Zjawisko indukcji magnetycznej

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Politechniki Rzeszowskiej

Podstawy Fizyki

Halliday, Resnick i Walker

Rozdział 31

Wektor indukcji magnetycznej

wytwarzany przez element prądu

0

2

ˆ

I

d

.

4

r

µ

×

=

π

ds r

B

0

2

ˆ

Id

4

r

µ

×

=

π

∫

s r

B

Zastosujemy twierdzenie Ampère’a. Wybierzemy

kontur całkowania abcd w formie prostokąta z

kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek

zegara. Długość boku prostokąta || do granicy

solenoidu wynosi h. Kontur obejmuje obszar na

zewnątrz solenoidu – bez pola i obszar w jego

wnętrzu, gdzie B≠0.

Kontur całkowania

Przyjmijmy, że gęstość zwojów wynosi n m

-1

.

Wybrany kontur obejmuje nh zwojów. Natężenie

prądów I

P

przechodzących przezeń równe jest Inh.

Z twierdzenia Ampère’a otrzymujemy

0 0

0

0

Bh = µ I = µ nhI

B = µ nI (idealny solenoid).

⇒

Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole

magnetyczne jest jednorodne i nie zależy od jego

ś

rednicy ani od długości.

b

a

Bh

=

∫

∫

Bds =

Bds



Magnes spoczywa – przez cewkę

prąd nie płynie

HRW Podstawy Fizyki t. 3, R. 31

Magnes porusza się

w stronę cewki

pojawia się w niej prąd

Szybszy ruch magnesu względem

cewki generuje w niej prąd

o większym natężeniu

Gdy magnes oddala się od cewki

płynie w niej prąd w przeciwną stronę

Gdy to pętla porusza się względem

magnesu – także jest w niej generowany

prąd elektryczny

.

Wniosek: zmieniające się pole

magnetyczne generuje prąd w pętli.

Czy poruszająca się pętla z prądem

generuje prąd w drugiej nieruchomej

pętli?

Poruszająca się pętla z prądem

generuje prąd w nieruchomej pętli

Pętla z prądem jest dipolem

magnetycznym. Gdy zmienia się

natężenie prądu płynącego w

nieruchomej pętli, to natężenie pola

magnetycznego dipola zmienia się.

Możemy oczekiwać, że taki

nieruchomy dipol generuje prąd

w drugiej, nieruchomej pętli.

Nieruchomy dipol, w którym płynie prąd

zmieniający się w czasie generuje prąd

w drugiej, nieruchomej pętli

Dwie, równoległe przewodzące pętle znajdują się
w pewnej odległości od siebie. Gdy zamkniemy
klucz S włączając prąd w lewej pętli, to miernik, do
którego podłączona jest prawa pętla, wykaże
pojawienie się nagłego, lecz krótkotrwałego prądu,
płynącego w przeciwnym kierunku w porównaniu
z kierunkiem prądu w lewej pętli. Zaobserwujemy
prąd indukowany tylko wtedy, gdy natężenie prądu
w lewej pętli zmienia się. Stały prąd płynący
w lewej pętli nie wzbudza prądu indukowanego
i SEM w lewej pętli.

Obserwacje

•

Prąd pojawia się, jeżeli magnes i pętla poruszają się

względem siebie. Prąd znika, kiedy one nie poruszają
się.
• Szybszy ruch wytwarza prąd o większym natężeniu.
• Ruch magnesu do przodu powoduje prąd płynący
w przeciwnym kierunku, niż powstający podczas
ruchu do tyłu.
• Zmiana bieguna wsuwanego do pętli powoduje
zmianę kierunku płynięcia prądu.

Prąd indukowany

Prąd wytwarzany w pętli w wyniku ruchu magnesu
nazywamy prądem indukowanym. Pracę przypadająca
na jednostkowy ładunek, wykonaną w celu wytworze-
nia prądu (czyli ruchu elektronów przewodnictwa,
które tworzą ten prąd) nazywamy indukowaną siłą
elektromotoryczną (SEM).

Zjawisko wytwarzania prądu i SEM nazywamy
zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej.

