Geodezja satelitarna, ćwiczenia, sem. III, studia niestacjonarne
Część III – perturbacje ruchu SSZ

1

Ziemia nie jest kulą odizolowaną od innych ciał niebieskich i nie jest pozbawiona atmosfery.

Na sztucznego satelitę działają dodatkowe siły zewnętrzne. W związku z tym orbita satelity nie jest
stała. I to zarówno jej kształt jak i jej orientacja w przestrzeni są zmienne. Czynniki, które powodują
te zmiany nazywamy czynnikami zakłócającymi lub perturbującymi.

Czynniki perturbujące ruch sztucznego satelity ze względu na ich źródło można podzielić na dwie

zasadnicze grupy (najistotniejsze podkreślono):

1. Niecentryczność pola grawitacyjnego

o

wpływy grawitacyjne innych ciał niebieskich (głównie Księżyca i Słońca)

o

Niekulistość i niejednorodność mas Ziemi

ƒ spłaszczenie Ziemi
ƒ niesymetria mas Ziemi względem równika
ƒ eliptyczność równika
ƒ lokalne odchylenie od kształtu regularnego
ƒ anomalie siły ciężkości
ƒ pływy obszarów lądowych
ƒ zmiany rozkładu mas atmosfery i hydrosfery

2. Czynniki charakteru niegrawitacyjnego

o

opór atmosfery (gł. satelity niskie)

o

ciśnienie światła słonecznego (gł. satelity wysokie)

o

siły elektromagnetyczne

o

inne czynniki

ƒ promieniowanie odbite od Ziemi
ƒ pył kosmiczny
ƒ meteoryty
ƒ efekt relatywistyczny, itp.

Zmiany elementów orbit spowodowane są działaniem czynników perturbujących mogą mieć charakter
wiekowy i okresowy. Podział perturbacji ze względu na okres ich występowania:

• Perturbacje wiekowe

• Perturbacje okresowe

o

Perturbacje krótkookresowe

ƒ Okres równy okresowi obiegu satelity wokół Ziemi
ƒ Funkcje anomalii

ϑ, E, M lub okres obiegu satelity T, itp.

o

Perturbacje dobowe

ƒ Okres równy 1dobie gwiazdowej
ƒ Funkcje czasu gwiazdowego

Θ, kąta godzinnego t, itp.

o

Perturbacje długookresowe

ƒ Okres równy okresowi obiegu punktu perigeum
ƒ Funkcje argumentu perigeum

ω

Orbita perturbowana nie jest krzywą stożkową (por. orbita keplerowska). Wszystkie jej elementy
zmieniają się z upływem czasu. Satelita porusza się po orbicie keplerowskiej o stale zmieniających się
elementach. Rzeczywista orbita satelity jest zawsze ściśle styczna do coraz to innej, zmieniającej się
orbity keplerowskiej, a punktem tej styczności jest punkt w którym znajduje się satelita. Taka ciągle
zmieniająca się orbita to orbita oskulacyjna (chwilowa), a jej elementy – to elementy oskulacyjne
(chwilowe). Punkt w którym orbita rzeczywista jest styczna do oskulacyjnej – punkt oskulacji, a
moment czasu odpowiadający takiemu położeniu obu orbit w przestrzeni – moment oskulacji.
Elementy orbity oskulacyjnej są funkcjami czasu: I(t), i(t), a(t), e(t),

ω(t) oraz tp(t) (ew. M(t), E(t),

θ(t)).

i

e

a

i

i

e

e

a

a

δ

δ

δ

+

=

+

=

+

=

0

0

0

M

M

M

δ

δ

ω

ω

δ

ω

+

=

+

=

+

=

0

0

0

I

I

Geodezja satelitarna, ćwiczenia, sem. III, studia niestacjonarne
Część III – perturbacje ruchu SSZ

2

Do wyznaczenia ruchu perturbowanego służą równania Lagrange’a. Dotyczą one ruchu
perturbowanego gdy siła zakłócająca jest siłą potencjalną o potencjale U czyli gdy:

gradU

U

=

Gradient działając na pole skalarne tworzy pole wektorowe.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

=

dz

U

dy

U

dx

U

gradU

'

'

Gradient jest wielkością określającą szybkość i kierunek największej zmiany danej wielkości.

Siłę perturbującą możemy rozłożyć wzdłuż pewnych kierunków związanych z orbita satelity.
Zazwyczaj stosowane są dwa sposoby rozkładania siły perturbującej.
Pierwszy sposób (użyteczny np. dla perturbacji o charakterze grawitacyjnym)

R – wzdłuż promienia wodzącego satelity o zwrocie dodatnim w kierunku od ciała centralnego,

składowa radialna,

S – wzdłuż kierunku prostopadłego do promienia wodzącego w płaszczyźnie oskulacyjnej orbity

o zwrocie zgodnym z kierunkiem ruchu satelity, składowa transwersalna,

W – wzdłuż kierunku prostopadłego do płaszczyzny orbity oskulacyjnej o zwrocie takim, aby

układ RSW był prawoskrętny, składowa ortogonalna.

