadku zadania A. Np.:

Linia

Azymut [°]

Odległo

ść

[km]

Odkształcenie [%/r]

stacja P213-stacja P216

….

Odkształcenie liczymy wg wzoru podanym w opisie

wiczenia, natomiast pozostałe dane

wg znanych wzorów (uwaga: współrz

dne s

na elipsoidzie a nie na płaszczy

nie, wi

prosz

odpowiednio azymuty! Ostatecznie mo

na przyj

ąć

podane współrz

dne jako

sferyczne i bł

d b

dzie tu mało istotny). Nast

pnie podobnie jak w zadaniu A i B

powtarzamy procedur

. Na pocz

tku nale

y wyznaczy

analitycznie parametry tensora

odkształcenia na podstawie rachunku macierzowego i metody najmniejszych kwadratów,

teraz jednak dysponujemy u

rednionymi danymi z wielu lat i mamy tylko jeden okres. W

przypadku cz

ęś

ci interpretacyjnej wystarczy wykona

wykres odkształce

dla

poszczególnych kierunków (najlepiej posortowany rozkład wg azymutów), map

rozkładu

odkształce

(mo

e by

w Gogle Earth po wyeksportowaniu z Surfera do formatu kmz)

oraz diagram odkształce

wzgl

dem azymutów. Prosz

poda

kierunek główny

odkształcenia i skomentowa

wyniki oraz zrobi

krótk

analiz

porównawcz

z wynikami

uzyskanymi w poprzednich zadaniach.

Zadanie E – Okre

lenie parametrów ruchu uskokowego (tylko dla

zainteresowanych)

Korzystaj

c z wyników analizy numerycznej i graficznego opracowania tych

wyników wyznacz przyjmuj

c warto

ść

całkowit

zrzutu z (tj. dla całego okresu bada

–

1996-1982) równ

25 mm: warto

ść

lizgu biegowego (S

) uskoku Haywarda w

rozpatrywanym okresie czasu (1966-1982), warto

ść

lizgu upadowego S

i warto

ść

lizgu całkowitego S

tego uskoku. Uwaga: wyznaczenie ww. parametrów nale

rozpocz

ąć

od wyznaczenia S

, które nale

y wyznaczy

wykorzystuj

c wyznaczon

maksymaln

warto

ść

przemieszczenia na danym kierunku i odniesienia tej warto

do wyznaczonego kierunku (azymutu) maksymalnych deformacji. Dysponuj

składow

wektora maksymalnego przemieszczenia (tzn. ta maksymalna wyznaczona z

pomiarów na danym kierunku) oraz kierunek tego wektora nale

y wyznaczy

trygonometrycznie warto

ść

szacowanych maksymalnego przemieszczenia (tj. na

kierunku głównym, czyli na kierunku wektora maksymalnego przemieszczenia).

Pozostałe parametry mo

na wyznaczy

dysponuj

c warto

ciami S

i z (patrz na

poni

szy rysunek).

Na podstawie wyznaczonych parametrów oraz orientacji płaszczyzny uskoku podaj jego

rodzaj

uwagi

znane

klasyfikacje

(lub

podstawie:

http://www.geol.agh.edu.pl/~zask/studenci/wyklady/jm_kartografia_w3.pdf).