Prawo indukcji Faraday’a

Michael Faraday zauważył, że indukowany
prąd w pętli pojawia się wtedy, gdy liczba linii
sił pola magnetycznego przechodząca przez
pętlę ulega zmianie. Istotna jest nie sama
liczba linii sił pola magnetycznego, lecz
szybkość zmiany ich liczby.

Liczba linii sił pola przechodzących przez
powierzchnię określa strumień pola magnetycznego.

Doświadczenia z

magnesem sztabkowym

W pierwszym z trzech doświadczeń linie sił
pola magnetycznego wychodzą z bieguna
północnego. W miarę zbliżania albo oddalania
magnesu do pętli liczba linii sił pola magnety-
cznego przechodzących przez jej powierzchnię
rośnie albo maleje. Ta zmiana wprawia w ruch
elektrony. Gdy zatrzymamy magnes liczba linii
sił pola magnetycznego przechodząca przez
powierzchnie pętli ustala się. Indukowany prąd
przestaje płynąć.

Doświadczenia z dwoma pętlami

0

3

µ

I(t)

(t)

(prawo Biota - Savarta).

4π

r

=

ds × r

dB

W doświadczeniach z pętlą, w której prąd płynący
zmienia się z upływem czasu, narastające natężenie
prądu powoduje wzrastające (czyli zmieniające się
w czasie) pole magnetyczne. Element pętli
wytwarza pole

ds

Przypomnienie: pole prędkości cieczy

na powierzchni ramki

Jednorodny strumień cieczy płynącej z
prędkością .

v

S ,

jest wektorem do powierzchni ramki,

= 1.

⊥

⋅

S = n n

n n

S – pole powierzchni ramki, przez którą płynie ciecz.

W każdym punkcie powierzchni
ramki można zadać wektor prędkości.

Wektor pola ramki:

(

)

v cos

S

.

Φ =

θ = ⋅

v S

Jest to także objętość cieczy przepływającej w ciągu
1 s przez ramkę. Szybkość

Φ

przepływu cieczy przez

powierzchnię ramki nazywamy strumieniem wektora
prędkości.

Jeżeli wektor prędkości cieczy tworzy z wektorem
ramki kąt

θ

, to strumień przez powierzchnię ramki

równy jest

Strumień przez powierzchnię ramki

Strumień można określić dla

dowolnego pola wektorowego

Ogólnie: gdy zadamy pole wektorowe to
możemy zadać strumień

Φ

Ω

wektora przez

powierzchnię S.

)

(

r

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Strumień pola elektrycznego 1

Powierzchnia S znajduje się w polu elektrycznym .
Rozpatrzymy strumień pola elektrycznego przez powierzchnię S.

( )

E r

Kąt pomiędzy wektorami i
jest rozwarty:

d

Φ

1

<0

.

1

n

1

E

1

E

1

n

- wektor prostopadły do elementu dS

1

- wektor pola elektrycznego w
obszarze elementu dS

1

.

2

n

- wektor prostopadły do elementu

dS

2

.

2

E

- wektor pola elektrycznego w

obszarze elementu dS

2

.

,

0

<

1

1

n E

1

E

dS

1

dS

2

1

n

2

E

S

2

n

Kąt pomiędzy wektorami
jest ostry:

d

Φ

Φ

Φ

Φ

2

>0

.

,

2

2

n E > 0

Strumień pola elektrycznego 2

Płat powierzchni S można podzielić na małe obszary: dS

1

, dS

2

, ...,

dS

N

. Na każdym z nich wektor pola elektrycznego uważamy za stały.

Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię S

N

N

N

( N)

S

j

j

j

j

j

j

j 1

j 1

j 1

d

dS .

=

=

=

Φ =

Φ =

=

∑

∑

∑

E dS

E n

(N)

S

S

Φ

⇒

Φ

Strumień przez każdy z elementów może być dodatni, ujemny albo
równy 0, jeżeli wektory n

j

, E

j

są prostopadłe.

Gdy liczba małych obszarów dąży do

∞

, to - prawdziwego

strumienia, gdzie

( )

S

S

S

S

d

dS

d

Φ =

Φ =

⋅

∫

∫

∫

nE =

S E

Strumień magnetyczny

Wprowadzimy strumień magnetyczny

Φ

B

przez powierzchnię S:

.