Drugi sposób (użyteczny np. dla perturbacji związanych z oporem atmosfery)

T – wzdłuż kierunku stycznego do orbity o zwrocie zgodnym z kierunkiem ruchu satelity

(składowa styczna, tangencjalna),

N – wzdłuż kierunku prostopadłego (normalnego) do orbity o zwrocie dodatnim w kierunku

ciała centralnego (składowa normalna),

W – podobnie jak poprzednio w przypadku pierwszym – wzdłuż kierunku prostopadłego do

płaszczyzny orbity o zwrocie takim, aby układ TNW był prawoskrętny (składowa
ortogonalna)

Wzory pozwalające wyznaczyć perturbacje, nazywać będziemy wzorami Gaussa. W zależności od
sposobu rozłożenia siły perturbującej mówimy o wzorach Gaussa I i II rodzaju. Wzory pierwszego
rodzaju odnoszą się do pierwszego sposobu rozłożenia siły perturbującej, wzory II rodzaju – do
drugiego.


Wzory Gaussa I rodzaju:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⋅

⋅

=

S

r

p

R

e

k

n

a

ϑ

sin

2

&

(

)

[

]

S

E

R

a

n

k

e

ϑ

ϑ

cos

cos

sin

+

+

⋅

⋅

=

&

W

k

na

u

r

i

2

cos

=

&

W

u

k

na

u

r

sin

sin

2

=

I

&

I

&

&

⋅

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

−

=

i

S

p

r

R

nae

k

cos

sin

1

cos

ϑ

ϑ

ω

S

p

r

nae

k

R

e

k

a

r

na

n

M

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

ϑ

ϑ

sin

1

cos

2

1

2

2

&

Geodezja satelitarna, ćwiczenia, sem. III, studia niestacjonarne
Część III – perturbacje ruchu SSZ

3

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⋅

=

S

r

p

R

e

k

a

n

ϑ

sin

3

&

gdzie:

2

1 e

k

−

=

Wzory Gaussa II rodzaju:

T

nk

m

a

2

=

&

(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

−

⋅

+

=

N

a

r

T

e

nam

k

e

ϑ

ϑ

sin

cos

2

&

W

k

na

u

r

i

2

cos

=

&

W

i

k

na

u

r

sin

sin

2

=

I

&

(

)

[

]

I

&

&

⋅

−

+

+

⋅

=

i

N

E

e

T

naem

k

cos

cos

sin

2

ϑ

ω

(

)

N

em

na

rk

T

em

na

e

e

r

n

M

⋅

−

+

+

−

=

ϑ

ϑ

ϑ

cos

cos

1

sin

2

2

2

2

2

&

gdzie:

ϑ

cos

2

1

2

e

e

m

+

+

=

,

2

1 e

k

−

=

Perturbacje ruchu sztucznych satelitów spowodowane spłaszczeniem Ziemi

Największe zakłócenia ruchu bliskich satelitów powoduje spłaszczenie Ziemi. Przedstawienie
potencjału grawitacyjnego Ziemi w postaci funkcji strefowych można zapisać:

(

)

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

ψ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

μ

=

∑

∞

=2

sin

1

n

n

n

e

n

P

r

a

J

r

V

Pierwszy wyraz w tym wyrażeniu przedstawia potencjał Ziemi kulistej, natomiast główny efekt
pochodzący od spłaszczenia Ziemi wyraża tzw. druga harmoniczna, tj. drugi wyraz powyższego
rozwinięcia ( dla

2

=

n

). Współczynnik drugiej harmonicznej

2

J jest związany ze spłaszczeniem

Ziemi α zależnością:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

α

=

q

J

2

1

3

2

2

gdzie:

(

)

α

−

μ

ω

=

1

3

2

e

a

q

, ω – prędkość kątowa obrotu Ziemi

Niekulistość Ziemi powoduje głównie dwa rodzaje istotnych perturbacji o charakterze wiekowym, a
mianowicie perturbację wiekową długości węzła wstępującego I (linii węzłów) i perturbację
wiekową argumentu perigeum

ω (linii apsyd). Spłaszczenie Ziemi wywołuje znaczne zmiany

położenia płaszczyzny orbity w przestrzeni i położenia orbity w jej płaszczyźnie, natomiast kształt i
rozmiary orbity pozostają praktycznie nie zmienione.

(

)

średnią

dobę

1

/

1

cos

2

3

400

86

180

2

2

2

7

3

2

o

o

&

e

i

a

a

a

J

e

e

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

μ

π

−

=

I

(

)

średnią

dobę

1

/

1

1

cos

5

4

3

400

86

180

2

2

2

2

7

3

2

o

&

e

i

a

a

a

J

e

e

−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

μ

π

=

ω