B

S

Φ =

∫

BdS

Jednostka strumienia magnetycznego:

tesla

××××

m

2

≡≡≡≡

1 weber.

Przykład

Pętla leży w pewnej płaszczyźnie, a wektory indukcji
magnetycznej niech będą do niej prostopadłe.

o

= BdScos0 = BdS ,

BdS

B

S

S

Φ

B dS = BS

(

pole

jednorodne).

=

=

∫

∫

BdS

B || n,

B

Prawo Faraday’a

Wartość SEM

E

indukowanej w przewodzącej pętli

jest równa szybkości, z jaką strumień magnetyczny
przechodzący przez tę pętlę zmienia się w czasie

Jeżeli zmieniamy strumień pola magnetycznego
w cewce złożonej z N zwojów, to prąd pojawia się
w każdym ze zwojów i całkowita SEM jest sumą SEM
indukowanych w każdym ze zwojów. Całkowita SEM
indukowana w cewce:

B

d

= -N

(cewka o N zwojach).

dt

Φ

E

B

= -d

/ dt .

Φ

E

Heinrich Friedrich Emil Lenz

Ur. 12 lutego 1804 w Tartu w Estonii,
zm. W Rzymie 10 lutego 1865 r., był
bałtyckim Niemcem. Największym
jego osiągnięciem było sformułowanie
w 1833 r. prawa nazwanego od jego
nazwiska. W 1820 r. Lenz rozpoczął
studia na uniwersytecie w Tartu (fizyka
i chemia).

Heinrich Friedrich Emil Lenz

Razem z Otto von Kotzebue uczestniczył w podróży
dookoła Świata (w latach 1823-1826). Podczas tej
ekspedycji prowadził badania klimatu i własności
fizycznych wody morskiej. Po zakończeniu podróży
rozpoczął pracę na Uniwersytecie w St. Petersburgu.
W latach 1840-1863 był dziekanem wydziału
Matematyki i Fizyki tego Uniwersytetu. W 1831 r.
rozpoczął badania w dziedzinie elektromagnetyzmu.
Oprócz prawa Lenza niezależnie w 1842 r. odkrył
prawo nazwane później prawem Joule’a .

Reguła Lenza

Prąd indukowany płynie w takim kierunku,
aby pole magnetyczne wytworzone przez
ten prąd przeciwdziałało zmianie
strumienia pola magnetycznego, która ten
prąd indukuje.

N

S

Zasada działania gitary elektrycznej

Pętla z prądem jest magnesem (dipolem
magnetycznym). Strona, z której wychodzą
linie odpowiada biegunowi N, strona, do której
linie wchodzą odpowiada biegunowi S.

Pętla z prądem jest magnesem

Reguła Lenza

Prąd o natężeniu I, indukowany w pętli, ma taki kierunek, że pole
magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwdziała zmianie pola
magnetycznego . (a) i (c) wektor indukcji jest skierowany
przeciwnie do wzrastającego wektora . (b) i (d) wektor jest
zgodny z kierunkiem malejącego wektora .

I

B

B

I

B

B

I

B

B

Z prawej strony
zbliżamy N

Z prawej strony
zbliżamy S

Z prawej strony
oddalamy N

Z prawej strony
oddalamy S

Reguła Lenza 1

rosnie

B

r

Z prawej strony zbliżamy N Z prawej strony oddalamy N

Reguła Lenza 2

Z prawej strony zbliżamy S Z prawej strony oddalamy S

Praca i SEM związana z przesunięciem

prostokątnej ramki w polu magnetycznym

Prostokątna przewodząca
ramka jest wyciągana ze
stałą prędkością z
obszaru, w którym
istnieje jednorodne pole
magnetyczne . Niech

będzie siłą. Szybkość

P z jaką jest wykonywana
praca (moc) wynosi

P=Fv.

v

B

F

SEM i natężenie prądu związanego z przesunięciem

prostokątnej ramki w polu magnetycznym

Chwilowa wartość strumienia
magnetycznego:

B

Φ

(x) = BS = BLx

Indukowana siła

elektromotoryczna:

(

)

B

dΦ

d

= -

= -

BLx =

dt

dt

dx

= -BL

= -BLv.

dt

E

Obwód zastępczy ramki

R jest całkowitym oporem ramki

E jest indukowaną siłą
elektromotoryczną

Natężenie indukowanego prądu:I= /R= BLv/R

E

Szybkość wykonywania pracy

= I

F

L × B

o

1

2

2

F = ILBsin90 = ILB =

BLv

B L v

ILB = LB

R

R

=

Siły działające na boki ramki: F

1

,

F

2

, F

3

określa wzór:

Tylko siła wykonuje
pracę. Jej wielkość

1

F

2

2

2

1

B L v

P = F v =

.

R

Wkłady F

2

i F

3

do

pracy kompensują
się

Szybkość wykonywania pracy przez

siłę, która porusza ramkę

w polu magnetycznym

2

2

2

1

P = F v = B L v / R .

Szybkość Q wydzielania energii termicznej w ramce
podczas jej wyciągania z obszaru pola
magnetycznego:

2

2

2

2

2

BLv

B L v

Q

I R

R

R

R





=

=

=

=









P.

Praca wykonywana podczas przesuwania ramki w polu
magnetycznym w całości zamienia się na jej energię
termiczną.

Pole elektryczne indukowane

w pierścieniu

Pole magnetyczne zajmuje cylindryczny obszar o
promieniu R. Pierścień metaliczny ma promień r

(r<R).

Strumień indukcji rośnie ze stałą szybkością.

Strumień pola magnetycz-
nego wewnątrz pierścienia
rośnie ze stałą szybkością.

Pojawia się SEM

W pierścieniu płynie prąd.

Płynie prąd – istnieje pole elektryczne,

które porusza naładowane cząstki.

Zmienne pole magnetyczne wytwarza

zmienne pole elektryczne.

Pole elektryczne jest indukowane nawet

wtedy gdy nie ma pierścienia!

Cylinder został zamieniony na kontur

o promieniu r, dB/dt>0

Pole magnetyczne
o rosnącym natężeniu
indukuje pole
elektryczne o symetrii
osiowej, styczne do
konturu.

Ż

aden z konturów nie jest wyróżniony:

r

≤

R

Zależność SEM od konturu

(SEM)

1

=(SEM)

2

>(SEM)

3

(SEM)

4

=0

Nowe sformułowanie prawa Faradaya

Cząstka o ładunku q

0

porusza się po torze kołowym.

Praca W wykonana nad cząstką przez indukowane
pole elektryczne podczas jednego okrążenia:

( )( )

0

W

d

q E

2 r .

=

=

π

∫

F s

E jest siłą elektromotoryczną.

Praca wykonywana przez

indukowane pole elektryczne

podczas jednego okrążenia:

W=Eq

0

.

( )( )

0

d

q E

2 r .

=

=

π

∫

F s

Eq

0

E=2

π

rE

Nowe sformułowanie prawa

Faradaya – konsekwencje

Uogólnienie

( )( )

0

W

d

q E

2 r .

=

=

π

∫

F s

Prawa strona:

( )( )

0

0

q E

2 r

q

d .

π

⇒

∫

E s



d .

=

∫

E s



E

0

q

d .

=

∫

E s



q

0

E

Interpretacje pojęcia SEM

• Praca wykonana nad ładunkiem jednostkowym
w celu podtrzymania prądu indukowanego przez
zmienny strumień magnetyczny

Indukowana siła elektromotoryczna:

• Praca wykonana nad cząstką o ładunku jednostko-
wym poruszającą się po torze zamkniętym
w zmiennym polu magnetycznym.

• Całka po konturze zamkniętym iloczynu skalarnego
wektora pola elektrycznego indukowanego przez
zmienne pole magnetyczne i elementu konturu.

E

ds

Prawo Faraday’a

B

d

d

.

dt

Φ

= −

∫

E s



B

= -d

/ dt .

Φ

E

E

d

=

∫

E s



Zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne.

Prawo Faraday’a można stosować do dowolnego
konturu zamkniętego.

Przykładowe wybory konturu

(SEM)

1

=(SEM)

2

>(SEM)

3

(SEM)

4

=0

Nowe spojrzenie na

potencjał elektryczny

• Linie sił indukowanych pól elektrycznych
wytwarzanych przez zmienne pola magnetyczne
tworzą zamknięte pętle.

• Linie sił pól elektrycznych wytwarzane przez
nieruchome ładunki elektryczne nie są zamknięte –
zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą na
ładunkach ujemnych.

Potencjał elektryczny można określić tylko ładunków
statycznych. Nie można go określić dla pól
indukowanych przez zmienne pola magnetyczne.

12,14.04.2011

Dla pola elektrycznego wytwarzanego

przez statyczne ładunki

końc

końc

pocz

pocz

V

V

d .

−

= −

∫

E s

Dla ruchu po zamkniętym konturze punkty
początkowy i końcowy nie różnią się

końc

pocz

d

0

=

∫

E s

V

końc

-V

pocz

=0.

Dla pól elektrycznych wytwarzanych przez zmienne
pole magnetyczne całka po konturze = -d

Φ

B

/dt.

Indukcyjność solenoidów

Przez uzwojenie cewki o N zwojach płynie prąd o
natężeniu I i wytwarza strumień magnetyczny N

Φ

B

.

Indukcyjność cewki L:

B

N

L

.

I

Φ

=

Uzwojenie cewki jest sprzężone przez strumień. N

Φ

B

jest magnetycznym strumieniem sprzężonym.

Indukcyjność L jest magnetycznym strumieniem
sprzężonym przypadającym na jednostkę natężenia
prądu.

Henr – jednostka indukcyjności

1 henr = 1 H= 1T m

2

/A.

Jednostka strumienia magnetycznego:

tesla

⋅

m

2

Indukcyjność solenoidu

Długi solenoid o polu przekroju S. Szukamy
indukcyjności przypadającej na jednostkę długości
w pobliżu środka solenoidu.

Strumień sprzężony w wybranej części solenoidu:

( )

B

N

n (BS) ,

Φ =

l

n – gęstość zwojów, l – długość wybranego odcinka
solenoidu.

0

B

In.

= µ

( )

B

0

N

n (

InS)

Φ =

µ

l

2

B

0

N

n I S.

Φ = µ

l

Indukcyjność solenoidu

2

0

B

n I S

N

I

I

µ

Φ =

l

2

0

L

n S .

= µ

l

Indukcyjność na jednostkę długości solenoidu

2

0

L

n S .

= µ

l

Samoindukcja

Indukowana SEM E

L

pojawia się w każdej cewce,

w której natężenie prądu się zmienia. To zjawisko
nazywamy samoindukcją.

Indukcyjność sprzężona cewki:

B

N

LI.

Φ =

Z prawa Faraday’a:

(

)

B

d N

/dt

=−

Φ

E

L

LdI / dt .

= −

E

L

E

L

SEM samoindukcji

Jeżeli w dowolnej cewce,

solenoidzie, toroidzie zmienia się

w czasie natężenie prądu

to pojawia się SEM samoindukcji.

Zwrot SEM określa reguła Lenza:

SEM indukcji przeciwdziała zmianie

natężenia prądu I

a) Natężenie prądu rośnie.
W cewce indukowana jest

SEM samoindukcji E

L

o kierunku takim, że

indukowany prąd
przeciwstawia się wzrastaniu I.

b) Natężenie prądu maleje.
W cewce indukowana jest
SEM samoindukcji E

L

o kierunku takim, że
indukowany prąd
przeciwstawia się spadkowi I.

Różnica potencjału wynikająca

z samoindukcji

Nie można potencjału elektrycznego dla
indukowanego przez zmienny strumień magnetyczny
pola elektrycznego i SEM.

W przypadku SEM samoindukcji wewnątrz cewki nie
można określić potencjału elektrycznego. W punktach
obwodu po za cewką – tam, gdzie istnieją pola
wytworzone przez ładunki elektryczne – można ten
potencjał określić.

Różnica potencjału z obydwu stron cewki

wynikająca z samoindukcji

Cewka idealna (bez oporu): U

L

=E

Cewka nieidealna: obwód zastępczy zawiera SEM
samoindukcji i opornik o oporze r. Różnica
potencjałów końców cewki ≠ SEM indukcji.

Obwody RL

Równanie różniczkowe dla obwodu RL

W obwodzie zawierającym cewkę zmiana natężenia
prądu powoduje pojawienie się SEM samoindukcji. Tę
SEM należy uwzględnić stosując do obwodu 2. prawo
Kirchhoffa.

•

Na oporze R spadek: - IR,

•

W cewce indukowana SEM:

-LdI/dt.

•

SEM źródła +E

-IR-LdI/dt+E=0.

Rozwiązanie równania

różniczkowego dla obwodu RL

I(t)= E/R(1-e

-Rt/L

)

= E/R(1-e

-t/(L/R

)=

=E/R(1-

/



)

Indukcyjna stała czasowa:

τ

L

=L/R

Własności rozwiązania

Warunek początkowy: I(t=0)=0

Aby pojawiła się SEM samoindukcji natężenie prądu
musi narastać. W momencie t=0 zamykamy obwód
kluczem.

Asymptotyka (t

→∞

)

lim

→

  =

ℇ



.

Z upływem czasu natężenie prądu maleje

→

SEM

indukcji maleje i wkład do I pochodzi od SEM
ź

ródła – natężenie prądu ustalonego.

Wykres I=I(t) (prąd narasta)

Natężenie prądu I jest funkcją czasu t. Zmienną
niezależną. Jej wartości nanosimy na osi horyzontalnej
(x). Wartości I(t) nanosimy na osi wertykalnej (y).

I [

A

]

ℇ

/

-IR+LdI/dt=0.

ł



/



I

[A

]

/

Warunek początkowy: I

rozł

(t=0)=E/R

Asymptotyka:

Wykres I=I(t) (prąd maleje)

rozłączamy obwód (E=0)

lim

→



ł

=0

Energia zmagazynowana

w polu magnetycznym

I |

2

2





2

Sens wyrazów równania

2





2

ℇ =

 ℇ



=





moc źródła

I

2

R – szybkość przekształcania energii elektrycznej

w ciepło.

!

2

– szybkość gromadzenia energii pola
magnetycznego.

Energia pola magnetycznego

zgromadzona w elemencie obwodu

o indukcyjności L

/2 .

/2C.

Energia pola elektrycznego zgromadzonego

w kondensatorze

Gęstość energii pola magnetycznego

u

B

(środek solenoidu)



(

)

2

0

2

2

2

2

0

B

0

0

0

n S

nI

L

I

B

u

.

2S

2

2

2

l

µ

µ

=

=

=

=

µ

µ

µ

B

Gęstość energii pola elektrycznego:

2

B

0

u

.

2

=

ε

E

Przez pętlę # 1 płynie prąd zmienny

Jeżeli w cewce # 1
zmienia się
natężenie prądu, to
w cewce # 2
powstaje
indukowany prąd.

Jeżeli w cewce # 2
zmienia się
natężenie prądu, to
w cewce # 1
powstaje prąd
indukowany.

Przez pętlę # 2 płynie prąd zmienny

Indukcyjność wzajemna

12

2

21

1

M

N

/ I .

=

Φ

Cewka # 1, w której płynie prąd o natężeniu I

1

wytwarza strumień pola magnetycznego

Φ

12

.

Indukcyjność wzajemna cewki # 2 o N

2

zwojach

względem cewki # 1:

12 1

2

21

M I

N

.

=

Φ

Jeżeli I

1

zmienia się w czasie, to:

( )

( )

12

1

2

21

M dI

t / dt

N d

t / dt .

=

Φ

Związek z SEM indukcji

( )

( )

12

1

2

21

2

-

M dI

t / dt

N d

t / dt .

=

Φ



E

( )

2

12

1

M dI

t / dt .

= −

E

LdI / dt .

= −

E

L

Dla samoindukcji

Przez cewkę # 2 płynie prąd zmienny

( )

1

21

2

M dI

t / dt .

= −

E

Ze względu na symetrię obu sytuacji

M

12

=M

21

=M.

( )

( )

2

1

1

2

M dI

t / dt ,

M dI

t / dt .

= −

= −

E

E

Jednostką M w SI jest henr.